安徽省合肥市高考数学一模试卷理科Word文档格式.doc
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安徽省合肥市高考数学一模试卷理科Word文档格式.doc
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6.(5分)(2014•合肥一模)已知函数f(x)=|﹣sinx|﹣|+sinx|,则一定在函数y=f(x)图象上的点是( )
(x,f(﹣x))
(x,﹣f(x))
(﹣x,﹣f(x﹣))
(+x,﹣f(﹣x))
7.(5分)(2014•合肥一模)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的结果是( )
7
8
8.(5分)(2014•许昌三模)在△ABC中,已知2acosB=c,sinAsinB(2﹣cosC)=sin2+,则△ABC为( )
等边三角形
等腰直角三角形
锐角非等边三角形
钝角三角形
9.(5分)(2014•合肥一模)已知实数x,y满足时,z=(a≥b>0)的最大值为1,则a+b的最小值为( )
9
10
10.(5分)(2015•赤峰模拟)对于函数f(x),若∀a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.已知函数f(x)=是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是( )
[,2]
[0,1]
[1,2]
[0,+∞)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.(5分)(2014•合肥一模)若随机变量ξ~N(2,1),且P(ξ>3)=0.1587,则P(ξ>1)= _________ .
12.(5分)(2014•合肥一模)已知数列{an}满足an+1=2an(n∈N+)且a2=1,则log2a2014= _________ .
13.(5分)(2014•合肥一模)若展开式的各项系数绝对值之和为1024,则展开式中x项的系数为 _________ .
14.(5分)(2014•合肥一模)某办公室共有6人,组织出门旅行,旅行车上的6个座位如图所示,其中甲、乙两人的关系较为亲密,要求在同一排且相邻,则不同的安排方法有 _________ 种.
15.(5分)(2014•合肥一模)已知直线:
x+y=1(a,b为给定的正常数,θ为参数,θ∈[0,2π))构成的集合为S,给出下列命题:
①当θ=时,S中直线的斜率为;
②S中所有直线均经过一个定点;
③当a=b时,存在某个定点,该定点到S中的所有直线的距离均相等;
④当a>b时,S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b;
⑤S中的所有直线可覆盖整个平面.
其中正确的是 _________ (写出所有正确命题的编号).
三、解答题:
本大题共六个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(12分)(2014•合肥一模)已知cos(+α)•cos(﹣α)=﹣,α∈(,),求:
(Ⅰ)sin2α;
(Ⅱ)tanα﹣.
17.(12分)(2014•合肥一模)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,且AD=DC=CB=AB.直角梯形ACEF中,,∠FAC是锐角,且平面ACEF⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:
BC⊥AF;
(Ⅱ)若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是,试求∠FAC的余弦值.
18.(12分)(2014•合肥一模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4,(x∈R)在x=2处取得极小值.
(Ⅰ)若函数f(x)的极小值是﹣4,求f(x);
(Ⅱ)若函数f(x)的极小值不小于﹣6,问:
是否存在实数k,使得函数f(x)在[k,k+3]上单调递减.若存在,求出k的范围;
若不存在,说明理由.
19.(13分)(2014•合肥一模)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),设左顶点为A,上顶点为B,且,如图.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若F(1,0),过F的直线l交椭圆于M,N两点,试确定的取值范围.
20.(13分)(2014•合肥一模)某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检,现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1,2,3,4,…,9;
6个国产品牌奶粉的样品编号为10,11,12,…,15,按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样,从其中抽取5个样品进行首轮检验,用P(i,j)表示编号为i,j(1≤i<j≤15)的样品首轮同时被抽到的概率.
(Ⅰ)求P(1,15)的值;
(Ⅱ)求所有的P(i,j)(1≤i<j≤15)的和.
21.(13分)(2014•合肥一模)已知函数fn(x)=x+,(x>0,n≥1,n∈Z),以点(n,fn(n))为切点作函数
y=fn(x)图象的切线ln,记函数y=fn(x)图象与三条直线x=n,x=n+1,ln所围成的区域面积为an.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)求证:
an<;
(Ⅲ)设Sn为数列{an}的前n项和,求证:
Sn<.
参考答案与试题解析
考点:
复数求模.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,写出复数的共轭复数,求出共轭复数的模长.
解答:
解:
复数z=3+4i,=3﹣4i,===﹣4﹣3i,
||=|﹣4﹣3i|==5.
故选:
点评:
本题考查复数的乘除运算,考查复数的共轭复数,考查复数求模长,实际上一个复数和它的共轭复数模长相等,本题是一个基础题.
必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有
简易逻辑.
求出集合T,根据集合元素关系,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
T={x∈Z|x2<2}={﹣1,0,1},当a=1时,S={0,1},满足S⊆T.若S⊆T,则a=1或a=﹣1,
∴“a=1”是“S⊆T”的充分不必要条件.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用集合元素和集合之间的关系是解决本题的关键.
