线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)Word格式文档下载.doc
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例2、已知P分所成的比为λ,O为平面上任意一点,.
求证:
线段定比分点向量公式
证明:
∵P分所成比为λ,
例3、已知三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D点内分的比为,E在BC上,且使△BDE的面积是△ABC面积的一半,求向量的坐标.(提示:
三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半)
要求的坐标,就要求D点的坐标,也要求E点的坐标.由于E点在线段BC上,且已知B、C两点的坐标,因此我们只要能确定E分有向线段的比,应用定比分点公式就能求出E点的坐标,将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量.
如图所示,
∵D点内分的比为,
设E分有向线段的比为λ,
由题设条件可知:
例5.已知、不共线,,,将符合下列条件的向量写成的形式:
(1)点分所成的比,求;
(2)点分所成的比,求.
分析:
借助定比分点的概念解题。
解:
(1)由,得,
即.
故,
(2)由上可知
即.
小结:
本题从表面上看不涉及分点的坐标问题,但利用定比分点的概念,导出了这个与定比有关的等式,这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式,即向量形式.值得注意的是,这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。
例6、如图所示,已知直线过点和点,与轴,轴交于点和点.求:
点分所成的比,点的坐标.
设点,则可由可求得的值.同样方法可求点分所成的比再用定比分点坐标公式,求得.
解:
设点
,,
点分所成的比
设点分所成的比为,同理可得
点坐标是
记住定比分点坐标公式,要注意起点坐标在前不乘以.本题也可以这样求点分所成的比,设,根据定比分点坐标分式得
解之
在求时也要注意讨论
如已知点在直线上,且,求点分所成的比.
(1)当点在、之间时,;
(2)当点在延长线上时,.
例7、如图所示,已知矩形中,,,,点是边的中点,连结与矩形的对角线交于点,求点坐标.
点在上,若知道点分所成的比,则可根据定比分点坐标公式可求点坐标,由题意知∽且,由此知,即点分所成的比.
四边形是矩形,是边的中点,∽,且
即点分所成的比
设.由,,根据定比分点坐标公式得
,
同理点分所成的比,由此可求得点坐标是,再由中点坐标公式可求得点坐标是.在直角坐标系中,求点的坐标,定比分点坐标公式是重要的思想和和工具.点和点坐标,也可根据和求得,当然点坐标也可根据求得,即,所以
解之,.
例8.若直线与连接、两点的线段有交点,求实数的取值范围.
当直线与线段有交点时,这个交点分有向线段所成的比不小于0,从而得到关于的不等式,但应注意考虑端点的情况.
解:
当直线过点时,有,∴.
当直线过点时,有,∴.
当直线与线段的交点在、之间时,设这个交点分的比为,它的坐标为,则
,.
而直线过点,则,
整理,得.
由,得,解得或.
故所求实数的取值范围为或。
(1)定比的符号是求解本题的关键.应当注意,当点在线段上时,;
当点在线段或的延长线上时,.切不可将之混为一谈.
(2)恰当地利用定比的几何意义,可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题.
例9.已知的三顶点坐标分别为,,,直线,交于,且直线平分的面积,求点坐标.
本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题,解题时,应先确定分的比,再利用公式求解.
设直线交于,依题意,,又因为,故∽,所以,.即点分的比为.
设的坐标为,由定比分点公式有,.
∴点的坐标为.
求解定比分点坐标的关键是求出定比的值.求的值,除注意的符号外,还常常用到平面几何知识,如相似形的性质,比例线段等等.
例10.已知,,且,,求点、的坐标.
借助线段的定比分点式求解.
设,.
由,可得,即,.
运用定比分点公式可知
仿上可求得,
综上可知,欲求、两点坐标为,.
对于本题欲求点的坐标时,也可以由,得到,从而由定比公点公有得,.同理,也可以由求得点坐标,这表明,我们在利用定点比分点公式时,既要注意使用公式的前提,同时也要注意灵活地使用公式。
例11、已知的三个顶点的坐标为,边的中点分别为,且的重心为G,求:
(1);
(2);
(3);
(4).
分析解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点的坐标,再利用三角形重心G的坐标公式求得G的坐标,最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量.
