高中数学导数与积分知识点Word文档格式.doc
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即f(x)==。
说明:
(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。
如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。
(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤(可由学生来归纳):
(1)求函数的增量=f(x+)-f(x);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f’(x)=。
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x)) 处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。
3.常见函数的导出公式.
(1)(C为常数) (2)
(3) (4)
4.两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
(
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:
‘=(v0)。
形如y=f的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——求导——回代。
法则:
y'|=y'|·
u'|
5.导数的应用
(1)一般地,设函数在某个区间可导,如果,则为增函数;
如果,则为减函数;
如果在某区间内恒有,则为常数;
(2)曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;
曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;
曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
(3)一般地,在区间[a,b]上连续的函数f在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ在(a,b)内的极值;
②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);
③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
6.定积分
(1)概念
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<
x1<
…<
xi-1<
xi<
…xn=b把区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξi(i=1,2,…n)作和式In=(ξi)△x(其中△x为小区间长度),把n→∞即△x→0时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:
,即=(ξi)△x。
这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式:
=C;
=+C(m∈Q,m≠-1);
dx=ln+C;
=+C;
=sinx+C;
=-cosx+C(表中C均为常数)。
(2)定积分的性质
①(k为常数);
②;
③(其中a<c<b。
(3)定积分求曲边梯形面积
由三条直线x=a,x=b(a<
b),x轴及一条曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。
如果图形由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),及直线x=a,x=b(a<
b)围成,那么所求图形的面积S=S曲边梯形AMNB-S曲边梯形DMNC=。
四.典例解析
题型1:
导数的概念
例1.已知s=,
(1)计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度;
(2)求t=3秒是瞬时速度。
解析:
(1)指时间改变量;
指时间改变量。
。
其余各段时间内的平均速度,事先刻在光盘上,待学生回答完第一时间内的平均速度后,即用多媒体出示,让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
(2)从
(1)可见某段时间内的平均速度随变化而变化,越小,越接近于一个定值,由极限定义可知,这个值就是时,的极限,
V==
=(6+=3g=29.4(米/秒)。
例2.求函数y=的导数。
,
=-。
点评:
掌握切的斜率、瞬时速度,它门都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定基础。
题型2:
导数的基本运算
例3.
(1)求的导数;
(2)求的导数;
(3)求的导数;
(4)求y=的导数;
(5)求y=的导数。
(1),
(2)先化简,
(3)先使用三角公式进行化简.
(4)y’==;
(5)y=-x+5-
y’=3*(x)'-x'+5'-9)'=3*-1+0-9*(-)=。
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量。
例4.写出由下列函数复合而成的函数:
(1)y=cosu,u=1+
(2)y=lnu,u=lnx
(1)y=cos(1+);
(2)y=ln(lnx)。
通过对y=(3x-2展开求导及按复合关系求导,直观的得到=..给出复合函数的求导法则,并指导学生阅读法则的证明。
题型3:
导数的几何意义
例5.
(1)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
A.B.C.D.
(2)过点(-1,0)作抛物线的切线,则其中一条切线为()
(A)(B)(C)(D)
(1)与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为,故选A;
(2),设切点坐标为,则切线的斜率为2,且,于是切线方程为,因为点(-1,0)在切线上,可解得=0或-4,代入可验正D正确,选D。
导数值对应函数在该点处的切线斜率。
例6.
(1)半径为r的圆的面积S(r)=r2,周长C(r)=2r,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(r2)`=2r,式可以用语言叙述为:
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于的式子:
;
式可以用语言叙述为:
。
(2)曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。
(1)V球=,又故式可填,用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
”;
(2)曲线和在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1,它们与轴所围成的三角形的面积是。
导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的效果。
题型4:
借助导数处理单调性、极值和最值
例7.
(1)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)³
0,则必有()
A.f(0)+f
(2)<
2f
(1)B.f(0)+f
(2)£
2f
(1)
C.f(0)+f
(2)³
2f
(1)D.f(0)+f
(2)>
(2)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
(3)已知函数。
(Ⅰ)设,讨论的单调性;
(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围。
(1)依题意,当x³
1时,f¢
(x)³
0,函数f(x)在(1,+¥
)上是增函数;
当x<
(x)£
0,f(x)在(-¥
,1)上是减函数,故f(x)当x=1时取得最小值,即有f(0)³
f
(1),f
(2)³
f
(1),故选C;
(2)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个,选A。
(3):
(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'
(x)=e-ax。
(ⅰ)当a=2时,f'
(x)=e-2x,f'
(x)在(-∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(-∞,1),(1,+∞).为增函数;
(ⅱ)当0<
a<
2时,f'
(x)>
0,f(x)在(-∞,1),(1,+∞)为增函数.;
(ⅲ)当a>
2时,0<
<
1,令f'
(x)=0,解得x1=-,x2=;
当x变化时,f'
(x)和f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-)
(-,)
(,1)
(1,+∞)
f'
(x)
+
-
f(x)
↗
↘
f(x)在(-∞,-),(,1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(-,)为减函数。
(Ⅱ)(ⅰ)当0<
a≤2时,由(Ⅰ)知:
对任意x∈(0,1)恒有f(x)>
f(0)=1;
(ⅱ)当a>
2时,取x0=∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)<
(ⅲ)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有>
1且e-ax≥1,
得:
f(x)=e-ax≥>
1.综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>
1。
注意求函数的单调性之前,一定要考虑函数的定义域。
导函数的正负对应原函数增减。
例8.