平面向量的基本定理及其意义.菁优网版权所有
平面向量及应用.
根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系.
易知||=
∵,||==1
∴||=
∴OP==1
又圆的半为1
∴点P一定在单位圆上
B
本题主要考察了向量的求模运算,以及点与圆的位置关系的判断,属于中档题.
双曲线的简单性质.菁优网版权所有
计算题;
圆锥曲线的定义、性质与方程.
先求出AB的长,进而可得,从而可求双曲线的离心率.
不妨设A(c,y0),代入双曲线=1,可得y0=±
.
∵线段AB的长度恰等于焦距,
∴,
∴c2﹣a2=ac,
∴e2﹣e﹣1=0,
∵e>1,
∴e=.
本题考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
空间位置关系与距离.
根据三视图判断几何体是直四棱柱,且四棱柱的底面为等腰梯形,棱柱的高为2,底面梯形的上底边长为2,下底边长为4,高为2,利用勾股定理求出腰为=,代入棱柱的表面积公式计算.
由三视图知几何体是直四棱柱,且四棱柱的底面为等腰梯形,棱柱的高为2,
底面梯形的上底边长为2,下底边长为4,高为2,腰为=,
∴几何体的表面积S=(2+4+2)×
2+2×
×
2=24+4.
本题考查了由三视图求几何体的表面积,判断三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键.
函数的图象.菁优网版权所有
函数的性质及应用.
在函数y=f(x)图象上的点只需把点的坐标代入方程,满足表达式即可.
对于A,f(﹣x)=|﹣sin(﹣x)|﹣|+sin(﹣x)|=|+sinx|﹣|﹣sinx|≠f(x),∴A不正确;
对于B,﹣f(x)=﹣|﹣sinx|+|+sinx|≠f(x),∴B不正确;
对于C,﹣f(x﹣)=﹣|﹣sin(x﹣)|+|+sin(x﹣)|
=﹣|+sin(﹣x)|+|﹣sin(﹣x)|=|﹣sin(﹣x)|﹣|+sin(﹣x)|=f(﹣x),∴C正确;
对于D,﹣f(x﹣)=﹣|﹣sin(x﹣)|+|+sin(x﹣)|
=﹣|+sin(﹣x)|+|﹣sin(﹣x)|=|﹣sin(﹣x)|﹣|+sin(﹣x)|=f(﹣x)≠f(+x),∴D不正确;
本题考查函数的定义,函数的图象的应用,考查计算能力.
程序框图.菁优网版权所有
算法和程序框图.
根据框图的流程依次计算运行的结果,直到满足条件n>117时,确定输出i的值.
由程序框图知:
程序第一次运行n=12﹣4=8,i=1+1=2;
第二次运行n=4×
8+1=33,i=2+1=3;
第三次运行n=33﹣4=29,i=3+1=4;
第四次运行n=4×
29+1=117,i=4+1=5;
第五次运行n=117﹣4=113,i=5+1=6;
第六次运行n=113×
4+1=452,i=6+1=7.
此时满足条件n>117,输出i=7.
本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图,根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法.
正弦定理.菁优网版权所有
三角函数的求值.
已知第一个等式利用正弦定理化简,再利用诱导公式及内角和定理表示,根据两角和与差的正弦函数公式化简,得到A=B,第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形,右边利用二倍角的余弦函数公式化简,将A+B=C,A﹣B=0代入计算求出cosC的值为0,进而确定出C为直角,即可确定出三角形形状.
将已知等式2acosB=c,利用正弦定理化简得:
2sinAcosB=sinC,
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)=0,
∵A与B都为△ABC的内角,
∴A﹣B=0,即A=B,
已知第二个等式变形得:
sinAsinB(2﹣cosC)=(1﹣cosC)+=1﹣cosC,
﹣[cos(A+B)﹣cos(A﹣B)](2﹣cosC)=1﹣cosC,
∴﹣(﹣cosC﹣1)(2﹣cosC)=1﹣cosC,
即(cosC+1)(2﹣cosC)=2﹣cosC,
整理得:
cos2C﹣2cosC=0,即cosC(cosC﹣2)=0,
∴cosC=0或cosC=2(舍去),
∴C=90°
,
则△ABC为等腰直角三角形.
此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,积化和差公式,二倍角的余弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
简单线性规划.菁优网版权所有
不等式的解法及应用.
作出不等式组对应的平面区域,利用z的最大值,确定最优解,然后利用基本不等式进行判断.
作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=(a≥b>0)得y=,
则斜率k=,
则由图象可知当直线y=经过点B(1,4)时,
直线y=的截距最大,
此时,
则a+b=(a+b)()=1+4+,
当且仅当,即b=2a取等号此时不成立,故基本不等式不成立.
