2015年高中数学学业水平考试知识点大全(必修1-5)Word文件下载.doc
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单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
对称性
和关于y轴对称
奇偶性
非奇非偶函数
7、对数函数的含义及其运算性质:
(1)函数叫对数函数。
(2)
于 对数函数当为减函数,当为增函数;
①负数和零没有对数;
②1的对数等于0:
;
③底真相同的对数等于1:
,
(3)对数的运算性质:
如果a>
0,a≠1,M>
0,N>
0,那么:
②;
(4)换底公式:
(5)对数函数的图象和性质:
图
象
(1)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(2)在R上是减函数
(2)在R上是增函数
(3)同正异负,即0<
1,0<
x<
1或a>
1,x>
1时,logax>
0;
1时,logax<
0。
(4)非寄非偶函数。
8、幂函数:
函数叫做幂函数(只考虑的图象)。
9、方程的根与函数的零点:
如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间(a,b)内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的根。
必修二
一、直线平面简单的几何体
1、长方体的对角线长;
正方体的对角线长
2、球的体积公式:
;
球的表面积公式:
3、柱体、锥体、台体的体积公式:
=h(为底面积,为柱体高);
=(为底面积,为柱体高)
=(’++)(’,分别为上、下底面积,为台体高)
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理:
(1)四公理三推论:
公理1:
若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内。
公理2:
经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。
公理3:
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
推论一:
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二:
经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三:
经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)空间线线,线面,面面的位置关系:
空间两条直线的位置关系:
相交直线——有且仅有一个公共点;
平行直线——在同一平面内,没有公共点;
异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线。
空间直线和平面的位置关系:
(1)直线在平面内(无数个公共点);
(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);
(3)直线和平面平行(没有公共点)它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为,,。
空间平面和平面的位置关系:
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线。
5、直线与平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么该直线与这个平面平行。
符号表示:
。
图形表示:
6、两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。
图形表示:
7、.直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已知平面相交,那么交线与这条直线平行。
图形表示:
8、两个平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交线的平行。
9、直线与平面垂直的判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么
这条直线垂直于这个平面。
10、.两个平面垂直的判定定理:
一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
符号表示:
11、直线与平面垂直的性质:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
12、平面与平面垂直的性质:
如果两个平面互相垂直,那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
13、异面直线所成角:
平移到一起求平移后的夹角。
直线与平面所成角:
直线和它在平面内的射影所成的角。
(如右图)
14、异面直线所成角的取值范围是;
直线与平面所成角的取值范围是;
二面角的取值范围是;
两个向量所成角的取值范围是
二、直线和圆的方程
1、斜率:
,;
直线上两点,则斜率为
2、直线的五种方程:
(1)点斜式(直线过点,且斜率为).
(2)斜截式(b为直线在y轴上的截距).
(3)两点式((、;
()、()).
(4)截距式(分别为直线的横、纵截距,)
(5)一般式(其中A、B不同时为0).
3、两条直线的平行、重合和垂直:
(1)若,
①‖≠
③.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
②
4、两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式│P1P2│=
5、两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的中点坐标公式M(,)
6、点P(x0,y0)到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0的距离公式d=
7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=
8、圆的方程:
标准方程,圆心,半径为;
一般方程,(配方:
)
时,表示一个以为圆心,半径为的圆;
9、点与圆的位置关系:
点与圆的位置关系有三种:
若,则
点在圆外;
点在圆上;
点在圆内.
10、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种:
;
.其中.
