立体几何专题复习讲义资料docdocx.docx
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1平行关系
例题讲解:
例1:
已知四面体ABCD中,M、N分别是△ABC和△ACD的重心,求证:
(1)MN∥平面ABD;
(2)BD∥平面CMN。
答案与提示:
连CM、CN分别交AB、AD于E、F,连EF,易证MN∥EF∥BD
例2.已知边长为10的等边三角形ABC的顶点A在平面α内,顶点B、C在平面α的上方,BD为
AC边上的中线,B、C到平面α的距离BB1=2,CC1=4.
(1)求证:
BB1∥平面ACC1
(2)求证:
BD⊥平面ACC1
(3)求四棱锥A-BCC1B1的体积
答案与提示:
(3)307
例3.已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)
求证:
MN∥平面PAD;
(2)
求证:
MN⊥CD;
(3)
若平面PCD与平面ABCD所成二面角为θ,问能否确定
θ的值,使得MN是异面直线AB与PC的
公垂线.
P
答案与提示:
(3)45°
N
A
D
M
B
C
备用题
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,△ABC为正三角形,
D、E分别为BC、AC的中点,设
AB=2PA=2,
(1)如何在BC上找一点F,使AD∥平面PEF?
说明理由;
(2)对于
(1)中的点F,求二面角P-EF-A的大小;
答案与提示:
(1)F为CD中点
(2)arctan2
作业
1
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,点E、M分别为A1B、C1C的中点,过A1,B,M三点的平
面交C1D1于点N。
(1)求证:
EM∥平面ABCD;
(2)求二面角B-A1N-B1的正切值。
答案与提示:
(2)arctan5
4
2垂直关系
例题讲解:
例1:
如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=CA,PA⊥底面ABC,D为AB的中点.
(1)求证:
CD⊥PB;
(2)设二面角A-PB-C的平面角为α,且tanα=7,若底面边长为
1,求三棱锥P-ABC的体积.
答案与提示:
(2)
1
P
8
AC
DB
例2:
已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E、F分别是棱AA1和CC1的中点,G是A1C1
的中点.
(1)求证平面BFD1E⊥平面BGD1;
(2)求点G到平面BFD1E的距离;
(3)求四棱锥A1-BFD1E的体积.E
613
答案与提示:
(2)6a(3)6a
例3:
四边形ABCD中.AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿对角线BD折
起,记折起点A的位置为P,且使平面PBD⊥平面BCD.
(1)求证:
CD⊥平面PBD;
(2)求证:
平面PBC⊥平面PDC;
(3)求二面角P—BC—D的大小.
答案与提示:
(2)先证PB⊥面PCD(3)arctan2
备用题
在三棱锥S-ABC中,已知SA=4,AB=AC,BC=36,∠SAB=∠SAC=45°,SA与底面ABC所的角为
30°.
(1)求证:
SA⊥BC;
(2)求二面角S—BC—A的大小;
S
(3)求三棱锥S—ABC的体积.
答案与提示:
(2)arctan233(3)92
A
C
作业
C
B
A
1.在四棱锥P-ABCD中,已知PD⊥底面ABCD,底面ABCD为等腰梯形,且∠DAB=60°,AB=2CD,
∠DCP=45°,设CD=a.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积.
(2)求证:
AD⊥PB.
33
答案与提示:
(1)4a
2.如图,正三角形ABC与直角三角形
BCD成直二面角,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.
(1)求证:
AB⊥CD;
A
(2)求二面角D—AB—C的大小;
答案与提示:
(2)arctan2
3
B
C
D
3空间角
例1、如图1,设ABC-A1B1C1是直三棱柱,F是A1B1的中点,且
(1)求证:
AF⊥A1C;
(2)求二面角C-AF-B的大小.
解:
(1)如图2,设E是AB的中点,连接
CE,EA1.由ABC-A1B1C1是直三棱柱,知AA1⊥平面
ABC,而CE平面ABC,所以CE⊥AA1,
∵AB=2AA1=2a,∴AA1=a,AA1⊥AE,知AA1FE是正方形,从而
AF⊥A1E.而A1E是A1C在平
面AA1FE上的射影,故AF⊥A1C;
(2)设G是AB1与A1E的中点,连接CG.因为CE⊥平面AA1B1B,AF⊥A1E,由三垂线定理,CG⊥AF,所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角.∵AA1FE是正方形,AA1=a,
∴EG
1EA1
2a,∴CG
2a21a2
6a,
2
2
2
2
6a
∴tan∠CGE=
CG2
3
,∠CGE=60
,从而二面角C-AF-B的大小为60。
EG
2a
2
例2、一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面
A、B两点分别作两平面交线的垂线
AC、BD,求平面
A
√
以CD为轴,将平
A
45o
2
1
D
HE
C
C
o
面BCD旋转至与
F30
F
√2平面ACD共面
β
B
、之间,AB与成45o角,与成30角,过ABD与平面ABC所成的二面角D的大小.