设t=,
∵a≥b>0,
∴0<≤1,即0<t≤1,
则1+4+=5+t+在(0,1]上单调递减,
∴当t=1时,
1+4+=5+t+取得最小值为
5+1+4=10.
即a+b的最小值为10,
本题主要考查线性规划和基本不等式的应用,先利用条件确定最优解是解决本题的关键,本题使用基本不等式时,条件不成立,利用t+的单调性是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.
指数函数综合题.菁优网版权所有
因对任意实数a、b、c,都存在以f(a)、f(b)、f(c)为三边长的三角形,则f(a)+f(b)>f(c)恒成立,将f(x)解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数的值域,然后讨论k转化为f(a)+f(b)的最小值与f(c)的最大值的不等式,进而求出实数k的取值范围.
由题意可得f(a)+f(b)>f(c)对于∀a,b,c∈R都恒成立,
由于f(x)==1+,
①当t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a),f(b),f(c)都为1,构成一个等边三角形的三边长,
满足条件.
②当t﹣1>0,f(x)在R上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t,
同理1<f(b)<t,1<f(c)<t,
由f(a)+f(b)>f(c),可得2≥t,解得1<t≤2.
③当t﹣1<0,f(x)在R上是增函数,t<f(a)<1,
同理t<f(b)<1,2<f(c)<1,
由f(a)+f(b)>f(c),可得2t≥1,解得1>t≥.
综上可得,≤t≤2,
本题主要考查了求参数的取值范围,以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域,同时考查了分类讨论的思想,属于难题.
11.(5分)(2014•合肥一模)若随机变量ξ~N(2,1),且P(ξ>3)=0.1587,则P(ξ>1)= 0.8413 .
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.菁优网版权所有
概率与统计.
根据随机变量ξ~N(2,1),得到正态曲线关于x=2对称,由P(ξ>1)=P(ξ<3),即可求概率.
∵随机变量ξ~N(2,1),
∴正态曲线关于x=2对称,
∵P(ξ>3)=0.1587,
∴P(ξ>1)=P(ξ<3)=1﹣0.1587=0.8413.
故答案为:
0.8413.
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态曲线的对称性,考查根据对称性求区间上的概率,本题是一个基础题.
12.(5分)(2014•合肥一模)已知数列{an}满足an+1=2an(n∈N+)且a2=1,则log2a2014= 2012 .
等比数列的性质;
等比数列的通项公式.菁优网版权所有
等差数列与等比数列.
由an+1=2an(n∈N+)且a2=1,得到数列{an}是等比数列,求出{an}的通项公式,即可得到结论.
∵数列{an}满足an+1=2an(n∈N+)且a2=1,
∴数列{an}是等比数列,公比q=2,
∴an=,
即a2014=22014﹣2=22012,
∴log2a2014==2012,
2012
本题主要考查对数的基本运算,利用条件确定数列{an}是等比数列,求出{an}的通项公式是解决本题的关键.
13.(5分)(2014•合肥一模)若展开式的各项系数绝对值之和为1024,则展开式中x项的系数为 ﹣15 .
二项式系数的性质.菁优网版权所有
二项式定理.
根据展开式的各项系数绝对值之和为4n=1024,求得n=5.在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于1,求得r的值,可得的展开式中x项的系数.
在的展开式中,令x=1,
可得展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1024=210,
∴n=5.
故展开式的通项公式为Tr+1=•.
令=1,求得r=1,故的展开式中x项的系数为﹣15,
﹣15.
本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.
14.(5分)(2014•合肥一模)某办公室共有6人,组织出门旅行,旅行车上的6个座位如图所示,其中甲、乙两人的关系较为亲密,要求在同一排且相邻,则不同的安排方法有 144 种.
计数原理的应用.菁优网版权所有
排列组合.
分类讨论:
甲、乙两人在后排,甲、乙两人在中间一排,利用分类计数原理可得结论.
甲、乙两人在后排,可得=48种;
甲、乙两人在中间一排,可得=96种.
∴不同的安排方法有48+96=144种.
144.
本题考查分类计数原理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
其中正确的是 ③④ (写出所有正确命题的编号).
命题的真假判断与应用;
圆锥曲线的共同特征.菁优网版权所有
综合题;
直线与圆.
①当θ=时,sinθ=cosθ,S中直线的斜率为﹣,;
②S中所有直线均经过一个定点,不正确;
③当a=b时,方程为xsinθ+ycosθ=a,存在定点(0,0),该定点到S中的所有直线的距离均相等;
④当a>b时,S中的两条平行直线间的距离为d=≥2b,可得最小值为2b;
⑤(0,0)不满足方程.
①当θ=时,sinθ=cosθ,S中直线的斜率为﹣,故不正确;
②根据x+y=1,可知S中所有直线不可能经过一个定点,不正确;
④当a>b时,S中的两条平行直线间的距离为d=≥2b,即最小
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