解三角形典型例题综合讲解.doc
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解三角形
考试范围:
xxx;考试时间:
100分钟;命题人:
xxx
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题(题型注释)
1.已知是三角形的内角,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量,若,则角A的大小为()
A. B.C.D.
3.设a,b,c为三角形三边,且若,则三角形的形状为()
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
4.在中,,则
A. B. C. D.
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则( )
A.a>b B.a 6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=λ,b=λ(λ>0),A=45°,则满足此条件的三角形个数是( ) A.0 B.1C.2 D.无数个 7.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于( ) A. B.C.或 D.或 8.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=a∶(a+1)∶2a,则a的取值范围是() A.a>2 B.a> C.a>0 D.a>1 9.在△ABC中,A=60°,b=1,其面积为,则=() A. B.C. D. 10.在△ABC中,已知,则C=() A.300B.1500C.450D.1350 11.在中,,,则() A.B.C.D. 12.在中,已知,,则的形状是() A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 13.不解三角形,确定下列判断中正确的是() A.,有两解B.,有一解 C.,有两解D.,无解 14.在中,已知,则等于() A.B.C.D. 15.在中,若,则等于() A.B.C.或D.或 16.中,A=,BC=3,则的周长为() A.B. C.D. 17.在中,角A,B,C的对边分别为,,,已知A=,,,则等于() A.1B.2C.D. 18.在中,,,,则的面积是( ) A. B. C. D. 19.某船开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东60的方向航行45km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是() A.15km B.30km C.15km D.15km 20.在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则角B的值为() A.B.C.或D.或 21.已知分别是三个内角的对边,且,则是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 22.在中,已知,则() A.B.C.D. 第II卷(非选择题) 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 23.设的三个内角为A、B、C,向量,若,则. 24.在△中,分别为的对边,三边、、成等差数列,且,则的值为. 25.在中,已知分别为,,所对的边,为的面积.若向量满足,则= 26.在△ABC中,a,b,c是三个内角,A,B,C所对的边,若则() 27.已知中,角A、B、C所对边分别为,若,则的最小值为. 28.在中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且a=1,等于. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 29.(本小题满分12分)在中,设内角A,B,C的对边分别为,向量,若 (1)求角的大小; (2)若且,求的面积. 30.(本小题满分12分) 已知的三个内角所对的边分别为,向量, ,且. (1)求的大小; (2)现在给出下列三个条件: ①;②;③,试从中再选择两个条件以确定,求出所确定的的面积. 31.已知三角形的三边和面积S满足,求S的最大值。 32.(本小题满分13分) 在△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别a、b、c, (Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)当时,求函数的最大值 33.本题满分12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA (1)求B的大小; (2)求cosA+sinC的取值范围. 34.一个人在建筑物的正西点,测得建筑物顶的仰角是,这个人再从点向南走到点,再测得建筑物顶的仰角是,设,间的距离是. 证明: 建筑物的高是. 35.一架飞机从A地飞到B到,两地相距700km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从机场起飞后,就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行,飞行到中途,再沿与原来的飞行方向成夹角的方向继续飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少? A 700km 21 B C 36.