解∵,且分别为的中点,G为的重心,
∴.
重心,即.
(1)
(2)
(3)
(4)
本题中的(3),(4)具有一般性,我们将在例5中作一般结论的推证,另外结论(3)与(4)本身有着必然的联系,因为G为的重心,AE是的中线,故三点共线,而且,即,同理.
故.
例12.已知,求证:
。
设是数轴上的三点,,则
是的内分点,
在-1与1之间,即。
例13.已知求证:
设是数轴上的三点,定比分点,则定比
的外分点,则。
对于函数y=f(x),如果能够化为,就与的形式完全相同(只须把t(x)看成),用数轴上两点P1、P2分别表示m、n,不妨设m<
n,P点表示y,且,则当t(x)>
0时,m<
y<
n;
当t(x)=0时,y=m;
当t(x)<
0时,y<
m或y>
m。
例14.已知二次函数f(x)满足条件:
(1)f(-1)=0;
(2)对一切xR,都有成立,求f(x)的解析式。
本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐,有些学生因为综合能力差,听完讲解后仍然似懂非懂,但如果运用定比分点公式解题则非常简单:
由,可设数轴上的点P1(x,0)、P(f(x),0),,且,则f(x)=,因为f(-1)=0,所以,解得=1,所以。
三、定比分点公式的类比推理
从定比分点公式的结构形式来看,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n项和与项数n的关系等问题,具有很明显的相似之处。
1.平面几何中的定比分点:
命题1:
设梯形ABCD的上、下底边长分别为l1、l2若平行于底边的截线EF把梯形的腰(高)分成上、下两部分之比为(-1),则EF的长l=(≥0)。
特别地,
(1)当l1=l2时,条件为一平行四边形,结论仍成立;
(2)当l1=0时,条件为一三角形,结论仍成立;
(3)当=1时,即可得到梯形的中位线公式。
设BA的延长线与CD的延长线交于O,由三角形相似可得
由
(1)
(2)可得。
依照命题1的推导方法,不难证明出以下命题:
命题1’:
设梯形ABCD的上,下底边长分别为l1,l2,若平行于底边的截线EF把梯形的面积分成上下两部分之比为,则有(特别当l1=0梯形退化为一个三角形时,结论为=仍成立。
)
2、立体几何中的定比分点:
命题2:
设棱台的上、下底面积分别为S1、S2,平行于底面的截面的面积为S0,此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为,则有:
。
特别地,当=1时,。
将棱台补成棱锥,设所补的小棱锥的高为x,截面到上、下底面的距离分别为h和h,则由截面性质定理可得:
从而有:
…………
(1)
…………
(2),由
(1)
(2)得
即:
.
依照公式2的推导方法,不难证明出以下两公式:
命题2’:
设棱台的上、下底面积分别为S1、S2,平行于底面的截面的面积为S0,若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为,则有
命题2”:
设棱台的上、下底面积分别是S1、S2,平行于底面的面积为S0.若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为,则有
注:
以上三个公式,对于圆台也同样成立.上述三个“定比分点”公式,形式整齐,结构对称,富有美感,便于记忆;
而且在求解立体几何的有关问题时,有着广泛的应用。
3.数列中的定比分点:
命题3:
设是等差数列,其中ap、am、an,满足则。
ap=a1+(p-1)d,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d
(其中a1、d分别是等差数列的首项与公差)
将ap、am、an代入中可得
命题3’:
设是等差数列,Sn是数列的前n项和,其中Sp、Sm、Sn
满足(),则。
因为=
那么S=An2+Bn,即,所以数列是等差数列,
由命题3,即有。
高二A数学讲义第十四讲(130802)课后作业
(本试卷共14题,时间45分钟,满分100分)
班级:
姓名:
一、选择填空题(每小题5分,共12个小题,共60分)
1、已知P点分有向线段所成的比为,则点B分有向线段所成的比为()
A. B.C. D.
2、设点P在有向线段的延长线上,P分所成的比为λ,则()
A.λ<-1 B.-1<λ<0C.0<λ<1 D.λ>1
3、连结点A(2,3)、B(7,-2)得线段AB,再延长到点C(x,y),使,则点C的坐标是()
A.(-12,7) B.(-12,-7)C.(12,-7) D.(12,7)
4、已知点A(1,2)、B(4,5),点C(2,3)分线段AB成两部分,其中,则λ的值是()
