高考立体几何复习题型归纳文档格式.doc
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三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,P、Q分别为AA1、CC1上的点,且满足AP=C1Q,则四棱锥B—APQC的体积是___________
例7:
如图,斜三棱柱ABC—中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角,求此三棱柱的侧面积和体积.
例8:
如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据(单位:
cm),可知几何体的体积是_________
2
主视图
侧视图
1
真题:
【2017年北京卷第6题】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
(A)60(B)30(C)20(D)10
【2017年山东卷第13题】由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为.
【2017年浙江卷第3题】某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
)是
A.B.C.D.
【2017年新课标II第6题】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为
A.90B.63C.42D.36
1、(2016年山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三
视图如图所示.则该几何体的体积为
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
3、(2016年天津高考)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()
【答案】B
4、(2016年全国I卷高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是
(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π
【答案】A
6、(2016年全国II卷高考)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π
【答案】C
7、(2016年全国III卷高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为
(A)(B)(C)90(D)81
1、(2016年北京高考)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.
【答案】
2、(2016年四川高考)已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积。
3、(2016年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.
斜二测法:
例9:
一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为,腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是()
A.B.C.D.
例10:
对于一个底边在轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的()
A.倍B.倍C.倍D.倍
例11:
如图,已知四边形ABCD的直观图是直角梯形A1B1C1D1,且A1B1=B1C1=2A1D1=2,
则四边形ABCD的面积为( )
A.3 B.3
C.6 D.6
例12:
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形,则原来图形的形状是( )
旋转体:
例13:
下列几何体是旋转体的是()
ABCD
例14:
如图,在四边形中,,,,,,求四边形绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
【2015高考山东,文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()
(A)(B)()2()4
题型二:
定义考察类题型
例15:
已知直线、,平面,则下列命题中假命题是()
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,,,则
例16:
给定下列四个命题:
①若一条直线与一个平面平行,那么过这条直线的平面与这个面相较,则这线平行于交线
②若一条直线与一个平面垂直,那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线
③若两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行
④若两个平面垂直,那么分别在这两个平面内的两直线垂直
其中,为真命题的是()
A.和B.和C.和D.和
例17:
已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是()
A.若,m,则m B.
C. D.
例18:
已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列命题:
①若,则;
②若,,则;
③若,则;
④若,则;
其中真命题的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
例19:
如图,四棱锥S—ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是()
A、AC⊥SBB、AB∥平面SCD
C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
例20:
已知为不同的平面,A、B、M、N为不同的点,为直线,下列推理错误的是( )
A.B.
C.D.且A、B、M不共线重合
【2016年浙江高考】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【2015高考浙江,文4】设,是两个不同的平面,,是两条不同的直线,且,()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
【2015高考广东,文6】若直线和是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()
A.至少与,中的一条相交B.与,都相交
C.至多与,中的一条相交D.与,都不相交
【2015高考湖北,文5】表示空间中的两条直线,若p:
是异面直线;
q:
不相交,则()
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
题型三:
直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
证明平行的方法:
线线平行:
相似,全等;
平行线判断定理(内错角相等,同旁内角互补等),(高中阶段一般不考,只作为转化的一个桥梁)。
线面平行:
(1)根据定理证明();
(2)通过面面平行的性质定理()
P
面面平行:
(1)平面中分别有两条相交线与平面的两条相交线平行
(2)平面的法向量与平面的法向量平行
例21:
如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,
侧面,且,若、分别
为、的中点.
(1)求证:
∥平面;
(2)求证:
平面平面.
例22:
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点,求证:
MN平面A1BD.
A1
B1
C1
例23:
如图,直棱柱中,D,E分别是AB,的中点,=AC=CB=AB。
(Ⅰ)证明:
//
(Ⅱ)求A到面ACD的距离
例24:
如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,
∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点
直线MN∥平面OCD;
(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。
例25:
如图,已知矩形和矩形所在平面互相垂直,点,分别在对角线,上,且,.求证:
平面.
例26:
如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证:
平面MNP∥平面A1BD.
例27:
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM:
MA=BN:
ND=PQ:
QD.求证:
平面MNQ∥平面PBC.
N
M
Q
题型四:
线与面、面与面的垂直的证明方法
三垂线定理:
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和这条直线垂直。
三垂线逆定理:
如果:
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直,则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。
例28:
直三棱柱ABC-A1B1C1中,,E是A1C的中点,且交AC于D,.
(I)证明:
平面;
(II)证明:
例29:
如图所示,已知四棱锥的底面是菱形;
平面,
,点为的中点.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求证面.
例30:
如图,在棱长为的正方体中,分别
D1
·
是的中点。
平面平面;
平面
例31:
如图,在三棱柱中,侧面,均为正方形,∠,点是棱的中点.
⊥平面;
(Ⅱ)求证:
例32:
如图所示,四棱锥P—ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,
M为PC的中点。
BM∥平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD;
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
例33:
在如图所示的几何体中,四边形是正方形,,,分别为、的中点,且.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求三棱锥.
