北师版八年级数学下册教案第二章一元一次不等式与一元一次不等式组Word文档格式.docx
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S圆,
当l=12时,S正方形<
S圆.
我们可以猜想,正方形的周长和圆的周长均为lcm时,无论l取何值,圆的面积总大于正方形的面积.
三、举例分析
例1 铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:
每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.
学生分析题意,自主完成.
分析:
题目中不等关系:
长+宽+高不超过160cm.
根据题意,得a+b+c≤160.
例2 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6cm,以后10年内每年增加约3cm,设经过x年后这棵树的树围超过30cm,请你列出x满足的关系式.
栽种时树围+x年增长树围>
30cm.
依题意得,6+3x>30.
观察由上述问题得到的关系式,它们有什么共同特点?
师生共同分析,归纳总结:
一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.
归纳:
第一类——明显的不等关系
关键词语
大于
超过
比……大
小于
低于
比……小
不大于
不超过
至多
不小于
不低于
至少
大于或
不等号
>0
<0
≤0
≥0
≠
第二类——隐含的不等关系
正数
负数
非负数
非正数
四、练习巩固
1.下面给出了5个式子:
①3>0;
②4x+3y>0;
③x=3;
④x-1;
⑤x+2≤3,其中不等式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.用适当的符号表示下列关系:
(1)a与b的差是非负数;
(2)三角形两边之和大于第三边.
3.用甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素C含量如下表:
原料
甲种原料
乙种原料
维生素C含量/(单位:
千克)
600
100
现在用这两种原料10千克配制这种饮料,要求至少含有4200单位的维生素C,试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式.
五、课堂小结
谈谈你这节课有什么收获?
六、课外作业
1.教材第38页“随堂练习”第1、2题.
2.教材第38~39页习题2.1第1~4题.
本节课利用相等关系的知识作基础,学生已经知道用等号连接表示相等关系的式子叫等式,不难给出不等式的定义,从而培养学生总结归纳的能力.借助问题向学生渗透“类比”的数学思想,为以后学习不等式的其他知识奠定思想方法基础.
2 不等式的基本性质
1.经历不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.
2.掌握不等式的基本性质.
掌握不等式的基本性质,并能运用性质将不等式变形.
能正确运用不等式的性质将不等式变形.
一、复习导入
1.观察下面这几个式子,回答什么是等式.
x+2y=3,
m2-2n=0,x+2=y.
2.等式有哪些性质?
3.从上面的回忆可知,等式有两条基本性质,那么不等式有没有类似的性质呢?
我们今天的主要任务就是研究不等式有哪些性质.
1.探讨不等式的性质1
仿照下表,分组探讨,找出规律:
不等式
不等式的两边
都加(或减)
同一个数
结果
与原不等式比
较不等号的方向
是否改变了
7>4
加5
12>9
没有改变
-3<4
减7
-10<-3
…
通过上面的探讨,我们可以得出不等式的性质1:
不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.
这个性质可以用数学语言表示为:
如果a<b,那么a±
c<b±
c;
如果a>b,那么a±
c>b±
c.
2.探讨不等式的性质2
都乘(或除以)
同一个正数
乘5
35>20
-8<4
除以4
-2<1
通过上面的探讨,我们可以得出不等式的性质2:
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
如果a<b,c>0,那么ac<bc;
如果a>b,c>0,那么ac>bc.
3.探讨不等式的性质3
都乘(或除以
)同一个负数
乘-5
-35<-20
不等号的方向
改变了
除以-4
2>-1
通过上面的探讨,我们可以得出不等式的性质3:
不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
如果a<b,c<0,那么ac>bc;
如果a>b,c<0,那么ac<bc.
三、举例分析
例 a是任意有理数,试比较5a与3a的大小.
当a>0时,5a>3a;
当a=0时,5a=3a;
当a<0时,5a<3a.
四、练习巩固
1.若m>
n,且am<
an,则a的取值应满足条件( )
A.a>
0 B.a<
0 C.a=0 D.a≥0
2.若a>
b,且m为非负数,则am________bm.
