解三角形典型例题综合讲解Word文档格式.doc
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A.a>2 B.a> C.a>0 D.a>1
9.在△ABC中,A=60°
,b=1,其面积为,则=()
A. B.C. D.
10.在△ABC中,已知,则C=()
A.300B.1500C.450D.1350
11.在中,,,则()
A.B.C.D.
12.在中,已知,,则的形状是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
13.不解三角形,确定下列判断中正确的是()
A.,有两解B.,有一解
C.,有两解D.,无解
14.在中,已知,则等于()
A.B.C.D.
15.在中,若,则等于()
A.B.C.或D.或
16.中,A=,BC=3,则的周长为()
A.B.
C.D.
17.在中,角A,B,C的对边分别为,,,已知A=,,,则等于()
A.1B.2C.D.
18.在中,,,,则的面积是( )
A. B. C. D.
19.某船开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东60的方向航行45km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是()
A.15km B.30km C.15km D.15km
20.在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则角B的值为()
A.B.C.或D.或
21.已知分别是三个内角的对边,且,则是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
22.在中,已知,则()
A.B.C.D.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(题型注释)
23.设的三个内角为A、B、C,向量,若,则.
24.在△中,分别为的对边,三边、、成等差数列,且,则的值为.
25.在中,已知分别为,,所对的边,为的面积.若向量满足,则=
26.在△ABC中,a,b,c是三个内角,A,B,C所对的边,若则()
27.已知中,角A、B、C所对边分别为,若,则的最小值为.
28.在中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且a=1,等于.
三、解答题(题型注释)
29.(本小题满分12分)在中,设内角A,B,C的对边分别为,向量,若
(1)求角的大小;
(2)若且,求的面积.
30.(本小题满分12分)
已知的三个内角所对的边分别为,向量,
,且.
(1)求的大小;
(2)现在给出下列三个条件:
①;
②;
③,试从中再选择两个条件以确定,求出所确定的的面积.
31.已知三角形的三边和面积S满足,求S的最大值。
32.(本小题满分13分)
在△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别a、b、c,
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)当时,求函数的最大值
33.本题满分12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA
(1)求B的大小;
(2)求cosA+sinC的取值范围.
34.一个人在建筑物的正西点,测得建筑物顶的仰角是,这个人再从点向南走到点,再测得建筑物顶的仰角是,设,间的距离是.
证明:
建筑物的高是.
35.一架飞机从A地飞到B到,两地相距700km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从机场起飞后,就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行,飞行到中途,再沿与原来的飞行方向成夹角的方向继续飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少?
A
700km
21
B
C
36.一架飞机在海拔8000m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是,计算这个海岛的宽度.
8000m
27
P
Q
37.如图,已知一艘船从30nmile/h的速度往北偏东的A岛行驶,计划到达A岛后停留10min后继续驶往B岛,B岛在A岛的北偏西的方向上.船到达C处时是上午10时整,此时测得B岛在北偏西的方向,经过20min到达D处,测得B岛在北偏西的方向,如果一切正常的话,此船何时能到达B岛?
30
60
20min
38.在中,已知,,解此三角形。
39.(本小题满分9分)设三角形的内角的对边分别为,.
(1)求边的长;
(2)求角的大小;
(3)求三角形的面积。
40.(本小题满分12分)中,分别是角A,B,C的对边,已知满足,且
(1)求角A的大小;
(2)求的值
41.(本小题12分)已知锐角三角形的内角的对边分别为,
且
(2)若三角形ABC的面积为1,求的值.
42.(本小题满分12分)
在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,C=2A,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求b的值.
试卷第7页,总7页
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参考答案
1.A
【解析】
试题分析:
因为是三角形的内角,所以由可得,所以可以得到;
反之,由,可以得到或,所以得不出,所以“”是“”的充分不必要条件.
考点:
本小题主要考查三角形中角和三角函数值的对应关系和充分条件、必要条件的判断,考查学生的推理能力.
点评:
三角形中,角和三角函数值并不是一一对应的,另外,判断充分条件和必要条件,要看清谁是条件谁是结论.
2.C
因为,由向量垂直的坐标运算可得,整理可得,由余弦定理可得
本小题主要考查向量垂直的坐标运算和余弦定理的应用,考查学生对问题的转化能力和运算求解能力.
