导数的不等式恒成立问题Word下载.doc
- 文档编号:7886981
- 上传时间:2023-05-09
- 格式:DOC
- 页数:6
- 大小:162KB
导数的不等式恒成立问题Word下载.doc
《导数的不等式恒成立问题Word下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《导数的不等式恒成立问题Word下载.doc(6页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2],单调递增区间是[ln2,+∞),
f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为
f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
(2)证明 设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由
(1)知当a>
ln2-1时,g′(x)的最小值为
g′(ln2)=2(1-ln2+a)>
0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>
0,
所以g(x)在R上是增加的.
于是当a>
ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>
g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>
即ex-x2+2ax-1>
0,故ex>
已知f(x)=xlnx.
(1)求g(x)=(k∈R)的单调区间;
(2)证明:
当x≥1时,2x-e≤f(x)恒成立.
解:
(1)g(x)=lnx+,
∴令g′(x)==0得x=k.
∵x>
0,∴当k≤0时,g′(x)>
∴函数g(x)的增区间为(0,+∞),无减区间;
当k>
0时g′(x)>
0得x>
k;
g′(x)<
0得0<
x<
k,
∴增区间为(k,+∞),减区间为(0,k).
(2)证明:
设h(x)=xlnx-2x+e(x≥1),
令h′(x)=lnx-1=0得x=e,
h(x),h′(x)的变化情况如下:
1
(1,e)
e
(e,+∞)
h′(x)
-1
h(x)
e-2
故h(x)≥0.即f(x)≥2x-e.
题型二 利用导数研究恒成立问题
例2 已知函数f(x)=lnx-.
(1)若a>
0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值;
(3)若f(x)<
x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
解
(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=+=.∵a>
0,∴f′(x)>
故f(x)在(0,+∞)上是增加的.
(2)由
(1)可知,f′(x)=.
①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上是增加的,
∴f(x)min=f
(1)=-a=,∴a=-(舍去).
②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上是减少的,
∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去).
③若-e<
a<
-1,令f′(x)=0得x=-a,
当1<
-a时,f′(x)<
0,∴f(x)在(1,-a)上是减少的;
当-a<
e时,f′(x)>
0,∴f(x)在(-a,e)上是增加的,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,∴a=-.
综上所述,a=-.
(3)∵f(x)<
x2,∴lnx-<
x2.
又x>
0,∴a>
xlnx-x3.
令g(x)=xlnx-x3,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,
h′(x)=-6x=.
∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<
∴h(x)在(1,+∞)上是减少的.
∴h(x)<
h
(1)=-2<
0,即g′(x)<
∴g(x)在(1,+∞)上也是减少的.
g(x)<
g
(1)=-1,
∴当a≥-1时,f(x)<
x2在(1,+∞)上恒成立.
已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是__________.
答案 [4,+∞)
解析 当x∈(0,1]时不等式ax3-3x+1≥0可化为
a≥,设g(x)=,x∈(0,1],
g′(x)==-,
g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表:
g′(x)
g(x)
4
因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是[4,+∞).
导数与不等式的综合问题
典例:
(12分)(2011·
辽宁)设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a,b的值;
f(x)≤2x-2.
(1)解 f′(x)=1+2ax+.[1分]
由已知条件得即
解得[4分]
(2)证明 因为f(x)的定义域为(0,+∞),
由
(1)知f(x)=x-x2+3lnx.
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,
则g′(x)=-1-2x+=-.[8分]
当0<
1时,g′(x)>
0,当x>
1时,g′(x)<
所以g(x)在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的.[10分]
而g
(1)=0,故当x>
0时,g(x)≤0,
即f(x)≤2x-2.[12分]
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
答案 B
解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
由已知可得f′(x)=0有两个不相等的实根.
∴Δ=4a2-4×
3(a+6)>
0,即a2-3a-18>
∴a>
6或a<
-3.
2.曲线y=f(x)=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( )
A.e2 B.2e2 C.e2 D.
答案 D
解析 ∵点(2,e2)在曲线上,
∴切线的斜率k=f′
(2)=e2,
∴切线的方程为y-e2=e2(x-2),即e2x-y-e2=0.
与两坐标轴的交点坐标为(0,-e2),(1,0),
∴S△=×
1×
e2=.
3.已知函数f(x)=x2+mx+lnx是单调递增函数,则m的取值范围是 ( )
A.m>
-2 B.m≥-2
C.m<
2 D.m≤2
解析 依题意知,x>
0,f′(x)=,
令g(x)=2x2+mx+1,x∈(0,+∞),
当-≤0时,g(0)=1>
0恒成立,∴m≥0成立,
当->
0时,则Δ=m2-8≤0,∴-2≤m<
综上,m的取值范围是m≥-2.
4.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的年关系是R=R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是 ( )
A.100 B.150 C.200 D.300
解析 由题意得,总成本函数为C=C(x)=20000+100x,
总利润P(x)=
又P′(x)=
令P′(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.设P为曲线C:
y=f(x)=x2-x+1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是
[-1,3],则点P纵坐标的取值范围是__________.
答案
解析 设P(a,a2-a+1),则f′(x)=2a-1∈[-1,3],
∴0≤a≤2.而g(a)=a2-a+1=2+,
当a=时,g(a)min=.当a=2时,g(a)max=3,
故P点纵坐标的取值范围是.
6.在直径为d的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁,则矩形面的长为________(强度与bh2成正比,其中h为矩形的长,b为矩形的宽).
答案 d
解析 截面如图所示,设抗弯强度系数为k,强度为ω,
则ω=kbh2,
又h2=d2-b2,
∴ω=kb(d2-b2)=-kb3+kd2b,
ω′=-3kb2+kd2,
令ω′=0,得b2=,
∴b=d或b=-d(舍去).
∴h==d.
7.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是________.
答案 -13
解析 对函数f(x)求导得f′(x)=-3x2+2ax,
由函数f(x)在x=2处取得极值知f′
(2)=0,
即-3×
4+2a×
2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在(-1,0)上是减少的,在(0,1)上是增加的,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
又∵f′(x)=-3x2+6x的图像开口向下,
且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,
f′(n)min=f′(-1)=-9.
故f(m)+f′(n)的最小值为-13.
三、解答题(共22分)
8.(10分)设函数f(x)=ax3-3x2(a∈R),且x=2是y=f(x)的极值点.
(1)求实数a的值,并求函数的单调区间;
(2)求函数g(x)=ex·
f(x)的单调区间.
解
(1)f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f′
(2)=0,即6(2a-2)=0,
因此a=1.
经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点.
所以f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
所以y=f(x)的单调增区间是(-∞,0),(2,+∞);
单调减区间是(0,2).
(2)g(x)=ex(x3-3x2),g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)
=ex(x3-6x)=x(x+)(x-)ex,
因为ex>
0,所以y=g(x)的单调增区间是(-,0),(,+∞);
单调减区间是(-∞,-),(0,).
6
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 导数 不等式 成立 问题