(1)在区间上的最大值是()
(A)-2(B)0(C)2(D)4
(2)设函数f(x)=(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)讨论f(x)的极值。
(1),令可得x=0或2(2舍去),当-1£
x<
0时,>
0,当0<
x£
1时,<
0,所以当x=0时,f(x)取得最大值为2。
选C;
(2)由已知得,令,解得。
(Ⅰ)当时,,在上单调递增;
当时,,随的变化情况如下表:
+
极大值
极小值
从上表可知,函数在上单调递增;
在上单调递减;
在上单调递增。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,函数没有极值;
当时,函数在处取得极大值,在处取得极小值。
本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。
题型5:
导数综合题
例9.设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求
(I)求点的坐标;
(II)求动点的轨迹方程.
(Ⅰ)令解得;
当时,,当时,,当时,。
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,。
所以,点A、B的坐标为。
(Ⅱ)设,,
,所以。
又PQ的中点在上,所以,消去得。
该题是导数与平面向量结合的综合题。
例10.已知函数,数列{}满足:
证明:
(ⅰ);
(ⅱ)。
(I).先用数学归纳法证明,n=1,2,3,…
(i).当n=1时,由已知显然结论成立。
(ii).假设当n=k时结论成立,即。
因为0<
1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数。
又f(x)在[0,1]上连续,从而.故n=k+1时,结论成立。
由(i)、(ii)可知,对一切正整数都成立。
又因为时,,所以,综上所述。
(II).设函数,,
由(I)知,当时,,
从而所以g(x)在(0,1)上是增函数。
又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以当时,g(x)>
0成立。
于是.故。
该题是数列知识和导数结合到一块。
题型6:
导数实际应用题
例11.请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。
试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?
设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:
m)。
于是底面正六边形的面积为(单位:
m2):
。
帐篷的体积为(单位:
m3):
求导数,得;
令解得x=-2(不合题意,舍去),x=2。
当1<
2时,,V(x)为增函数;
当2<
4时,,V(x)为减函数。
所以当x=2时,V(x)最大。
答:
当OO1为2m时,帐篷的体积最大。
结合空间几何体的体积求最值,理解导数的工具作用。
例12.已知函数f(x)=x+x,数列|x|(x>0)的第一项x=1,以后各项按如下方式取定:
曲线x=f(x)在处的切线与经过(0,0)和(x,f(x))两点的直线平行(如图)求证:
当n时,
(Ⅰ)x
(Ⅱ)。
证明:
(I)因为所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是所以.
(II)因为函数当时单调递增,而
所以,即因此
又因为令则
因为所以
因此故
本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力。
题型7:
定积分
例13.计算下列定积分的值
(1);
(2);
(3);
(4);
(1)
(2)因为,所以;
(3)
(4)
例14.
(1)一物体按规律x=bt3作直线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时,阻力所作的功。
(2)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax.
(1)物体的速度。
媒质阻力,其中k为比例常数,k>
0。
当x=0时,t=0;
当x=a时,,
又ds=vdt,故阻力所作的功为:
(2)依题设可知抛物线为凸形,它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0,x2=-b/a,所以
(1)
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切,即它们有唯一的公共点,
由方程组
得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为0,即(b+1)2+16a=0.
于是代入
(1)式得:
,;
令S'
(b)=0;
在b>0时得唯一驻点b=3,且当0<b<3时,S'
(b)>0;
当b>3时,S'
(b)<0.故在b=3时,S(b)取得极大值,也是最大值,即a=-1,b=3时,S取得最大值,且。
应用好定积分处理平面区域内的面积。
五.思维总结
1.本讲内容在高考中以填空题和解答题为主
主要考查:
(1)函数的极限;
(2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用;
(3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积。
2.考生应立足基础知识和基本方法的复习,以课本题目为主,以熟练技能,巩固概念为目标。
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