由余弦定理求出,一定要交代A的取值范围,才可以得出结论.
3.B
所以,所以,所以,所以三角形的形状为直角三角形.
本小题主要考查对数的运算和勾股定理以及三角形形状的判断,考查学生的运算求解能力.
判断三角形的性质,要注意转化题中所给的条件,要么化成角之间的关系,要么化成边之间的关系,有时还要用到正余弦定理.
4.B
,
正余弦定理解三角形
正余弦定理可以实现三角形中边与角的互相转化
5.A
【解析】,且c>
a,所以A为锐角,
又因为
.
6.A
【解析】因为,所以此三角形无解.
7.D
【解析】,所以,
当时,;
当时,.
故△ABC的面积等于或.
8.B
【解析】因为sinA∶sinB∶sinC=a∶(a+1)∶2a,所以可以设三边长分别为ax,(a+1)x,2ax,
根据构成三角形的条件可知,所以.
9.B
【解析】因为∵A=60°
,b=1,其面积为∴S=bcsinA=,即c=4,
∴由余弦定理得:
a2=b2+c2-2bccosA=1+16-4=13,
∴a=,由正弦定理得2R=,故所求的表达式即为,选B.
10.C
【解析】因为,因此可知C=450,选C.
11.D
【解析】主要考查正弦定理的应用。
解:
由比例性质和正弦定理可知。
12.B
由可得,所以,即或,又由及可知,所以为等腰三角形。
13.B
利用三角形中大角对大边,大边对大角定理判定解的个数可知选B。
14.B
由正弦定理可得,带入可得,由于,所以,,又由正弦定理带入可得
15.D
由可得,由正弦定理可知,故可得,故或。
16.D
【解析】因为A=,BC=3,则可知,故三角形的周长为a+b+c=3+(sinB+sinC)2R,化为单一函数可知函数的周长为,选D
17.B
【解析】因为A=,,,根据余弦定理可知,故选B.
18.C
【解析】因为,所以.
19.C
【解析】由题意知在,求BC的长度,显然km.
20.D
【解析】因为,所以,
所以B=或
21.D
【解析】因为
所以一定等腰三角形或直角三角形.
22.B
23.
由题意知,,所以,所以.
本小题主要考查向量数量积的坐标运算、和差角公式和辅助角公式的应用以及根据三角函数值求角,考查学生的运算求解能力.
三角函数中公式较多,要准确掌握,灵活应用.
24.
因为三边、、成等差数列,所以由正弦定理可知,又因为,所以
(1)
设
(2)
以上两式平方相加得:
所以.
本小题主要考查等差数列性质的应用和正弦定理、两角和与查的三角函数公式的应用,考查学生的运算求解能力.
三角函数中公式较多,要注意恰当选择,灵活准确应用.
25.
因为,根据向量共线的坐标运算得:
即,因为是三角形的内角,所以=.
本小题主要考查共线向量的坐标关系、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,考查学生灵活运用公式的能力和运算求解能力.
向量共线和垂直的坐标运算经常考查,要灵活运用,求出三角函数值求角时要先交代清楚角的范围.
26.4
【解析】,
所以,
27.1
所以的最小值为1.
28.
【解析】因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B,所以,
由正弦定理得,.
29.
(1)
(2)
(1)
∴,∴
∵A为三角形的内角,∴……6分
(2)由余弦定理知:
即
,解得,
∴,∴……12分
本小题主要考查向量的模的运算、三角函数的化简和求值以及余弦定理和三角形面积公式的应用,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.
向量的运算中,一般是要求模先求模的平方,另外,正弦定理和余弦定理是解三角形中的两个重要定理,要灵活应用.
30.
(1)
(2)面积为
因为,,且,
所以,……2分
即,所以,……4分
因为,所以所以,
因为是三角形的内角,所以……6分
(Ⅱ)方案一:
选择①②,可确定,
因为
由余弦定理,得:
整理得:
,……10分
所以。
……13分
方案二:
选择①③,可确定,因为,
又,
由正弦定理,……10分
所以.……13分
本小题主要考查平面向量的数量积、两角和与差的余弦公式、正弦定理及三角形面积公式的综合应用,考查学生的运算求解能力.
