全国名校高中数学题库--解析几何Word文档格式.doc
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,第II,IV部分的面
积是定值,所以,为定值,即为定值,当直线
AB绕着圆心C移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线
AB只有一条,故选B。
7.(陕西理,4)过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网
A.B.2C.D.2
【答案】D
二、填空题
8.(广东文,13)以点(2,)为圆心且与直线相切的圆的方程是.
【解析】将直线化为,圆的半径,
所以圆的方程为
【答案】
9.(天津理,13)设直线的参数方程为(t为参数),直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______
【解析】由题直线的普通方程为,故它与与的距离为。
10.(天津文,14)若圆与圆的公共弦长为,则a=________.
【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为,
利用圆心(0,0)到直线的距离d为,解得a=1.
【答案】1
11.(全国Ⅰ文16)若直线被两平行线所截得的线段的长为,则的倾斜角可以是
①②③④⑤
其中正确答案的序号是.(写出所有正确答案的序号)
【解析】解:
两平行线间的距离为,由图知直线与的夹角为,的倾斜角为,所以直线的倾斜角等于或。
【答案】①⑤
12.(全国Ⅱ理16)已知为圆:
的两条相互垂直的弦,垂足为,则四边形的面积的最大值为。
【解析】设圆心到的距离分别为,则.
四边形的面积
【答案】5
13.(全国Ⅱ文15)已知圆O:
和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1),即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和,所以所求面积为。
【答案】
14.(湖北文14)过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,
则线段PQ的长为。
【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得.
【答案】4
15.(江西理16).设直线系,对于下列四个命题:
.中所有直线均经过一个定点
.存在定点不在中的任一条直线上
.对于任意整数,存在正边形,其所有边均在中的直线上
.中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).
【解析】因为所以点到中每条直线的距离
即为圆:
的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,
所以A错误;
又因为点不存在任何直线上,所以B正确;
对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确;
中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误,
故命题中正确的序号是B,C.
【答案】
三、解答题
16.(2009江苏卷18)(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知圆和圆.
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
解
(1)设直线的方程为:
,即
由垂径定理,得:
圆心到直线的距离,
结合点到直线距离公式,得:
化简得:
求直线的方程为:
或,即或
(2)设点P坐标为,直线、的方程分别为:
,即:
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。
:
圆心到直线与直线的距离相等。
故有:
,
关于的方程有无穷多解,有:
解之得:
点P坐标为或。
2005—2008年高考题
1.(2008年全国Ⅱ理11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,
原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为 ().
A.3 B.2 C. D.
答案A
解析,,设底边为
由题意,到所成的角等于到所成的角于是有
再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A。
2.(2008年全国Ⅱ文3)原点到直线的距离为 ()
A.1 B. C.2 D.
答案D
解析。
3.(2008四川4)将直线绕原点逆时针旋转,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为 ()
A. B.
C. D.
4.(2008上海15)如图,在平面直角坐标系中,是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点.若点、点满足且,则称P优于.如果中的点满足:
不存在中的其它点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 ( )
A. B. C.D.
5.(2007重庆文)若直线与圆相交于P、Q两点,且∠POQ=120°
(其中O为原点),则k的值为 ()
A.-或 B. C.-或 D.
答案A
6.(2007天津文)“”是“直线平行于直线”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案C
7.(2006年江苏)圆的切线方程中有一个是 ()
A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0
8.(2005湖南文)设直线的方程是,从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值,则所得不同直线的条数是 ()
A.20 B.19 C.18 D.16
9.(2005全国Ⅰ文)设直线过点,且与圆相切,则的斜率是
工 ()
A. B. C. D.
10.(2005辽宁)若直线按向量平移后与圆相切,则c的值为()
A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 D.2或-8
答案A
11.(2005北京文)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ()
A.充分必要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案B
12.(2008天津文15,)已知圆C的圆心与点关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0
与圆C相交于两点,且,则圆C的方程为_______.
答案
13.(2008四川文14)已知直线与圆,则上各点到的距离的最小值为_______.
14.(2008广东理11)经过圆的圆心,且与直线垂直的直线
程是.
15.(2007上海文)如图,是直线上的两点,且.两个半径相等的动圆分别与相切于点,是这两个圆的公共点,则圆弧,与线段围成图形面积的取值范围是.
16.(2007湖南理)圆心为且与直线相切的圆的方程是.
答案(x-1)2+(y-1)2=2
17.(2006重庆理)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为___.
答案a>1
18.(2005江西)设实数x,y满足.
答案
第二部分三年联考汇编
2009年联考题
1.(西南师大附中高2009级第三次月考)“a=3”是“直线与直线平行”的()条件
A.充要 B.充分而不必要
C.必要而不充分 D.既不充分也不必要
2.(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)直线x+y+1=0与圆的位置关系是 ()
A.相交B.相离C.相切D.不能确定
3.(西南师大附中高2009级第三次月考)两圆的位置关系
是 ()
A.内切 B.外切 C.相离 D.内含
4.(西南师大附中高2009级第三次月考)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>
0)上一动点,PA、PB是圆C:
的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为 ()
A.3 B. C. D.2
5.(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知实系数方程x2+ax+2b=0,
的一个根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,则的取值范围是( )
A.(,1) B.(,1) C.(-,) D.(0,)
6.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)点到直线的距离不大于3,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.或
7.(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知圆的方程为,设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、,则直线与的斜率之和为()
A. B.C. D.
8.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)直线和圆
的关系是 ()
A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切
9.(福建省宁德市2009届高三上学期第四次月考)过点的直线将圆(x-2)2+y2=9分成
两段弧,当其中的劣弧最短时,直线的方程是 ()
A. B.
C. D.
答案D
10.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一
点向这个圆引切线,则切线长为.
