立体几何专题二-存在性问题讲义Word文档格式.doc
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1.异面直线所成的角
设a、b是异面直线,分别是直线a,b上的向量,则异面直线a,b所成的角与的夹角的余弦值的绝对值相等.
2.二面角:
求两平面法向量的夹角与其夹角的补角
3.距离:
(在两者之间各取一点A与点B,是法向量)
3.解决有关垂直问题的方法:
(1).线线垂直:
(2).线面垂直:
(是直线的方向向量,平面法向量)
(3).面面垂直:
四、实例解析
例1、如图,在三棱柱中,,顶点在底面上的射影恰为点B,且
B
A
C
A1
B1
C1
.
(1)求棱与BC所成的角的大小;
(2)在线段上确定一点P,使,
并求出二面角的平面角的余弦值.ks5u
解:
(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,
z
x
y
P
则,
,.
,
故与棱BC所成的角是.………………6分
(2)设,
则.
于是(舍去),
则P为棱的中点,其坐标为.……………8分
设平面的法向量为,
则,即
令
故……………11分
而平面的法向量=(1,0,0),则
故二面角的平面角的余弦值是.………………14分
例2.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,,E,F分别是BC,PC的中点.
(Ⅰ)证明:
AE⊥PD;
(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,
求二面角E—AF—C的余弦值.
由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°
,可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.
又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.
而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD,又PD平面PAD.
所以AE⊥PD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系,又E、F分别为BC、PC的中点,
所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(C,1,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(),
所以
设平面AEF的一法向量为
则因此
取
因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC,
故为平面AFC的一法向量.
又=(),所以cos<,>=
因为二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为
例3、如图3,在四面体中,,且
图3
(1)设为的中点,证明:
在上存在一点,使,并计算的值;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
解法一:
(1)在平面内作交于,连接.
又,,
,
.
取为的中点,则,
,
在等腰中,,
,
在中,,,
在中,,
,
(2)连接,由,知:
.
又,又由,.
又,又是的中点,
,,
为二面角的平面角
在等腰中,,
在中,,在中,.
解法二:
在平面中,过点,作交于,取为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系(如图所示)
则
为中点,
设
.
即,.
所以存在点使得且.
(2)记平面的法向量为,则由,,且,
得,故可取
又平面的法向量为..
二面角的平面角是锐角,记为,则
例4、如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.
解法1:
(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、
B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、
P(0,0,2)、E(0,,1),
从而
设的夹角为θ,则
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(Ⅱ)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,O,z),
则,由NE⊥面PAC可得,
∴
即N点的坐标为,从而N点到AB、AP的距离分别为1,.
解法2:
(Ⅰ)设AC∩BD=O,连OE,则OE//PB,
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中,AO=1,OE=
∴
即AC与PB所成角的余弦值为.
(Ⅱ)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则.
连PF,则在Rt△ADF中
设N为PF的中点,连NE,则NE//DF,
∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC,从而NE⊥面PAC.
∴N点到AB的距离,N点到AP的距离
例5、如图,已知平面∥平面β∥平面γ,且β位于与γ之间.点A、D∈,C、F∈γ,
AC∩β=B,DF∩β=E.
(1)求证:
=;
(2)设AF交β于M,AD与CF不平行,与β间距离为h′,与γ间距离为h,当的值是多少时,S△BEM的面积最大?
(1)证明:
,,
同理:
(2)由
(1)知
同理:
据题意知:
AD与CF异面,只是在间变化位置,故CF、AD是常量,
是AD与CF所成角的正弦值,也是常量.
令,只要考查函数的最值,
显然,当时,即时,有最大值.
当时,即在两平面的中间时面积最大.
例5、如图5,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点,.
(1)求证:
平面;
(2)若四棱锥的体积为,求二面角的正切值.
(1)证明:
连接,设与相交于点,连接,
∵四边形是平行四边形,
∴点为的中点.
∵为的中点,
∴为△的中位线
∴.……2分
∵平面,平面,
∴平面.……4分
(2)解:
依题意知,,
∵平面,平面,
∴平面平面,且平面平面.
作,垂足为,则平面,……6分
设,
在Rt△中,,,
∴四棱锥的体积
.……8分
依题意得,,即.……9分
(以下求二面角的正切值提供两种解法)
解法1:
∵,平面,平面,
∴平面.
取的中点,连接,则,且.
作,垂足为,连接,
由于,且,
∵平面,
∴.
∴为二面角的平面角.……12分
由Rt△~Rt△,得,
得,
在Rt△中,.
∴二面角的正切值为.……14分
解法2:
∵,平面,平面,
∴平面.
以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,
轴和轴,建立空间直角坐标系.
则,,,.
∴,
设平面的法向量为,
由及,得
令,得.
故平面的一个法向量为,……11分
又平面的一个法向量为,
∴,.……12分
∴,.……13分
∴,.
∴二面角的正切值为.……14分
例6.如图6,正方形所在平面与圆所在平面相交于,线段为圆的弦,垂直于圆所在平面,垂足是圆上异于、的点,,圆的直径为9.
(1)求证:
平面平面;
(2)求二面角的平面角的正切值.