一架飞机在海拔8000m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是,计算这个海岛的宽度. 8000m 27 P Q 37.如图,已知一艘船从30nmile/h的速度往北偏东的A岛行驶,计划到达A岛后停留10min后继续驶往B岛,B岛在A岛的北偏西的方向上.船到达C处时是上午10时整,此时测得B岛在北偏西的方向,经过20min到达D处,测得B岛在北偏西的方向,如果一切正常的话,此船何时能到达B岛? 30 60 B C A 20min 38.在中,已知,,解此三角形。 39.(本小题满分9分)设三角形的内角的对边分别为,. (1)求边的长; (2)求角的大小;(3)求三角形的面积。 40.(本小题满分12分)中,分别是角A,B,C的对边,已知满足,且 (1)求角A的大小; (2)求的值 41.(本小题12分)已知锐角三角形的内角的对边分别为, 且 (1)求的大小; (2)若三角形ABC的面积为1,求的值. 42.(本小题满分12分) 在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,C=2A,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求b的值. 试卷第7页,总7页 本卷由【在线组卷网】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 参考答案 1.A 【解析】 试题分析: 因为是三角形的内角,所以由可得,所以可以得到;反之,由,可以得到或,所以得不出,所以“”是“”的充分不必要条件. 考点: 本小题主要考查三角形中角和三角函数值的对应关系和充分条件、必要条件的判断,考查学生的推理能力. 点评: 三角形中,角和三角函数值并不是一一对应的,另外,判断充分条件和必要条件,要看清谁是条件谁是结论. 2.C 【解析】 试题分析: 因为,由向量垂直的坐标运算可得,整理可得,由余弦定理可得 考点: 本小题主要考查向量垂直的坐标运算和余弦定理的应用,考查学生对问题的转化能力和运算求解能力. 点评: 由余弦定理求出,一定要交代A的取值范围,才可以得出结论. 3.B 【解析】 试题分析: 所以,所以,所以,所以三角形的形状为直角三角形. 考点: 本小题主要考查对数的运算和勾股定理以及三角形形状的判断,考查学生的运算求解能力. 点评: 判断三角形的性质,要注意转化题中所给的条件,要么化成角之间的关系,要么化成边之间的关系,有时还要用到正余弦定理. 4.B 【解析】 试题分析: , 考点: 正余弦定理解三角形 点评: 正余弦定理可以实现三角形中边与角的互相转化 5.A 【解析】,且c>a,所以A为锐角, 又因为 . 6.A 【解析】因为,所以此三角形无解. 7.D 【解析】,所以, 当时,; 当时,. 故△ABC的面积等于或. 8.B 【解析】因为sinA∶sinB∶sinC=a∶(a+1)∶2a,所以可以设三边长分别为ax,(a+1)x,2ax, 根据构成三角形的条件可知,所以. 9.B 【解析】因为∵A=60°,b=1,其面积为∴S=bcsinA=,即c=4, ∴由余弦定理得: a2=b2+c2-2bccosA=1+16-4=13, ∴a=,由正弦定理得2R=,故所求的表达式即为,选B. 10.C 【解析】因为,因此可知C=450,选C. 11.D 【解析】主要考查正弦定理的应用。 解: 由比例性质和正弦定理可知。 12.B 【解析】主要考查正弦定理的应用。 解: 由可得,所以,即或,又由及可知,所以为等腰三角形。 13.B 【解析】主要考查正弦定理的应用。 解: 利用三角形中大角对大边,大边对大角定理判定解的个数可知选B。 14.B 【解析】主要考查正弦定理的应用。 解: 由正弦定理可得,带入可得,由于,所以,,又由正弦定理带入可得 15.D 【解析】主要考查正弦定理的应用。 解: 由可得,由正弦定理可知,故可得,故或。 16.D 【解析】因为A=,BC=3,则可知,故三角形的周长为a+b+c=3+(sinB+sinC)2R,化为单一函数可知函数的周长为,选D 17.B 【解析】因为A=,,,根据余弦定理可知,故选B. 18.C 【解析】因为,所以. 19.C 【解析】由题意知在,求BC的长度,显然km. 20.D 【解析】因为,所以, 所以B=或 21.D 【解析】因为 所以一定等腰三角形或直角三角形. 22.B 【解析】 23. 【解析】 试题分析: 由题意知,,所以,所以. 考点: 本小题主要考查向量数量积的坐标运算、和差角公式和辅助角公式的应用以及根据三角函数值求角,考查学生的运算求解能力. 点评: 三角函数中公式较多,要准确掌握,灵活应用. 24. 【解析】 试题分析: 因为三边、、成等差数列,所以由正弦定理可知,又因为,所以 (1) 设 (2) 以上两式平方相加得: 所以. 考点: 本小题主要考查等差数列性质的应用和正弦定理、两角和与查的三角函数公式的应用,考查学生的运算求解能力. 点评: 三角函数中公式较多,要注意恰当选择,灵活准确应用. 25. 【解析】 试题分析: 因为,根据向量共线的坐标运算得: 即,因为是三角形的内角,所以=. 考点: 本小题主要考查共线向量的坐标关系、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,考查学生灵活运用公式的能力和运算求解能力. 点评: 向量共线和垂直的坐标运算经常考查,要灵活运用,求出三角函数值求角时要先交代清楚角的范围. 26.4 【解析】, 所以, 所以. 27.1 【解析】 所以, 所以的最小值为1. 28. 【解析】因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B,所以, 由正弦定理得,. 