在高考中经常遇到平面向量和三角函数结合的题目,此类问题一般难度不大,灵活选用公式,正确计算即可.
31.
由题意及正弦定理可得
由余弦定理
所以,则当时,.
本小题主要考查三角形的面积公式、正弦定理和余弦定理的应用以及利用基本不等式的变形公式求最值.
基本不等式的变形公式应用时也要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.
32.(Ⅰ).(Ⅱ)的最大值是.
(I)因为,由正弦定理得,从而可得sinC的值,进而求出C值.
(II)由(I)可求出A,所以,
进一步转化为+,然后利用正弦函数的性质求其特定区间上的最值即可.
(Ⅰ)因为,由正弦定理得,……2分
因为,所以,解得. ……4分
又因为,所以,所以. ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,. ……8分
所以
=+. ……11分
因为,所以,
所以的最大值是. ……13分
33.
(1).
(2)的取值范围为.
【解析】本题是中档题,考查三角函数的化简求值,正弦定理与两角和与差的正弦函数的应用,考查计算能力
(Ⅰ)结合已知表达式,利用正弦定理直接求出B的值.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)得到A+C的值,化简cosA+cosC为一个角的三角函数,结合角的范围即可求出表达式的取值范围
1)由,根据正弦定理得,所以,
由为锐角三角形得.
(2)
.
由为锐角三角形知,,.
解得所以,
所以.由此有,
所以,的取值范围为.
【答案】证明见解析
【解析】主要考查直角三角形中的边角关系。
解答时注意利用函数方程思想,在直角三角形中,通过建立关于的方程,达到证明目的。
设建筑物的同度是,建筑物的底部是,
则.
是直角三角形,是斜边,
所以,
所以,.
【答案】路程比原来远了约km.
在中,km,,
根据正弦定理,,
(km),
所以路程比原来远了约km.
【答案】约5821.71m.
【解析】主要考查直角三角形边角关系以及正弦定理的应用。
设飞机在点A,海岛两测分别为点P,Q,自点A向直线PQ作垂线AB,B为垂足。
由已知AQB=,APB=,PAQ=-=,在直角三角形APB,直角三角形AQB中,分别求得AP,AQ的长度。
在三角形PAQ中,由余弦定理求得PQ,即海岛宽度两之间的距离约月为5821.71m。
【答案】约1小时26分59秒.所以此船约在11时27分到达B岛.
在中,
,(nmile),
根据正弦定理,
,,
所以.
,
(nmile).
如果这一切正常,此船从C开始到B所需要的时间为:
(min)
即约1小时26分59秒.所以此船约在11时27分到达B岛.
38.,,。
由正弦定理,即,解得,
由,,及可得,
又由正弦定理,即,解得
39.
(1);
(2);
(3)。
【解析】本试题主要是考查了解三角形的求解,和三角形的面积公式。
(1)依正弦定理有
又,∴
(2)依余弦定理有,又<<,∴得到三角形的面积公式。
(1)依正弦定理有…………………………1分
又,∴…………………………3分
(2)依余弦定理有………………………5分
又<<,∴…………………………6分
(3)三角形的面积………………9分
40.⑴;
⑵。
(1)根据向量平行的坐标表示可得到,
进而得到,然后解出cosA的值,得到A.
(2)因为,所以,再根据,
从而可得,所以(因为c>
b),所以sinC=2sinB,再与,可求出sinC,进一步得到cosC,再根据两角差的余弦公式可求出.
⑴
………………5分
⑵
而
………………8分
与
可得 …………………………10分
………12分
41.
(1)
(2)。
(1)由利用正弦定理可得为锐角,所以
(2)由面积公式可知,把和ac=4代入下式即可求得b的值.
(1)由根据正弦定理得2分
又所以3分
由为锐角三角形得5分
(2)由的面积为1得6分又
8分
由余弦定理得9分
又11分
12分
42.(Ⅰ).(Ⅱ)b=5.
(I)由正弦定理.
(II)由a+c=10,,得到a=4,c=6,再由余弦定理,可建立关于b的方程,求出b的值.
(Ⅰ).
(Ⅱ)由及可解得a=4,c=6.
由化简得,.
解得b=4或b=5.
经检验知b=4不合题意,舍去.
所以b=5.
答案第13页,总14页
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