导数运用极大值与极小值(含答案)Word下载.doc
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7.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间内单调递增;
②函数y=f(x)在区间内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;
⑤当x=-时,函数y=f(x)有极大值.
则上述判断正确的是________.(填序号)
二、能力提升
8.若a>
0,b>
0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于________.
9.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是________.
10.求下列函数的极值:
(1)f(x)=x3-12x;
(2)f(x)=.
11.已知f(x)=x3+mx2-2m2x-4(m为常数,且m>
0)有极大值-,求m的值.
12.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;
(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?
三、探究与拓展
13.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值.
答案
1.1
2.④
3.5
4.1 -3
5.3
6.9
7.③
8.9
9.1<
a<
4
10.解
(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).
令f′(x)=0,得x=-2或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
从表中可以看出,当x=-2时,函数f(x)有极大值,
且f(-2)=(-2)3-12×
(-2)=16;
当x=2时,函数f(x)有极小值,
且f
(2)=23-12×
2=-16.
(2)函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
∵f′(x)=,
令f′(x)=0,
得x1=-1,x2=2.
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,2)
↘
3
故当x=-1时,函数有极大值,
并且极大值为f(-1)=-.
11.解 ∵f′(x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m),
令f′(x)=0,则x=-m或x=m.
(-∞,-m)
-m
m
∴f(x)极大值=f(-m)=-m3+m3+2m3-4=-,
∴m=1.
12.解
(1)f′(x)=3x2-2x-1.
令f′(x)=0,则x=-或x=1.
(-∞,-)
(-,1)
(1,+∞)
所以f(x)的极大值是f(-)=+a,
极小值是f
(1)=a-1.
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,
由此可知,x取足够大的正数时,
有f(x)>
0,x取足够小的负数时,有f(x)<
0,
所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
由
(1)知f(x)极大值=f(-)=+a,
f(x)极小值=f
(1)=a-1.
∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,
∴f(x)极大值<
0或f(x)极小值>
即+a<
0或a-1>
∴a<
-或a>
1,
∴当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
13.解
(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,
故f′
(1)=3e.
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2,
由a≠知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论:
①若a>
,则-2a<
a-2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-∞,-2a)
-2a
(-2a,a-2)
a-2
(a-2,+∞)
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数.
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),
且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),
且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<
,则-2a>
a-2.当x变化时,f′(x),
f(x)的变化情况如下表:
(-∞,a-2)
(a-2,-2a)
(-2a,+∞)
所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,
在(a-2,-2a)内是减函数.
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),
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