11、弦长公式:
若直线y=kx+b与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则由
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次曲线方程
y=kx+m
则知直线与二次曲线相交所截得弦长为:
=
==
=
13、空间直角坐标系,两点之间的距离公式:
⑴xoy平面上的点的坐标的特征A(x,y,0):
竖坐标z=0
xoz平面上的点的坐标的特征B(x,0,z):
纵坐标y=0
yoz平面上的点的坐标的特征C(0,y,z):
横坐标x=0
x轴上的点的坐标的特征D(x,0,0):
纵、竖坐标y=z=0
y轴上的点的坐标的特征E(0,y,0):
横、竖坐标x=z=0
z轴上的点的坐标的特征E(0,0,z):
横、纵坐标x=y=0
⑵│P1P2│=
必修三
算法初步与统计:
以下是几个基本的程序框流程和它们的功能
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算(语句、结果的传送)
判断框
判断某一条件是否成立时,在出口处标明“是”或“Y”,不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框(流程进行的方向)
连接点
连接程序框图的两部分
注释框
帮助注解流程图
循环框
程序做重复运算
一、算法的三种基本结构:
(1)顺序结构
(2)条件结构(3)循环结构
二、算法基本语句:
1、输入语句:
输入语句的格式:
INPUT“提示内容”;
变量。
2、输出语句:
输出语句的一般格式:
PRINT“提示内容”;
表达式。
3、赋值语句:
赋值语句的一般格式:
变量=表达式。
4、条件语句
(1)“IF—THEN—ELSE”语句。
5、循环语句:
直到型循环结构“DO—LOOPUNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。
三.三种常用抽样方法:
1、简单随机抽样;
2.系统抽样;
3.分层抽样。
4.统计图表:
包括条形图,折线图,饼图,茎叶图。
四、频率分布直方图:
具体做法如下:
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);
(2)决定组距与组数;
(3)将数据分组;
(4)列频率分布表;
(5)画频率分布直方图。
注:
频率分布直方图中小正方形的面积=组距×
频率。
2、频率分布直方图:
(注意:
不是小矩形的高度)
计算公式:
各组频数之和=样本容量,各组频率之和=1
3、茎叶图:
茎表示高位,叶表示低位。
折线图:
连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。
4、刻画一组数据集中趋势的统计量:
平均数,中位数,众数。
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数;
将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数;
5、刻画一组数据离散程度的统计量:
极差,极准差,方差。
(1)极差一定程度上表明数据的分散程度,对极端数据非常敏感。
(2)方差,标准差越大,离散程度越大。
方差,标准差越小,离散程度越小,聚集于平均数的程度越高。
(3)计算公式:
标准差:
方差:
直线回归方程的斜率为,截距为,即回归方程为=x+(此直线必过点(,))。
6、频率分布直方图:
在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,方长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1。
五、随机事件:
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
一般用大写字母A,B,C…表示.
随机事件的概率:
在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
由定义可知0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0。
1、事件间的关系:
(1)互斥事件:
不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;
(2)对立事件:
不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件;
(3)包含:
事件A发生时事件B一定发生,称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);
(4)对立一定互斥,互斥不一定对立。
2、概率的加法公式:
(1)当A和B互斥时,事件A+B的概率满足加法公式:
P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)
(2)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).
3、古典概型:
(1)正确理解古典概型的两大特点:
1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
2)每个基本事件出现的可能性相等;
(2)掌握古典概型的概率计算公式:
4、几何概型:
(1)几何概率模型:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型。
(2)几何概型的特点:
1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
2)每个基本事件出现的可能性相等.
(3)几何概型的概率公式:
5、排列:
(1)、排列数公式:
==.(,∈N*,且).0!
=1
(2)、全排列:
n个不同元素全部取出的一个排列;
6、组合:
(1)、组合数公式:
===(,∈N*,且);
必修四
一、三角函数
1、弧度制:
(1)、弧度,1弧度;
弧长公式:
(为所对的弧长,为半径,正负号的确定:
逆时针为正,顺时针为负)。
2、三角函数:
(1)、定义:
3、特殊角的三角函数值:
的角度
的弧度
—
4、同角三角函数基本关系式:
5、诱导公式:
(众变横不变,符号看象限)正弦上为正;
余弦右为正;
正切一三为正。
6、两角和与差的正弦、余弦、正切:
:
:
:
tan+tan=tan(+)()tan-tan=tan(-)()
7、辅助角公式:
8、二倍角公式:
(1)、:
:
(2)、降次公式:
(多用于研究性质)
9、在四个三角函数中只有是偶函数,其它三个是寄函数。
(指数函数、对数函数是非寄非偶函数)
10、在三角函数中求最值(最大值、最小值);
求最小正周期;
求单调性(单调第增区间、单调第减区间);
求对称轴;
求对称中心点都要将原函数化成标准型;
如:
再求解。
11、三角函数的图象与性质:
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
在
上是增函数
上是减函数
最值
当时,
无
对称中心,
对称轴:
12.函数的图象:
(1)用“图象变换法”作图
由函数的图象通过变换得到的图象,有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一:
先平移后伸缩
法二:
先伸缩后平移
当函数(A>
0,,)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;
往复振动一次所需要的时间,它叫做振动的周期;
单位时间内往复振动的次数,它叫做振动的频率;
叫做相位,叫做初相(即当x=0时的相位)。
二、平面向量
1、平面向量的概念:
在平面内,具有大小和方向的量称为平面向量.
向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
向量的大小称为向量的模(或长度),记作.
模(或长度)为的向量称为零向量;
模为的向量称为单位向量.
与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量,记作.
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么
(1)结合律:
λ(μ)=(λμ);
(2)第一分配律:
(λ+μ)=λ+μ;
(3)第二分配律:
λ()=λ+λ.
