等差数列(二)Word文档格式.docx
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3.下标性质:
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
特别的,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则有am+an=2ap.
思考 等差数列{an}中,若a5=7,a9=19,则a2+a12=________,a7=________.
答案 a2+a12=a5+a9=26 a7=13
题型一 等差数列的性质及应用
例1
(1)已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.
解
(1)方法一 根据等差数列的通项公式,得
a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d.
由题意知,3a1+15d=1,即a1+5d=.
∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=.
方法二 根据等差数列性质
a2+a10=a4+a8=2a6.
由a2+a6+a10=1,
得3a6=1,解得a6=,
∴a4+a8=2a6=.
(2){an}是公差为正数的等差数列,设公差为d(d>
0),
∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,
∴a2=5,又a1a2a3=80,
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16⇒d=3或d=-3(舍去),
∴a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105.
跟踪训练1 在等差数列{an}中:
(1)若a3=5,则a1+2a4=________;
(2)a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列a1+a20等于________.
答案
(1)15
(2)18
解析
(1)a1+2a4=a1+(a3+a5)=(a1+a5)+a3=2a3+a3=3a3=15.
(2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78⇒(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54⇒a1+a20
=18.
题型二 等差数列项的设法及运算
例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
解 设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则
又因为是递增数列,所以d>
0,
所以解得a=±
,d=,
此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.
解 方法一 设这三个数为a,b,c,则由题意得
解得a=4,b=6,c=8.
这三个数为4,6,8.
方法二 设这三个数为a-d,a,a+d,由已知可得
由①得a=6,代入②得d=±
2,
∵该数列是递增的,∴d=-2舍去,∴这三个数为4,6,8.
题型三 等差数列的综合问题
例3 已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:
数列{bn}是等差数列,并写出{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项.
解
(1)因为an=2-(n≥2,n∈N*),
所以an-1=,
所以==1+,
即-=1.
因为bn=,所以bn-bn-1=1(n≥2,n∈N*).
又a1=,b1==-,
所以数列{bn}是以b1=-为首项,1为公差的等差数列.
故bn=-+(n-1)×
1=n-(n∈N*).
(2)由
(1)得an=+1=1+,当n≥3时,数列{an}是递减数列,且an>
1.
又a1=,a2=-2,a3=,所以在数列{an}中,最大项为a3=,最小项为a2=-2.
跟踪训练3 设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则( )
A.d<
0 B.d>
C.a1d<
0 D.a1d>
答案 C
解析 设bn=,则bn+1=,由于{}是递减数列,则bn>
bn+1,即>
.∵y=2x是单调增函数,∴a1an>
a1an+1,∴a1an-a1(an+d)>
0,∴a1(an-an-d)>
0,即a1(-d)>
0,∴a1d<
0.
题型四 等差数列的实际应用
例4 某公司2009年经销一种数码产品,获利200万元,从2010年起,预计其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
解 记2009年为第一年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,则每年获利构成等差数列{an},且当an<
0时,该公司经销此产品将亏损.
设第n年的利润为an,因为a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d=220-20n.
由题意知数列{an}为递减数列,令an<
0,即an=220-20n<
0,得n>
11,
即从第12年起,也就是从2020年开始,该公司经销此产品将亏损.
跟踪训练4 《九章算术》“竹九节”问题:
现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )
A.1升B.升C.升D.升
答案 B
解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an},其首项为a1,公差为d,
由条件得,即,
解得,所以a5=a1+4d=.
审题不仔细致误
例5 首项为-24的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d的取值范围为________.
错解 方法一 由a10>
0得-24+9d>
0,∴d>
.
方法二 由得,
∴<
d<
3.
答案 <
3
错因分析 解答本题,应注意理解“从第10项开始为正数”的含义,它表明“a10>
0”的同时还表明“a9≤0”这一条件.
正解 依题意得即
d≤3.
d≤3
误区警示 解答此类问题,应注意仔细审题,认真挖掘题目中的隐含条件,并注意应用.
1.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7等于( )
A.5B.8C.10D.14
2.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为( )
A.4B.6C.8D.10
3.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
A.a1+a101>
0 B.a2+a101<
C.a3+a99=0 D.a51=51
4.下列是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:
数列{an}是递增数列;
p2:
数列{nan}是递增数列;
p3:
数列是递增数列;
p4:
数列{an+3nd}是递增数列;
其中的真命题为( )
A.p1,p2 B.p3,p4
C.p2,p3 D.p1,p4
5.在等差数列{an}中,已知a1+2a8+a15=96,则2a9-a10=________.