√2
以AB为轴,将平
1
1E145o
D
A
30oB
1
面ABD旋转至与
F
平面ABC共面
C
图1
B
图3
图2
解法1、过D点作DE⊥AB于E,过E作EF⊥AB交BC于F(图1),连结DF,则∠DEF即为二面
角D-AB-C的平面角.
为计算△DEF各边的长,我们不妨画出两个有关的移出图.
在图2中,可计算得DE=1,EF=1
,
3
BF=
BE
0=
2.在移出图3中,
cos30
3
∵cosB=BD=2,
BC3
在△BDF
中,由余弦定理:
DF2=BD
2+BF2-2BD﹒BF﹒cosB
=
(2)2+
(2)2-22﹒2﹒
2=2.
3
3
3
3
(注:
其实,由于
AB⊥DE,AB⊥EF,∴
AB⊥平面DEF,∴
AB⊥DF.
又∵
AC⊥平面,∴AC⊥DF.
∴
DF⊥平面ABC,∴
DF⊥BC,即DF是Rt△BDC斜边
BC上的高,于是由
BC﹒DF=CD﹒BD可直接求得DF的长.)
在△DEF中,由余弦定理:
cos∠DEF=DE2
1
(1
)22
3.
EF2
DF2=
3
3=
2DEEF
21
1
3
3
∴∠DEF=arccos3
.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小.
3
解法2、过D点作DE⊥AB于E,过C作CH⊥AB于H,则HE是二异面直线
CH和DE的公垂线
段,CD即二异面直线上两点
C、D间的距离.运用异面直线上两点间的距离公式,得:
CD2=DE2+CH2+EH2-2DE
CH
cos
(*)
0<o
o,
(注:
这里的
是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小,当
亦即异面直线CH
90o<
<180o,异面直线所成的角为
180o-.)
≤90
与DE所成的角;当
∵CD=DE=1,CH=3,HE=1,
2
2
从而算得
cos=
3,∴
=arccos3.
3
3
例3、如图1,直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,
D为棱BC上的一点,在截面
ADC1中,若∠ADC1=90,
求二面角D-AC1-C的大小.
解:
由已知,直三棱柱的侧面均为正方形,
∵∠ADC1=90o,即AD⊥C1D.又CC1⊥平面ABC,
∴AD⊥CC1.∴AD⊥侧面BC1,∴AD⊥BC,
∴D为BC的中点.
过C作CE⊥C1D于E,∵平面ADC1⊥侧面BC1,
∴CE⊥平面ADC1.取AC1的中点F,连结CF,则CF⊥AC1.
连结EF,则EF⊥AC1(三垂线定理)
∴∠EFC是二面角D-AC1-C的平面角.
在Rt△EFC中,sin∠EFC=CE.∵BC=CC1=a
CF
易求得
CE=a,CF=
2a.
5
2
∴sin∠EFC=10,∴
∠EFC=arcsin10.
5
5
∴二面角D-AC1-C的大小为arcsin10
.
5
A1
B1
C1
F
A
E
C
图
7D
B
图1
例4、(北京春季高考题)如图,
四棱锥的底面是边长为1的正方形,
S
C
D
A
B
图
(1)
SD垂直于底面ABCD,SB=√3。
(I)求证;
(II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
(III)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小。
(Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。
分析:
本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
(I)证明:
如图1
∵底面ABCD是正方形
SD⊥底面ABCD
DC
是SC在平面
ABCD
上的射影
由三垂线定理得
(II)解:
SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体
面ASD与面BSC所成的二面角就是面
与面
,如图2
所成的二面角,
又
为所求二面角的平面角
在
中,由勾股定理得
在
中,由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为
l
S
C
D
A
B
(III
图2
)解:
如图3
是等腰直角三角形
又M是斜边
图
SA的中点
3
面ASD,SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得异面直线DM与SB所成的角为
(Ⅳ)45°
练习:
1.设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=
∠DBC=1求:
(1).直线AD与平面BCD所成角的大小.
(2).异面直线AD与BC所成的角.
(3).二面角A-BD-C的大小.
答案:
(1)45°
(2)90°(3)180°-arctan2
2..如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为6,D,E分别为AA1,B1C1的中点.
(1)求证:
平面AA1E⊥平面BCD;
(2)求直线A1B1与平面BCD所成的角.
答案:
(2)30°
3.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,PD=a,PA=PC=2a,
(1)求证:
PD⊥平面ABCD;
(2)求异面直线PB与AC所成角的大小;
(3)求二面角A-PB-D的大小;
(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径.
答案:
(2)90°(3)60°(4)(2-√2)a/2
4.在三棱锥S-ABC中,已知SA=4,AB=AC,BC=36,∠SAB=∠SAC=45o,SA与底面ABC所成的角
为30o.
