上海高三数学二模---函数汇编Word格式.docx
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(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润的值最大?
【解】
(1)要使营运累计收入高于800元,
令,…………………………………2分
解得.…………………………………5分
所以营运天数的取值范围为40到80天之间.…………………………………7分
(2)…………………………………9分
当且仅当时等号成立,解得…………………………12分
所以每辆单车营运400天时,才能使每天的平均营运利润最大,最大为20元每天.…14分
(2018杨浦二模21)(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
记函数的定义域为.如果存在实数、使得对任意满足且的恒成立,则称为函数.
(1)设函数,试判断是否为函数,并说明理由;
(2)设函数,其中常数,证明:
是函数;
(3)若是定义在上的函数,且函数的图象关于直线(为常数)对称,试判断是否为周期函数?
并证明你的结论.
(1)是函数.……1分
理由如下:
的定义域为,
只需证明存在实数,使得对任意恒成立.
由,得,即.
所以对任意恒成立.即
从而存在,使对任意恒成立.
所以是函数.…………4分
(2)记的定义域为,只需证明存在实数,使得当且时,
恒成立,即恒成立.
所以,……5分
化简得,.
所以,.因为,可得,,
即存在实数,满足条件,从而是函数.…………10分
(3)函数的图象关于直线(为常数)对称,
所以
(1),……………12分
又因为
(2),所以当时,
由
(1)
由
(2)(3)
所以
(取由(3)得)
再利用(3)式,.
所以为周期函数,其一个周期为.……………15分
当时,即,又,
所以为常数.
所以函数为常数函数,
,是一个周期函数.……………17分
综上,函数为周期函数。
……………18分
(2018黄浦二模3)若函数是偶函数,则该函数的定义域是.
(2018黄浦二模6)方程的解.
(2018黄浦二模12)已知函数对任意恒有成立,则代数式的最小值是.
.
(2018黄浦二模18)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的).已知,线段与弧、弧的长度之和为米,圆心角为弧度.
(1)求关于的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为,试问取何值时,的值最大?
并求出最大值.
解
(1)根据题意,可算得弧(),弧().
又,
于是,,
所以,.
(2)依据题意,可知
化简,得
.
于是,当(满足条件)时,().
答所以当米时铭牌的面积最大,且最大面积为平方米.
(2018黄浦二模20)(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数
(1)求函数的反函数;
(2)试问:
函数的图像上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;
若不存在,说明理由;
(3)若方程的三个实数根满足:
,且,求实数的值.
解
(1)
当时,.
由,得,互换,可得.
由,得,互换,可得.
(2)答函数图像上存在两点关于原点对称.
设点是函数图像上关于原点对称的点,
则,即,
解得,且满足.
因此,函数图像上存在点关于原点对称.
(3)考察函数与函数的图像,可得
当时,有,原方程可化为,解得
,且由,得.
当时,有,原方程可化为,化简得
,解得(当时,).
于是,.
由,得,解得.
因为,故不符合题意,舍去;
,满足条件.因此,所求实数.
(2018静安二模3)函数的定义域为.
(2018静安二模16)已知函数,实数满足,则的值().
A.一定大于30B.一定小于30
C.等于30D.大于30、小于30都有可能
B
(2018静安二模21)(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
设函数(为实数).
(1)若,解不等式;
(2)若当时,关于的不等式成立,求的取值范围;
(3)设,若存在使不等式成立,求的取值范围.
解:
(1)由得,………………………1分
解不等式得………………………………4分
(利用图像求解也可)
(2)由解得.
由得,当时,该不等式即为;
…………………………5分
当时,符合题设条件;
……………………6分
下面讨论的情形,
当时,符合题设要求;
……………………7分
当时,,由题意得,解得;
综上讨论,得实数a的取值范围为………………………10分
(3)由,…………………………12分
代入得,令,
则,,
∴…………………………15分
若存在使不等式成立,则.…………1
(2018闵行二模4)定义在R上的函数的反函数为,则
(2018闵行二模10)若函数(且)没有最小值,则的取值范围是
【解析】分类讨论,当时,没有最小值,当时,即有解,
∴,综上,
(2018闵行二模16)给出下列三个命题:
命题1:
存在奇函数()和偶函数(),使得函数()是偶函数;
命题2:
存在函数、及区间,使得、在上均是增函数,但在上是减函数;
命题3:
存在函数、(定义域均为),使得、在()处均取到最大值,但在处取到最小值;
那么真命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
【解析】命题1:
,;
均为真命题,选D
(2018闵行二模19)某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A,产品A在上市20天内全部售完,据统计,线上日销售量、线下日销售量(单位:
件)与上市时间()天的关
系满足:
,(),产品A每件的
销售利润为(单位:
元)(日销售量=线上日销售量+线下日销售量).
