南通高三期末统考数学试题及答案Word下载.doc
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5.
在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的中心在原点,焦点
在y轴上,一条渐近线方程为,则双曲线C的
离心率为▲.
6.如图是计算的值的一个流程图,则常数a的取
值范围是▲.
7.
函数y=的图象可由函数y=sin
x的图象作两次变换得到,第一次变换是针对函数y=sin
x的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的.现给出下列四个变换:
A.图象上所有点向右平移个单位;
B.图象上所有点向右平移个单位;
C.图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);
D.图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变).
请按顺序写出两次变换的代表字母:
▲.(只要填写一组)
8.
记max{a,b}为a和b两数中的较大数.设函数和的定义域都是R,则“和
都是偶函数”是“函数为偶函数”的▲条件.
(在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个)
9.
在平面直角坐标系xOy中,圆C1:
关于直线l:
对称的圆
C2的方程为▲.
10.给出以下三个关于x的不等式:
①,②,③.若③的解
集非空,且满足③的x至少满足①和②中的一个,则m的取值范围是▲.
11.
设,且,则的值为▲.
12.
设平面向量a,b满足,则a·
b的最小值为▲.
13.
在平面直角坐标系xOy中,曲线上的点到原点O的最短距离为▲.
14.
设函数是定义域为R,周期为2的周期函数,且当时,;
已知
函数则函数和的图象在区间内公共点的个数为▲.
【填空题答案】
1.2.723.
4.5.26.
7.BD(DA)8.充分不必要9.
10.11.12.5
13.14.15
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.
15.设向量a,b,其中.
(1)若,求的值;
(2)设向量c,且a+b=c,求的值.
【解】
(1)因为a,b,所以.……………2分
因为,所以a·
b=0.…………………………………………………………4分
于是,故.……………………6分
(2)因为a+b,
所以………………………………………………………………8分
由此得,由,得,
又,故.………………………………………………………10分
代入,得.……………………………………12分
而,所以.……………………………………………14分
16.E
A
D
B
C
F
P
如图,在三棱锥P—ABC中,平面PAC平面ABC,,E,F分别是AP,AC的中
点,点D在棱AB上,且.
求证:
(1)平面PBC;
(2)平面DEF平面PAC.
【证】
(1)在△PAC中,因为E,F分别是AP,
AC的中点,所以EF//PC.………2分
又因为平面PBC,平面PBC,
所以平面PBC.………………5分
(2)连结CD.因为,,所以△ACD为正三角形.
因为F是AC的中点,所以.………………………………………7分
因为平面PAC
平面ABC,平面ABC,平面PAC
平面ABC,
所以平面PAC.
…………………………………………………………11分
因为平面DEF,所以平面DEF平面PAC.…………………………14分
17.如图,港口A在港口O的正东120海里处,小岛B在港口O的北偏东的方向,且在港口A
北偏西的方向上.一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏东的OD方向以20海里/小时
的速度驶离港口O.一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B,在B岛转运补
O
东
北
给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为1小时.
(1)求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间;
(2)给养快艇驶离港口A后,最少经过多少时间
能和科考船相遇?
(1)由题意知,在△OAB中,
OA=120,.
于是,而快艇的速度为60海里/小时,
所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时.………………………………5分
(2)由
(1)知,给养快艇从港口A驶离2小时后,从小岛B出发与科考船汇合.
为使航行的时间最少,快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行,设t小时后恰与
科考船在C处相遇.…………………………………………………………………7分
在△OAB中,可计算得,
而在△OCB中,,………………………9分
由余弦定理,得,
即,
亦即,解得或(舍去).……………………………12分
故即给养快艇驶离港口A后,最少经过3小时能和科考船相遇?
………………………14分
18.设公差不为零的等差数列的各项均为整数,Sn为其前n项和,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)试求所有的正整数m,使得为数列中的项.
(1)因为是等差数列,且,而,于是.………2分
设的公差为d,则由得,
化简得,即,解得或,
但若,由知不满足“数列的各项均为整数”,故.………5分
于是.……………………………………………………7分
(2)因为,,……10分
所以要使为数列中的项,必须是3的倍数,
于是在中取值,
但由于是3的倍数,所以或.
由得;
由得.…………………………………………13分
当时,;
当时,.
所以所求m的值为3和4.…………………………………………………………16分
另解:
因为
,
于是只能取1或.(后略)
19.
在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短半轴长为2,椭圆C上
的点到右焦点的距离的最小值为.
x
y
l
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,且.