例34:
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点。
平面⊥平面
例35:
如图所示,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△ABD折起,使A移到点,且在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
【2016年上海高考】如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()
(A)直线AA1(B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C1
【2017年新课标I卷第6题】如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB与平面MNQ不平行的是()
【2017年新课标III卷第10题】在正方体中,E为棱CD的中点,则
A. B. C. D.
【2015高考山东,文18】如图,三棱台中,分别为的中点.
(I)求证:
(II)若求证:
平面平面.
题型五:
空间中的夹角
知识点:
夹角的分类:
线线夹角、线面夹角、面面夹角
三者在计算或证明时的转换关系:
面面线面线线
计算三种夹角的方法:
勾股定理、向量、坐标等,对于夹角问题我们一般分为三个步骤:
①找角,②证明所找的角,
③计算所找角的大小(切记不可找出来之后不证明就开始计算)
异面直线的夹角问题:
例36:
在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,与底面成30°
(1)若为垂足,求证:
(2)在
(1)的条件下,求异面直线AE与CD所成角的正切值;
例37:
如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点
MN//平面PAD;
(2)若,,求异面直线PA与MN所成的角的大小
例38:
如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,,
,且MD=NB=1,E为BC的中点,求异面直线
NE与AM所成角的余弦值
例39:
如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是____________。
例40:
已知正四面体中,各边长均为,如图所示,分别为的中点,连接,求异面直线所成角的余弦值。
例41:
已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA=SB=SC,且ASB=BSC=CSA=,M、N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.
S
例42:
已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为()
(A)(B)(C)(D)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例43:
如图,在正方体中,分别是的中点。
(1)若为的中点,证明:
平面∥平面
(2)求异面直线与所成的角[来源:
Z+xx+k.Com]
例44:
如图,四面体ABCD中,AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥CD,且AB=BC=6,BD=8,E是AD中点,求BE与CD所成角的余弦值。
线面夹角(了解):
例45:
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2,PA=AD=2,E是PC上的一点,设二面角A-PB-C为90°
,求PD与平面PBC所成角的大小。
例46:
如图,直三棱柱中,,D、E分别是,的中点,平面.
(1)证明:
AB=AC
(2)设二面角A-BD-C为,求与平面BCD所成的角的大小
【2016年全国I卷高考】如平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,,则m,n所成角的正弦值为
(A)(B)(C)(D)
【2015高考浙江,文18】如图,在三棱锥中,在底
面ABC的射影为BC的中点,D为的中点.
(2)求直线和平面所成的角的正弦值.
【2014高考,文18】如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,。
(Ⅱ)设二面角为,求与平面所成角的大小。
【2015高考湖南,文18】
(本小题满分12分)如图4,直三棱柱的底面是边长为2的正三角形,分别是的中点。
(II)若直线与平面所成的角为,求三棱锥的体积。
题型六:
距离问题:
点线距离(定义法、等体积法、向量法、空间坐标法);
线面距离;
面面距离。
例47:
已知正四棱柱的地面边长为1,则棱场为2,点E为的中点,求点到平面BDE的距离。
例48:
已知正四棱柱中,,,为的中点,则直线与平面的距离为()
A.B.C.D.
例49:
在中,AB=15,,若所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14,则P到的距离是()
A.13B.11C.9D.7
例50:
如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点,为的中点
直线;
例51:
为平面,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角的大小为,求,点B到平面的距离为_____________
例52:
P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,P到B,C,D三点的距离分别是,,,则P到A点的距离是( )
A.1 B.2 C. D.4
例53:
(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离
例54:
如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1) 证明:
BE⊥平面BB1C1C;
(2) 求点B1到平面EA1C1的距离
例55:
如图,已知多面体ABC-DEFG中,AB、AC、AD两两互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1。
(1)试判断CF是否与平面ABED平行?
并说明理由;
(2)求多面体ABC-DEFG的体积。
例56:
如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
平面BCD;
(II)求点E到平面ACD的距离。
例57:
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。
(1)求证:
PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离。
题型七:
求体积问题
例58:
如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,,,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线;
(Ⅱ)求棱锥的体积.
例59:
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°
,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点
(I)证明:
平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
【2017年新课标I卷第18题】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
【2017年新课标II第18题】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°
。
(1)证明:
直线BC∥平面PAD;
(2)若△PAD面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积。
【2017年新课标III卷第19题】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
【2016年全国I卷高考】如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.
G是AB的中点;
(II)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
【2016年全国II卷高考】如图,菱形的对角线与交于点,点、分别在,上,,
交于点,将沿折到的位置.
(Ⅱ)若,求五棱锥体积.
【2016年全国III卷高考】如图,四棱锥中,平面,,,,为线段上一点,,为的中点.
(I)证明平面;
(II)求四面体的体积.
【2015高考新课标1,文18】
(本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,,
(
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