29. (1) (2) 【解析】 试题分析: (1) ∴,∴ ∵A为三角形的内角,∴……6分 (2)由余弦定理知: 即 ,解得, ∴,∴……12分 考点: 本小题主要考查向量的模的运算、三角函数的化简和求值以及余弦定理和三角形面积公式的应用,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力. 点评: 向量的运算中,一般是要求模先求模的平方,另外,正弦定理和余弦定理是解三角形中的两个重要定理,要灵活应用. 30. (1) (2)面积为 【解析】 试题分析: 因为,,且, 所以,……2分 即,所以,……4分 因为,所以所以, 因为是三角形的内角,所以……6分 (Ⅱ)方案一: 选择①②,可确定, 因为 由余弦定理,得: , 整理得: ,……10分 所以。 ……13分 方案二: 选择①③,可确定,因为, 又, 由正弦定理,……10分 所以.……13分 考点: 本小题主要考查平面向量的数量积、两角和与差的余弦公式、正弦定理及三角形面积公式的综合应用,考查学生的运算求解能力. 点评: 在高考中经常遇到平面向量和三角函数结合的题目,此类问题一般难度不大,灵活选用公式,正确计算即可. 31. 【解析】 试题分析: 由题意及正弦定理可得 由余弦定理 , 所以,则当时,. 考点: 本小题主要考查三角形的面积公式、正弦定理和余弦定理的应用以及利用基本不等式的变形公式求最值. 点评: 基本不等式的变形公式应用时也要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可. 32.(Ⅰ).(Ⅱ)的最大值是. 【解析】(I)因为,由正弦定理得,从而可得sinC的值,进而求出C值. (II)由(I)可求出A,所以, 进一步转化为+,然后利用正弦函数的性质求其特定区间上的最值即可. (Ⅰ)因为,由正弦定理得,……2分 因为,所以,解得. ……4分 又因为,所以,所以. ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,. ……8分 所以 =+. ……11分 因为,所以, 所以的最大值是. ……13分 33. (1). (2)的取值范围为. 【解析】本题是中档题,考查三角函数的化简求值,正弦定理与两角和与差的正弦函数的应用,考查计算能力 (Ⅰ)结合已知表达式,利用正弦定理直接求出B的值. (Ⅱ)利用(Ⅰ)得到A+C的值,化简cosA+cosC为一个角的三角函数,结合角的范围即可求出表达式的取值范围 1)由,根据正弦定理得,所以, 由为锐角三角形得. (2) . 由为锐角三角形知,,. 解得所以, 所以.由此有, 所以,的取值范围为. 【答案】证明见解析 【解析】主要考查直角三角形中的边角关系。 解答时注意利用函数方程思想,在直角三角形中,通过建立关于的方程,达到证明目的。 解: 设建筑物的同度是,建筑物的底部是, 则. 是直角三角形,是斜边, 所以, , . 所以,. 【答案】路程比原来远了约km. 【解析】主要考查正弦定理的应用。 解: 在中,km,, 根据正弦定理,, , , (km), 所以路程比原来远了约km. 【答案】约5821.71m. 【解析】主要考查直角三角形边角关系以及正弦定理的应用。 解: 设飞机在点A,海岛两测分别为点P,Q,自点A向直线PQ作垂线AB,B为垂足。 由已知AQB=,APB=,PAQ=-=,在直角三角形APB,直角三角形AQB中,分别求得AP,AQ的长度。 在三角形PAQ中,由余弦定理求得PQ,即海岛宽度两之间的距离约月为5821.71m。 【答案】约1小时26分59秒.所以此船约在11时27分到达B岛. 【解析】主要考查正弦定理的应用。 解: 在中, ,(nmile), 根据正弦定理, ,, 所以. 在中, ,, . 根据正弦定理, , 即 , (nmile). (nmile). 如果这一切正常,此船从C开始到B所需要的时间为: (min) 即约1小时26分59秒.所以此船约在11时27分到达B岛. 38.,,。 【解析】主要考查正弦定理的应用。 解: 由正弦定理,即,解得, 由,,及可得, 又由正弦定理,即,解得 39. (1); (2);(3)。 【解析】本试题主要是考查了解三角形的求解,和三角形的面积公式。 (1)依正弦定理有 又,∴ (2)依余弦定理有,又<<,∴得到三角形的面积公式。 解: (1)依正弦定理有…………………………1分 又,∴…………………………3分 (2)依余弦定理有………………………5分 又<<,∴…………………………6分 (3)三角形的面积………………9分 40.⑴;⑵。 【解析】 (1)根据向量平行的坐标表示可得到, 进而得到,然后解出cosA的值,得到A. (2)因为,所以,再根据, 从而可得,所以(因为c>b),所以sinC=2sinB,再与,可求出sinC,进一步得到cosC,再根据两角差的余弦公式可求出. ⑴ 即 ………………5分 ⑵ 而 ………………8分 与 可得 …………………………10分 ………12分 41. (1) (2)。 【解析】 (1)由利用正弦定理可得为锐角,所以 (2)由面积公式可知,把和ac=4代入下式即可求得b的值. (1)由根据正弦定理得2分 又所以3分 由为锐角三角形得5分 (2)由的面积为1得6分又 8分 由余弦定理得9分 又11分 12分 42.(Ⅰ).(Ⅱ)b=5. 【解析】(I)由正弦定理. (II)由a+c=10,,得到a=4,c=6,再由余弦定理,可建立关于b的方程,求出b的值. (Ⅰ). (Ⅱ)由及可解得a=4,c=6. 由化简得,. 解得b=4或b=5. 经检验知b=4不合题意,舍去. 所以b=5. 答案第13页,总14页
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