①求证:
原点O到直线AB的距离为定值;
②求AB的最小值.
(1)由题意,可设椭圆C的方程为,焦距为2c,离心率为e.
于是.
设椭圆的右焦点为F,椭圆上点P到右准线距离为,
则,于是当d最小即P为右顶点时,PF取得最小值,
所以.……………………………………………………………………3分
所以椭圆方程为.………………………………………………………5分
(2)①设原点到直线的距离为h,则由题设及面积公式知.
当直线的斜率不存在或斜率为时,或
于是.………………………………………………………………7分
当直线的斜率存在且不为时,则,
解得同理………………………………………9分
在Rt△OAB中,,
则
,所以.
综上,原点到直线的距离为定值.……………………………………11分
,所以.
②因为h为定值,于是求的最小值即求的最小值.
,
令,则,
于是,…………………14分
因为,所以,
当且仅当,即,取得最小值,因而
所以的最小值为.…………………………………………………………16分
20.设函数,其图象在点处切线的斜率为.
(1)求函数的单调区间(用只含有的式子表示);
(2)当时,令,设,是函数的两个根,是,
的等差中项,求证:
(为函数的导函数).
【解】
(1)函数的定义域为.
,则,即.
于是.……………………………………………………2分
①当时,,在上是单调减函数;
②当时,令,得(负舍),
所以在上是单调减函数,在上是单调增函数;
③当时,若,则恒成立,在上单调减函数;
若,令,得(负舍),
所以在上单调增函数,在上单调减函数;
综上,若,的单调减区间为,单调增区间为;
若,的单调减区间为;
若,的单调增区间为,单调减区间为.
……………………………………8分
(2)因为,所以,即.
因为的两零点为,,则
相减得:
,
因为,所以,
于是
.
……………………………………14分
令,,
则,则在上单调递减,
则,又,则.命题得证.………………16分
·
21A.如图,AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的
切线交AB的延长线于点C.若DA=DC,求证:
AB=2BC.
【证】连结OD,BD,
因为AB是圆O的直径,所以.
因为DC是圆O的切线,所以.
因为AD=DC,所以.于是△ADB△CDO,从而AB=CO,
即2OB=OB+BC,得OB=BC.故AB=2BC.……………………………………10分
21B.已知矩阵A的逆矩阵A,求矩阵A的特征值.
【解】因为AA=E,所以A=(A).
因为A,所以A=(A).…………………………………5分
于是矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ2-3λ-4,………………………8分
令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-1,λ2=4.………………………………………10分
21C.在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆(为参数)的左焦点,且与直线
(t为参数)平行的直线的普通方程.
【解】椭圆的普通方程:
,左焦点………………………………………3分
直线的普通方程:
.…………………………………………………………6分
设过焦点且与直线平行的直线为
将代入,
所求直线的普通方程为.…………………………………………………10分
21D.
已知实数x,y满足:
|x+y|,,求证:
|y|.
【证】.…………………………………5分
由题设知|x+y|,,
从而.故|y|.…………………………………………………10分
22.从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点,设随机变量ξ是这两点间的距离.
(1)求概率;
(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ
).
(1)从正方体的8个顶点中任取不同2点,共有种.
因为正方体的棱长为1,所以其面对角线长为,
正方体每个面上均有两条对角线,所以共有条.
因此.……………………………………………3分
(2)随机变量的取值共有1,,三种情况.
正方体的棱长为1,而正方体共有12条棱,于是.………………………5分
从而.…………………………………7分
所以随机变量的分布列是
1
P()
…………………………………………………………………8分
因此.…………………………………………10分
23.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:
,F为其焦点,点E的坐标为(2,0),设M
为抛物线C上异于顶点的动点,直线MF交抛物线C于另一点N,链接ME,NE并延长分别交
抛物线C与点P,Q.
(1)当MN
Ox时,求直线PQ与x轴的交点坐标;
(2)当直线MN,PQ的斜率存在且分别记为k1,k2时,求证:
.
(1)抛物线C:
的焦点F(1,0).
当MN
Ox时,直线MN的方程为.
将代入抛物线方程,得.
不妨设,,
则直线ME的方程为,
由解得或,于是得.
同理得,所以直线的方程为.
故直线PQ与x轴的交点坐标(4,0).………………………………………………4分
(2)设直线MN的方程为,
并设.
由,
于是①,从而②.
设直线MP的方程为,
所以③,④.
同理⑤,⑥.
由①②③④⑤⑥,得.
即.…………………………………………………………………………10分
高三数学参考答案及评分建议第10页(共10页)
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