一、选择题
1.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于( )
A.0B.37C.100D.-37
2.等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于( )
A.45B.75C.180D.300
3.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是( )
A.-2B.-C.2D.
4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是( )
A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列
5.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )
A.B.±
C.-D.-
6.在数列{an}中,a3=2,a7=1,如果数列{}是等差数列,那么a11等于( )
A.B.C.D.1
二、填空题
7.在公差为2的等差数列{an}中,a3=12,则a8=______.
8.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.
9.数列{an}满足递推关系an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),a1=5,则使得数列{}为等差数列的实数m的值为________.
10.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
第2行
4
6
第3行
9
那么位于表中的第n行第(n+1)列的数是________.
三、解答题
11.已知数列{an}中,a1=4.
(1)若an=an+1+3,求a10.
(2)若数列{}为等差数列,且a6=,求数列{an}的通项公式.
12.下表给出一个“等差数阵”
7
a1j
12
a2j
ai1
ai2
aij
其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数.
(1)写出a45的值;
(2)写出aij的计算公式.
13.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2.
(2)求数列{bn}的通项公式.
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项?
当堂检测答案
1.答案 B
解析 方法一 设等差数列的公差为d,
则a3+a5=2a1+6d=4+6d=10,
所以d=1,a7=a1+6d=2+6=8.
方法二 由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=10,又a1=2,所以a7=8.
2.答案 C
解析 由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,
∴a7-a8=(2a7-a8)=(a6+a8-a8)=a6=8.
3.答案 C
解析 ∵a1+a2+…+a101=0,
又∵a1+a101=a2+a100=a3+a99=…=2a51,
∴a51=0=a3+a99.
4.答案 D
解析 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,因为d>0,所以p1正确;
an+3nd=4dn+a1-d,因4d>0,所以是递增数列,p4正确,故选D.
5.答案 24
解析 ∵a1+2a8+a15=4a8=96,∴a8=24.
∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.
课时精练答案
1.答案 C
解析 a1+b1=100=a2+b2,
∴{an+bn}是常数列,
∴a37+b37=100.
解 ∵a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5
=5a5=450,∴a5=90.∴a2+a8=2a5=180.
解析 ∵an+1-an=3,
∴{an}为等差数列,且d=3.
a2+a4+a6=9=3a4,∴a4=3,
a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×
3)=36,
∴log6(a5+a7+a9)=log636=2.
4.答案 C
解析 ∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,
∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
5.答案 D
解析 由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,
∴a7=.
∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan=tan=-.
6.答案 B
解析 依题意得+=2·
,
∴=-=,
∴a11=.
7.答案 22
解析 a8=a3+(8-3)×
2=12+10=22.
8.答案 -21
解析 设这三个数为a-d,a,a+d,
则
解得或
∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1.
∴这三个数的积为-21.
9.答案 -
解析 a1=5,a2=3×
5+32-1=23,
a3=3×
23+33-1=95,
依题意得,,成等差数列,
∴2·
=+,
∴m=-.
10.答案 n2+n
解析 观察可知,第n行的数构成以n为首项,n为公差的等差数列,所以第n行第(n+1)列的数是n+[(n+1)-1]×
n=n2+n.
11.解
(1)因为an=an+1+3,所以an+1-an=-3,
所以数列{an}是首项为4,公差为-3的等差数列,
所以a10=4+9×
(-3)=-23.
(2)因为a1=4,a6=,所以=,=4,
设等差数列{}的公差为d,则=+5d,
所以4=+5d,解得d=,
所以=+(n-1)×
=.
所以an=.
12.解
(1)因为每行都成等差数列,
所以a15=a11+4(a12-a11)=16.
a25=a21+4(a22-a21)=27,
又因为每列成等差数列,
所以a45=a15+3(a25-a15)=49.
(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4,公差为3的等差数列,
所以a1j=4+(j-1)·
3=3j+1,
第二行是首项为7,公差为5的等差数列,
所以a2j=7+(j-1)·
5=5j+2,
第j列是首项为a1j,公差为d=a2j-a1j=2j+1的等差数列,因此aij=3j+1+(i-1)(2j+1)=2ij+i+j.
13.解
(1)由题意,等差数列{an}的通项公式为
an=3+(n-1)(-5)=8-5n,
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项,
则需满足m=4n-1,n∈N*,
所以b1=a3=8-5×
3=-7,
b2=a7=8-5×
7=-27.
(2)由
(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,
所以新数列{bn}也为等差数列,
且首项为b1=-7,公差为d′=-20,
所以bn=b1+(n-1)d′
=-7+(n-1)×
(-20)=13-20n.
(3)因为m=4n-1,n∈N*,所以当n=110时,
m=4×
110-1=439,
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.
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