复数的几何意义及应用Word文档格式.doc
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三、教学难点:
四、教学工具:
计算机、投影仪
五、教学方法:
探究式教学法、问题解决教学法
六、教学过程:
(一)设置情境,问题引入
问题1:
复数z的几何意义?
设复平面内点Z表示复数z=a+bi(a,b∈R),连结OZ,则点Z,,复数z=a+bi(a,b∈R)之间具有一一对应关系。
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应一一对应
向量
复数z=a+bi
问题2:
∣z∣的几何意义?
若复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量是,则向量是的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,|z|==|a+bi|=(a,b∈R)。
问题3:
∣z1-z2∣的几何意义?
两个复数的差所对应的向量就是连结并且方向指向(被减数向量)的向量,
(二)探索研究
根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内下列曲线的方程:
1.圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
设以为圆心,为半径的圆上任意一点,
则
(1)该圆向量形式的方程是什么?
(2)该圆复数形式的方程是什么?
(3)该圆代数形式的方程是什么?
2.椭圆的定义:
平面内与两定点Z1,Z2的距离的和等于常数(大于)的点的集合(轨迹)
设是以为焦点,2a为长轴长的椭圆的上任意一点,
(1)该椭圆向量形式的方程是什么?
(2)该椭圆复数形式的方程是什么?
变式:
以为端点的线段
(1)向量形式的方程是什么?
(2)复数形式的方程是什么?
3.双曲线的定义:
平面内与两定点Z1,Z2的距离的差的绝对值等于
常数(小于)的点的集合(轨迹)
设是以为焦点,2a为实轴长的双曲线的上
任意一点,
则
(1)该双曲线向量形式的方程是什么?
射线
变式:
以为端点的线段的垂直平分线
(1)该线段向量形式的方程是什么?
即
(2)该线段复数形式的方程是什么?
(三)应用举例
例1.复数z满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4,
则复数z所对应的点Z的轨迹是()
(A)双曲线(B)双曲线的右支
(C)线段 (D)射线
答案:
(D)一条射线
变式探究:
(1)若复数z所对应的点Z的轨迹是两条射线,复数z应满足什么条件?
(2)若复数z所对应的点Z的轨迹是线段,复数z应满足什么条件?
(3)若复数z所对应的点Z的轨迹是双曲线的右支,复数z应满足什么条件?
(4)若复数z所对应的点Z的轨迹是双曲线,复数z应满足什么条件?
(5)若复数z所对应的点Z的轨迹是椭圆,复数z应满足什么条件?
(6)若复数z所对应的点Z的轨迹是线段的垂直平分线,复数z应满足什么条件?
例2.若复数z满足条件,
求的最值。
解法1:
(数形结合法)由可知,z对应于单位圆上的点Z;
表示单位圆上的点Z到点P(0,2)的距离。
由图可知,当点Z运动到A(0,1)点时,,此时z=i;
当点Z运动到B(0,-1)点时,,此时z=-i。
解法2:
(不等式法)
,
解法3:
(代数法)设,则
,即
当,即时,;
当,即时,=3,
解法4:
(性质法)
,即
当,即时,;
当,即时,,
(1),;
0;
2
(2),;
(3),;
(4),;
例3.已知z1、z2∈C ,且,
若,则的最大值是( )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
的最大值是4
即
表示以原点为圆心,以1为半径的圆;
表示以(0,2)为圆心,以1为半径的圆。
的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。
(四)反馈演练:
1.复数z满足条件∣z+i∣+∣z-i∣=2,
则∣z+i-1∣的最大值是________
最小值是__________.1
2.复数z满足条件∣z-2∣+∣z+i∣=,
则∣z∣的取值范围是(B)
(A)(B)
(C)(D)
3.已知实数x,y满足条件,为虚数单位),
则的最大值和最小值分别是.
(五)总结:
1.今天我们探索研究了什么?
2.你有什么收获?
6
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- 复数 几何 意义 应用