(1)证明:
∵垂直于圆所在平面,在圆所在平面上,
∴.
在正方形中,,
∵,∴平面.
∵平面,
∴平面平面.
(2)解法1:
∵平面,平面,
∴为圆的直径,即.
设正方形的边长为,
在△中,,
由,解得,.
过点作于点,作交于点,连结,
G
F
由于平面,平面,
∴.
∵,
∴平面.
∵,,
∴是二面角的平面角.
在△中,,,,
在△中,,
故二面角的平面角的正切值为.
∴为圆的直径,即.
由,解得,.
以为坐标原点,分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
.
设平面的法向量为,
则即
取,则是平面的一个法向量.
则
即
∵,
故二面角的平面角的正切值为.
例7、在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,PD=CD=AD=AB=a,∠ADC=120°
点E为AB的中点.
(I)证明:
AD⊥面PDB;
(II)求二面角D-PC-E的大小;
(III)求点B到面PEC的距离.
E
D
A
(I)∵∠ADC=120°
,AB∥CD,∴∠DAB=60°
又AD=AB=a,∴BD=,∴,
∴AD⊥BD,
又∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥AD,而PDBD=D,
∴AD⊥面PDB.…………………………………….……………..…………4分
(II)如图,以D为坐标原点,DA为x轴,DB为y轴,DP为z轴建立直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,a),A(a,0,0),E(,,0),
C(,,0),B(0,,0),
设平面PDC的法向量为,则,
即,∴.
同理求得平面PEC的一个法向量为,∴,
∴二面角D-PC-E的大小为.………………………………...10分
(III)由(II)知,面PEC的一个法向量,
于是点B到面PEC的距离.………………………14分
实战练习
1.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,,,且MD=NB=1,E为BC的中点.
(Ⅰ)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;
(Ⅱ)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?
若存在,求线段AS的长;
若不存在,请说明理由..k
2.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(Ⅰ)求证:
AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:
EC的值;
若不存在,试说明理由.
3.如图,平面平面,是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,
,的中点,,.
(Ⅰ)设是的中点,证明:
(Ⅱ)证明:
在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.
答案:
4.如图,在长方形中,,,为的中点,为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起,使平面平面.在平面内过点作,为垂足.设,则的取值范围是.
5.如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角.动点的斜边上.
(I)求证:
(II)当为的中点时,求异面直线与所成角的正切值大小;
(III)求与平面所成角的正切值最大值.
课后作业
例1、如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.
(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?
并说明理由;
(2)若BC边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切值.
Q
例2、如图,在棱长为1的正方体中,P是侧棱上的一点,.
(1)试确定,使得直线与平面所成角的正切值为;
(2)在线段上是否存在一个定点,使得对任意的,在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.
例3、如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点。
(1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;
(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE?
证明你的结论。
AD
BC
A1D1
B1C1
6、如图在长方体中,==1,,点E是AB上的动点
(1)若直线,请你确定点的位置,并求出此时异面直线与所成的角
(2)在
(1)的条件下求二面角的大小
7、在正方体中,是棱的中点。
(1)求平面与平面所成二面角的正切值;
(2)是侧面上的一动点,且平面,求直线与平面所成角的正切值的取值范围。
实战练习参考答案
若不存在,请说明理由..k.s.5.u.c.o.m
解析:
(1)在如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标
依题意,得。
所以异面直线与所成角的余弦值为.
(2)假设在线段上存在点,使得平面.
可设
又.
由平面,得即
故,此时.
经检验,当时,平面.
故线段上存在点,使得平面,此时.
(Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意。
在正方形ABCD中,,所以,得.
(Ⅱ)设正方形边长,则。
又,所以,连,由(Ⅰ)知,所以,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m且,所以是二面角的平面角。
由,知,所以,即二面角的大小为。
(Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使由(Ⅱ)可得,故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。
连BN。
在中知,又由于,故平面,得,由于,故.
(Ⅰ);
连,设交于于,由题意知.以O为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图。
设底面边长为,则高。
于是w.w.w.k.s.5.u.c.o从而
(Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,设所求二面角为,则,所求二面角的大小为
(Ⅲ)在棱上存在一点使.由(Ⅱ)知是平面的一个法向量,且
设w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则
而即当时,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
而不在平面内,故
3.(11浙江)如图,平面平面,
是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,
(Ⅰ)设是的中点,证明:
(Ⅱ)证明:
证明:
(I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,
则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量为,得,又直线不在平面内,因此有平面
(II)设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为.
4.(11浙江)如图,在长方形中,,,为的中点,为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起,使平面平面.在平面内过点作,为垂足.设,则的取值范围是.
可采用二个极端位置法,即对于F位于DC的中点时,,随着F点到C点时,因平面,即有,对于,又,因此有,则有,因此的取值范围是
(II)当为的中点时,求异面直线与所成角的大小;
(III)求与平面所成角的最大值.
解(I)平面,
(II)作,垂足为,连结(如图),则,
是异面直线与所成的角.
在中,,,.又.
在中,.
故
(III)由(I)知,平面,是与平面所成的角,且.当最小时,最大,这时,,垂足为,,,
与平面所成角的最大值为.
(II)建系,则,,,,,,..
课后学生作业布置(手写)
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