(1)求证:
SA⊥BC;
(2)求二面角S—BC—A的大小;
(3)求三棱锥S—ABC的体积.
答案:
(3)9
4距离
例1、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直
C1
A1B1
角三角形,∠ACB=900,AC=1,C点到AB1的距离为
CE=3,D为AB的中点.
2
(1)求证:
AB1⊥平面CED;
(2)求异面直线AB1与CD之间的距离;
(3)求二面角B1—AC—B的平面角.
解:
(1)∵D是AB中点,△ABC为等腰直角三角形,
∠ABC=900,∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC,∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥AB1,又CE⊥AB1,
∴AB1⊥平面CDE;
(2)由CD⊥平面∵AB1⊥平面CDE
∴DE是异面直线
A1B1BA∴CD⊥DE
∴DE⊥AB1,
AB1与CD的公垂线段
∵CE=
3,AC=1,∴CD=
2.∴DE
(CE)2
(CD)21
;
2
2
2
(3)连结B1C,易证B1C⊥AC,又BC⊥AC,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中,CE=
3,BC=AC=1,∴∠B1AC=600
2
∴AB1
1
2,
∴BB1
(AB1)2
(AB)2
2,
cos602
∴tg
BB1
2
∴
B1CBarctg
2.
B1CB
BC
例2、如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是
1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。
点M在AC上移动,
点N在BF上移动,若CM=BN=a(0a
2).
(1)
求MN的长;
(2)
当a为何值时,MN的长最小;
(3)
当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角
的大小。
C
D
M
B
E
N
A
F
例3.如图,平面∩平面=MN,
二面角A-MN-B为60°,点A∈,
B∈,C∈MN,∠ACM=∠BCN=45°.
AC=1,
N
A
B
(1)
求点A到平面
的距离;
C
(2)
求二面角A-BC-M的大小.
M
β
答案
(1)
6;
(2)arctan
6
(提示:
求出点
A在平面
的射影到直线
BC的距离为3
).
4
3
4
例4、已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=4cm,
C1
C
它的底面△ABC中有AC=BC=2cm,∠C=90°,E是AB的
中点.
B1
B
23
E
(1)求证:
CE和AB1
所在的异面直线的距离等于
1
cm;
A
A
3
(2)求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小.
10
答案
(2)arccos.
练习:
1.已知:
如图,△ABC中,AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,P是平面ABC外一点,且PA=PB=PC=6cm.
(1)求点P到平面ABC的距离;
(2)求PA与平面ABC所成角的余弦.
2.如图,正三棱柱ABC-ABC中,底面边长和侧棱长都是
1,D、E分别是CC和A
B
的中点.
1
1
1
1
1
1
(1)求点E到平面ABD的距离:
(2)求二面角A—BD—C的正切值.
3.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的九条棱均相等,D是BC上一
点
,
AD⊥C1D.
(1).求证:
截面ABC1⊥侧面BCC1B1.
(2)求二面角C-AC1-D的大小.
A1
C1
(3)若AB=2,求直线A1B与截面ADC1的距离.
B1
A
C
D
B
.
4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BC、A1D1的中点.
(1)求证:
四边形B1EDF是菱形;
(2)求直线A1C与DB的距离;
(3)求直线AD与平面B1EDF所成的角.
(4)求平面B1D1C与A1DB的距离
5多
面体
例1.斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形,侧棱长为
侧棱AA1和AB、AC都成45°的角,求棱柱的侧面积和体积.
b,
例2.三棱锥各侧面与底面均成45°角,底面三角形三内角
A、B、C满足2B=A+C,最大边与最小边是
方程3x2-27x+32=0的两根.
P
(1)求棱锥的高;
(2)求棱锥的侧面积.
A
C
F
E
O
D
B
例3.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为
4,M是BC的中点,N是CC1上一点,满足MN⊥AB1
(1)试求三棱锥B1
AMN的体积;
A1
C1
(2)求点C1到平面
AMN的距离。
B1
N
A
C
M
B
例4.如图,三棱柱
ABCA1B1C1的底面是边长为
a的正三角形,
侧
面
ABB1A1是菱形且垂直于底面,∠
A1AB=60°,M是A1B1的中点.
(1)求证:
BM⊥AC;
(2)求二面角BB1C1A1的正切值;
(3)求三棱锥MA1CB的体积.
习题
1.正三棱锥P-ABC的底面边长为a,E、F分别是侧棱PB、PC的中点,且E、A、F三点的截面垂直
于侧面PBC.
(1)求棱锥的全面积;
(2)侧面与底面所成的角的余弦值.
P
F
G
A
E
C
D
2.如图,直四棱柱ABCDAC11B1D1的侧棱AA1的长是a,底面ABCD是
B
边长AB=2a,
BD=a的矩形,E为C1D1的中点。
(.1)求二面角E-BD-C的大小;
(2)求三棱锥B1BDE的体积
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