(1)设该公司产品A的日销售利润为,写出的函数解析式;
(2)产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元?
(1)
(2),第5天到第15天
(2018青浦二模10)已知是定义在上的奇函数,当时,,函数.如果对于任意的,总存在,使得,则实数的取值范围是.
(2018青浦二模15)已知函数是上的偶函数,对于任意都有成立,当,且时,都有.给出以下三个命题:
①直线是函数图像的一条对称轴;
②函数在区间上为增函数;
③函数在区间上有五个零点.
问:
以上命题中正确的个数有().
(A)个 (B)个 (C)个 (D)个
(2018青浦二模20)(本题满分16分)本题共3小题,第
(1)小题4分,第
(2)小题6分,第(3)小题6分.
设函数.
(1)求函数的零点;
(2)当时,求证:
在区间上单调递减;
(3)若对任意的正实数,总存在,使得,求实数的取值范围.
(1)①当时,函数的零点为;
②当时,函数的零点是;
③当时,函数无零点;
(2)当时,,令
任取,且,
则
因为,,所以,,从而
即故在区间上的单调递减
当时,
即当时,在区间上单调递减;
(3)对任意的正实数,存在使得,即,
即在区间上单调递减,在区间上单调递增;
所以,
又由于,,所以.
(2018崇明二模9)设是定义在上以2为周期的偶函数,当时,,则函数在上的解析式是.
(2018崇明二模20)(本题满分16分,本题共有3个小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分5分,第(3)小题满分7分.)
已知函数.
(1)证明:
当时,函数是减函数;
(2)根据a的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(3)当,且时,证明:
对任意,存在唯一的,使得,
且.
20.解:
任取,设,
因为,所以,又
所以,即……3分
所以当时,函数是减函数……4分
(2)当时,,所以,
所以函数是偶函数……1分
所以函数是奇函数……3分
当且时,,
因为且
所以函数是非奇非偶函数……5分
(3)证明:
由
(1)知,当时函数是减函数,
所以函数在上的值域为,
因为,所以存在,使得.……2分
假设存在使得,
若,则,若,则,
与矛盾,故是唯一的……5分
假设,即或,则或
所以,与矛盾,故……7分
(2018奉贤二模9)给出下列函数:
①;
②;
③;
④;
⑤;
⑥;
⑦.从这7个函数中任取两个函数,则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是.
【参考答案】:
(2018奉贤二模18)已知函数,,.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)已知在上单调递减,求实数的取值范围.
(1)函数定义域为…………………………………………………1分
不是奇函数……………………………………………………………………2分
,令恒成立,
所以当时,函数为偶函数;
……………………………………………4分
当时,函数是非奇非偶函数。
…………………………………………1分
说明:
定义域1分,说明不是奇函数2分,说明偶函数4分,结论1分
(2)【方法一】
对任意,且,有恒成立
……………………………………2分
恒成立……………………………………………………………………2分
……………………………………………………2分
【方法二】
设,则,
当时,函数在上单调递减,所以满足条件。
………………………2分
当时,时单调递减,单调递减,…………………2分
……………………………………………………………………2分
(2018金山二模2)函数y=lgx的反函数是.
(2018金山二模21)(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分9分)
若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数f(x)=(x–1)2在定义域[m,n](m>
1)上为“依赖函数”,求实数m、n乘积mn的取值范围;
(3)已知函数f(x)=(x–a)2(a<
)在定义域[,4]上为“依赖函数”.若存在实数xÎ
[,4],使得对任意的tÎ
R,有不等式f(x)≥–t2+(s–t)x+4都成立,求实数s的最大值.
(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1,取x2=–x1,则g(x1)g(x2)=1,
且由g(x)=2x在R上单调递增,可知x2的取值唯一,
故g(x)=2x是“依赖函数”;
……………………………………………………………4分
(2)因为m>
1,f(x)=(x–1)2在[m,n]递增,故f(m)f(n)=1,即(m–1)2(n–1)2=1,………5分
由n>
m>
1,得(m–1)(n–1)=1,故,…………………………………………6分
1,得1<
m<
2,……………………………………………………………………7分
从而在上单调递减,故,…9分
(3)因,故在上单调递增,
从而,即,进而,
解得或(舍),………………………………………………………………13分
从而,存在,使得对任意的t∈R,有不等式都成立,即恒成立,由,……15分
得,由,可得,
又在单调递增,故当时,,
从而,解得,故实数的最大值为.…………………………18分
(2018浦东二模4)已知是函数的反函数,则________.