答案2
11.(江苏省赣榆高级中学2009届高三上期段考)直线与直线
关于点对称,则b=___________。
答案2
12.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)过点C(6,-8)作圆的切线,切点为A、B,那么点C到直线AB的距离为___________________。
13.(四川省成都市2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点P(2,3)射到直线上,反射后过点Q(1,1),则反射光线方程为.
答案4x-5y+1=0
14.(安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)过的直线l与圆C:
(x-1)22+y2=4
交于A、B两点,当∠ACB最小时,直线的方程为.
2007—2008年联考题
1.(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)已知点A(3,2),B(-2,7),若直线y=ax-3与线段AB的交点P分有向线段AB的比为4:
1,则a的值为 ()
A.3 B.-3 C.9 D.-9
2.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)由直线上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1
引切线,则切线长的最小值为 ()
A.B.C.D.
3.(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)圆被直线分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为 ()
A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5
4.(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)直线平分圆x2+y2-8x+2y-2=0
的周长,则 ()
A.3 B.5 C.-3 D.-5
5.(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)把直线按向量平移后恰与相切,则实数的值为 ()
A.或 B.或
C.或 D.或
6.(2007岳阳市一中高三数学能力题训练)若圆上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是 ()
A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6]
7.(2007海淀模拟)已知直线ax+by-1=0(a,b不全为0)与圆x2+y2=50有公共点,且公共点横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有()条
A.66B.72C.74D.78
答案C
7.(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)光线从点P(-3,5)射到直线l:
3x-4y+4=0
上,经过反射,其反射光线过点Q(3,5),则光线从P到Q所走过的路程为.
答案8
8.(河北省正定中学2008年高三第四次月考)圆为参数)的标准方程
是,过这个圆外一点P的该圆的切线方程是。
答案(x-1)2+(y-1)2=1;
x=2或3x-4y+6=0
9.(湖北省鄂州市2008年高考模拟)与圆相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条.
答案4
10.(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)设直线与圆(x-1)2+(y-2)2=4
相交于A、B两点,且弦长为,则a=。
答案0
11.(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)设直线的方程为,
将直线绕原点按逆时针方向旋转得到直线,则的方程是
答案2x-y+2=0
12.(2007石家庄一模)若≠kx+2对一切x≥5都成立,则k的取值范围是________.
答案k>
1/10或k<
2/5
13.(唐山二模)⊙M:
x2+y2=4,点P(x0,y0)在圆外,则直线x0x+y0y=4与⊙M的位置关系是_____
答案相交
14.(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)已知:
以点C(t,)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.
(1)求证:
△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=–2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.
解
(1),.
设圆的方程是
令,得;
令,得
,即:
的面积为定值.
(2)垂直平分线段.
,直线的方程是.
,解得:
当时,圆心的坐标为,,
此时到直线的距离,
圆与直线相交于两点.
当时,圆心的坐标为,,
此时到直线的距离
圆与直线不相交,
不符合题意舍去.
圆的方程为.
15.(广东地区2008年01月期末试题)已知点的坐标分别是,,直线相交于点M,且它们的斜率之积为.
(1)求点M轨迹的方程;
(2)若过点的直线与
(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间),试求与面积之比的取值范围(为坐标原点).
解
(1)设点的坐标为,
∵,∴.
整理,得(),这就是动点M的轨迹方程.
(2)方法一由题意知直线的斜率存在,
设的方程为()①
将①代入,
得,
由,解得.
设,,则②
令,则,即,即,且
由②得,
即
.
且且.
解得且
,且.
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是.
方法二由题意知直线的斜率存在,
设的方程为①
整理,得,
由,解得.
设,,则②
令,且.
将代入②,得
∴.即.
∵且,∴且.
即且.
解得且.
故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是.
16.(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知过点A(0,1),且方向向量为,相交于M、N两点.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:
;
(3)若O为坐标原点,且.
解
(1)
由
.
17.(2007北京四中模拟一)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动.
(1)求△ABC外心的轨迹方程;
(2)设直线l∶y=3x+b与
(1)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d,求的最大值.并求出此时b的值.
解
(1)设B点的坐标为(0,),则C点坐标为(0,+2)(-3≤≤1),
则BC边的垂直平分线为y=+1①②由①②消去,得.∵,∴.故所求的△ABC外心的轨迹方程为:
(2)将代入得.由及,得.所以方程①在区间,2有两个实根.设,则方程③在,2上有两个不等实根的充要条件是:
得
∵∴
又原点到直线l的距离为,
∴∵,∴.
∴当,即时,.
第二节圆锥曲线
第一部分五年高考荟萃
2009年高考题
2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
1.(2009全国卷Ⅰ理)设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于()
A.B.2C.D.
【解析】设切点,则切线的斜率为.
由题意有又
解得:
.
2.(2009全国卷Ⅰ理)已知椭圆的右焦点为,右准线为,点,线段交于点,若,则=()
A.B.2C.D.3
【解析】过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
3.(2009浙江理)过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若,则双曲线的离心率是()
A.B.C.D.
【解析】对于,则直线方程为,直线与两渐近线的交点为B,C,则有
,因.
4.(2009浙江文)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴,直线交轴于点.若,则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
【解析】对于椭圆,因为,则
5.(2009北京理)点在直线上,若存在过的直线交抛物线于两点,且,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是()
A.直线上的所有点都是“点”
B.直线上仅有有限个点是“点”
C.直线上的所有点都不是“点”
D.直线上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解,如图,
设,
则,
∵,
∴
消去n,整理得关于x的方程
(1)
∵恒成立,
∴方程
(1)恒有实数解,∴应选A.
6.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(
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