A. B.C. D.
5、如果△ABC的顶点坐标分别是A(4,6)、B(-2,1)、C(4,-1),则重心的坐标是()
A.(2,1) B.(2,2)C.(1,2) D.(2,4)
6、若点A分的比和点C分的比恰好互为倒数,则点B分的比为()
A.1 B.2或C.2或-2 D.不确定
7、已知点P(1,1)分有向线段的比为-3,且A(0,0),则B点坐标为()
A. B.C.(-3,-3) D.(3,3)
8、点P分的比为,Q为线段PM的中点,则N分的比为()
A. B.C. D.
9、已知点A(x,5)关于点P(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点(x,y)到原点的距离是()
A. B.C.4 D.
10、已知点P(4,-9)与Q(-2,3),则直线PQ与y轴的交点分有向线段所成的比为()
A. B.C.2 D.3
11、已知A、B、C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为____________.
12、已知O(0,0)和A(6,3)两点,若P在直线OA上,且,又P是线段OB的中点,则B点的坐标是____________.
13、已知△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为P(3,-2)、Q(1,6)、R(-4,2),则顶点A的坐标为___________.
14、已知平面上有A(-2,1)、B(1,4)、D(4,-3)三个点,又有一点C在上,使,连结DC,并延长到E,使,则E点的坐标为______________.
二、解答题
1、已知平行四边形的三个顶点是A(3,-2)、B(5,2)、C(-1,4).求它的第四个顶点D的坐标.
2、已知两点A(3,-4)、B(-9,2),在直线AB上求一点P,使得.
3、已知M为△ABC的边AB上一点,且.求点M分所成的比.
4、在□ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,利用定比分点坐标证明:
AE、AF三等分BD.
答案:
1---5CACBB6---10ABBDC1、画出示意图,便知答案.
2、依题意P在的延长线上,所以有的方向相反,∴λ<-1.
6、由已知可设的中点.
10、设直线PQ与y轴交点为R(0,y),R分有向线段的比为λ,则
11、-9 12、(4,2)13、(-2,-6) 14、
提示:
1、设点C分的比为λ, 则有
2、利用定比分点坐标公式,可得P点坐标为(2,1), 再利用中点坐标公式即得B点坐标.
3、利用中点坐标公式求解.4、如图所示,由于,所以C分所成的比为,设C点坐标为(x,y),
则
即C点坐标为(-1,2),由知E点坐标为
二、1、解法一:
如图所示,若ABCD1成平行四边形,
∵对角线AC、BD1互相平分,
∴AC、BD1的中点重合. 设D1(x1,y1),由中点公式有
若ABD2C是平行四边形,则同理可求得D2(1,8);
若AD3BC成平行四边形,则同理可得D3(9,-4).综上所述,点D的坐标是(-3,0)或(1,8)或(9,-4).
解法二:
设D1(x1,y1),则由, 得(x1-3,y1+2)=(-6,2), 即
解得x1=-3,y1=0,即D1(-3,0) 同理,由,可得D3=(9,-4);
由,可得D2(1,8). 故所求的D点坐标为(-3,0)或(9,-4)或(1,8)
2、解答:
(1)当P是的内分点时,由可得:
P分所成的比值,
∴P点坐标为(-1,-2).
(2)当P是的外分点时,由可得:
∴P点的坐标为(7,-6)综合以上可知,所求点P的坐标为(-1,-2)或(7,-6).
3、解答:
由设从C向AB所作的高为h,则
4、证明:
以A为原点,AD为x轴建立如图所示直角坐标系, 设B(m,n),D(a,0),则A(0,0),C(a+m,n),
∵F为CD中点,∴F点坐标为,
设AC与BD交于O′,AF与BD交于M,AE与BD交于N, ∵O′为AC中点,F为CD中点,
∴AF、DO′分别为△ADC的中线,故M为△ADC的重心. ∴点M坐标为.
∴M是BD的一个三等分边,同理可证N也是BD的一个三等分点,
∴AE、AF三等分BD.
老师讲义
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