(2018浦东二模11)已知是定义在上的偶函数,且在上是增函数,如果对于任意,恒成立,则实数的取值范围是________.
答案
(2018浦东二模12)已知函数.若对于任意的正整数,在区间上存在个实数使得成立,则的最大值为________.
(2018浦东二模20)(本题满分16分,本题共有3个小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分)
已知函数定义域为,对于任意恒有;
(1)若,求的值;
(2)若时,,求函数的解析式及值域;
(3)若时,,求在区间上的最大值与最小值.
1)且
……………1分
2)
时,,
时,,……………1分
得:
,
值域为……………1分
3)
当时,得:
当时,……………1分
当时,,
……………2分
当,为奇数时,
当,为偶数时,
综上:
时,在上最大值为0,最小值为……………1分
,为偶数时,在上最大值为,最小值为……………1分
,为奇数时,在上最大值为,最小值为……………1分
(2018普陀二模2)若函数是奇函数,则实数________.
(2018普陀二模3)若函数的反函数为,则函数的零点为________.
(2018普陀二模20)(本题满分16分)本题共有3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.
定义在上的函数满足:
对任意的实数,存在非零常数,都有成立.
(1)若函数,求实数和的值;
(2)当时,若,,求函数在闭区间上的值域;
(3)设函数的值域为,证明:
函数为周期函数.
(1)由得,对恒成立,
即对恒成立,则,……………………2分
即.……………………………………………………………………………4分
(2)当时,,……………………………2分
当时,即,
由得,则,……………………3分
由得,则,……………………4分
由得,…………………………………………………5分
综上得函数在闭区间上的值域为.……………………………………6分
(3)(证法一)由函数的值域为得,的取值集合也为,
当时,,则,即.……………………2分
由得,
则函数是以为周期的函数.…………………………………………………………3分
当时,,则,即.……………………5分
即,则函数是以为周期的函数.
故满足条件的函数为周期函数.………………………………………………………6分
(证法二)由函数的值域为得,必存在,使得,
当时,对,有,
对,有,则不可能;
当时,即,,
由的值域为得,必存在,使得,
仿上证法同样得也不可能,则必有,以下同证法一.
(2018徐汇二模3)函数的定义域为_____________.
(2018徐汇二模11)若函数的最大值和最小值分别为、,则函数图像的一个对称中心是.
(2018徐汇二模19)(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数,其定义域为,
(1)当时,求函数的反函数;
(2)如果函数在其定义域内有反函数,求实数的取值范围.
(1);
------------------------------------------------------6分
(2)若,即,则在定义域上单调递增,所以具有反函数;
---8分
若,即,则在定义域上单调递减,所以具有反函数;
--10分
当,即时,由于区间关于对称轴的对称区间是
,于是当或,即或时,
函数在定义域上满足1-1对应关系,具有反函数.
综上,.------------------------------------------14分
(2018长宁、嘉定二模10)已知函数的定义域为,则实数的取值范围是____________.
(2018长宁、嘉定二模15)点在边长为1的正方形的边上运动,是的中点,则当沿运动时,点经过的路程与的面积的函数的图像的形状大致是下图中的()
B
(2018长宁、嘉定二模19)(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
某创新团队拟开发一种新产品,根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益,先准备制定一个奖励方案:
奖金(单位:
万元)随收益(单位:
万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过收益的20%.
(1)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表示该团队对奖励函数模型的基本要求,并分析是否符合团队要求的奖励函数模型,并说明原因;
(2)若该团队采用模型函数作为奖励函数模型,试确定最小的正整数的值.
(1)设函数模型为,根据团队对函数模型的基本要求,函数满足:
当时,①在定义域上是增函数;
②恒成立;
③恒成立.…………………………………………(3分,每项得1分)
对于函数,当时,是增函数;
,所以恒成立;
但时,,即不恒成立.
因此,该函数模型不符合团队要求.………………………………(6分,每项得1分)
(2)对于函数模型,
当即时递增.………………………………………………(2分)
当时,要使恒成立,即,
所以,;
……………………………………………………(4分)
要使恒成立,即,恒成立,
得出.………………………………………………………………………(6分)
综上所述,.…………………………………………………………………(7分)
所以满足条件的最小正整数的值为328.………………………………………(8分)
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