3、向量的数量积的运算律:
(1)·
=·
(交换律);
(2)()·
=(·
)=·
();
(3)()·
=·
+·
.
4、平面向量基本定理:
如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得=λ1+λ2.
不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
5、坐标运算:
(1)设,则
数与向量的积:
λ,数量积:
(2)、设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则.(终点减起点)
6、平面两点间的距离公式:
(1)=
(2)向量的模||:
(3)、平面向量的数量积:
,注意:
,,
(4)、向量的夹角,则,
()
7、重要结论:
(1)、两个向量平行:
,
(2)、两个非零向量垂直
(3)、P分有向线段的:
设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),且,
则定比分点坐标公式 中点坐标公式
三、空间向量
1、空间向量的概念:
(空间向量与平面向量相似)
在空间中,具有大小和方向的量称为空间向量.
2、实数与空间向量的乘积是一个向量,称为向量的数乘运算.当时,与方向相同;
当时,与方向相反;
当时,为零向量,记为.的长度是的长度的倍.
3、设,为实数,,是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律.
分配律:
结合律:
.
4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.
5、向量共线的充要条件:
对于空间任意两个向量,,的充要条件是存在实数,使.
6、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
7、向量共面定理:
空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对,,使;
或对空间任一定点,有;
或若四点,,,共面,则.
8、已知两个非零向量和,在空间任取一点,作,,则称为向量,的夹角,记作.两个向量夹角的取值范围是:
9、对于两个非零向量和,若,则向量,互相垂直,记作.
10、已知两个非零向量和,则称为,的数量积,记作.即.零向量与任何向量的数量积为.
11、等于的长度与在的方向上的投影的乘积.
12、若,为非零向量,为单位向量,则有;
,,;
13、量数乘积的运算律:
14、空间向量基本定理:
若三个向量,,不共面,则对空间任一向量,存在实数组,使得.
15、三个向量,,不共面,则所有空间向量组成的集合是
.这个集合可看作是由向量,,生成的,
称为空间的一个基底,,,称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
16、设,,为有公共起点的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以,,的公共起点为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.则对于空间任意一个向量,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,得到向量.存在有序实数组,使得.把,,称作向量在单位正交基底,,下的坐标,记作.此时,向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标.
17、设,,则.
.
若、为非零向量,则.
若,则.
,,则.
18、若空间不重合两条直线,的方向向量分别为,,则
,异面垂直时.
19、若空间不重合的两个平面,的法向量分别为,,则
,.
20、直线垂直,取直线的方向向量,则向量称为平面的法向量.
21、法向量的定义:
垂直于平面或者垂直于线的向量(方向不管)。
22、若直线的方向向量为,平面的法向量为,且,则
★法向量的计算
方法一:
已知,设面平ABC的一个法向量为,由⊥面ABC得所以:
;
所以
即
上面两个方程,要解三个未知数,为了计算方便,取z(或x或y)等于一
个数,可求出另两个未知数,得出平面的一个法向量。
方法二:
若,则平面ABC的一个法向量为:
y1z1z1x1x1y1
()
y2z2,z2x2,x2y2
=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)
立体几何中的向量方法
------距离问题
一、求点到平面的距离
1.(一般)传统方法:
利用定义先作出过这个点到平面的垂线段,
再计算这个垂线段的长度;
2.还可以用等积法求距离;
3.向量法求点到平面的距离.
在中,
又
(其中为斜向量,为法向量)
二、直线到平面的距离
转化为点到线的距离:
三、平面到平面的距离
也是转化为点到线的距离:
四、异面直线的距离
如图,异面直线也是转化为点到线的距离:
(其中为两条异面直线上各取一点组成的向量,是与都垂直的向量)
例1.如图,在正方体中,棱长为1,为的中点,求下列问题:
(1)求到面的距离;
解:
如图,建立空间直角坐标系,则
,设为面的法向量
则
取,得,
选点到面的斜向量为
得点到面的距离为
(2)求到面的距离;
(3)求面与面的距离;
(4)求异面直线与的距离.
都垂直的向量,则
,取,得一个法向量为
选的两点向量
得的距离为
练习1:
B1
A1
B
C1
A
C
1.如图在直三棱柱中,,,,求点到面的距离.
2.已知棱长为1的正方体,求平面和平面间的距离
3.已知棱长为1的正方体,求直线和间的距离。
4.已知棱长为1的正方体中,、分别是和的中点,求点到平面的距离。
5.如图在直三棱柱中,,,求点到面的距离.
6.在直三棱柱中,,
分别为的中点,且.
(1)求到面的距离;
()
(2)求到面的距离.()
------空间角问题
空间的角主
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