3.根据不等式的基本性质,把不等式2x+5<
4x-1变为x>
a或x<
a的形式.
4.如图,一个已倾斜的天平两边放有重物,其质量分别为a和b,如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c,盘子仍然像原来那样倾斜吗?
通过本节课的学习,你有什么收获?
1.教材第41页“随堂练习”第1、2题.
2.教材第42页习题2.2第1~4题.
本节课教学中问题串的设置均与等式的基本性质相联系,引导学生一步步从类比中自己先猜想不等式基本性质的雏形,再通过具体数值验算性质,最后自己总结归纳完善不等式的性质并能用字母表示出来.在讲解例题与练习的过程中,全班同学思维活跃,在整个教学过程中,学生均处于主导地位,教师只是从旁引导,学生对于由自己推导出不等式的性质感到非常有成就感.
3 不等式的解集
1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
2.经历求不等式的解集的过程,会在数轴上表示不等式的解集.
掌握不等式中的相关概念,不等式的解集及其表示方法.
掌握不等式的解集在数轴上的表示方法.
1.什么叫不等式?
什么叫方程?
什么叫方程的解?
2.用不等式表示:
(1)x的3倍大于1;
(2)y与5的差大于零;
(3)x与3的和小于6;
(4)x的
小于2.
3.当x取下列数值时,不等式x+3<6是否成立?
-4,3.5,-2.5,3,0,2.9.
4.在某次数学竞赛中,教师对优秀学生给予奖励,花了30元买了3个笔记本和若干支笔,已知笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔?
1.课件出示:
燃放某种烟花时,为了确保安全,人在点燃引火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知引火线的燃烧速度为0.02m/s,燃放者离开的速度为4m/s,那么引火线的长度应为多少厘米?
设引火线长度为xcm,燃放者转移到安全区域需要的时间最少为
(s),引火线燃烧的时间为
s,要使燃放者转移到安全地带,必须有
>
.
设引火线的长度为xcm,则
.
根据不等式的基本性质,可得x>5.
2.课件出示:
(1)x=-2,1,5,6,8是不等式x>5的解吗?
(2)你还能说出几个不等式x>5的解吗?
你认为不等式x>5的解有多少个?
它们有什么特点?
(3)不等式x2≤0的解有哪些?
不等式x2≤-2呢?
(1)x=6,8是不等式x>5的解.x=-2,1,5不是不等式x>5的解.
(2)不等式x>5的解有无数个.它们都比5大.
(3)不等式x2≤0的解是x=0;
不等式x2≤-2无解.
在此问题的基础上,给出不等式的解、不等式的解集和解不等式的定义:
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做解不等式.
例 请你用自己的方式将不等式x>
5的解集和不等式x-5≤-1的解集分别表示在数轴上.
不等式x>
5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示(如图),在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈,表示5不在这个解集内.
不等式x-5≤-1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示(如图),在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点,表示4在这个解集内.
说明:
将不等式的解集表示在数轴上时,要注意:
①指示线的方向,“>
”向右,“<
”向左.
②有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
1.根据不等式的基本性质求不等式的解集,并把解集表示在数轴上:
(1)x-2≥-4;
(2)2x≤8;
(3)-2x-2>-10.
2.不等式x<
6有多少个解?
请找出几个,有多少个正整数解?
请找出来.
1.如何区别不等式的解、不等式的解集及解不等式这几个概念?
2.在数轴上表示不等式解集时应注意什么?
1.教材第44页“随堂练习”第1、2题.
2.教材第44~45页习题2.3第1~4题.
本节课从实际问题抽象为数学模型,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,通过探索求不等式的解集的过程,体会数学活动充满着探索与创造性,学生积极主动,学习效果较好.
4 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
1.经历一元一次不等式的形成过程,理解一元一次不等式的概念.
2.通过类比理解一元一次不等式的解法,解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集.
掌握简单的一元一次不等式的解法,并能将解集在数轴上表示出来.
掌握一元一次不等式的解法.
某次知识竞赛中共有20道题,对于每一道题,答对了得10分,答错了或不答扣5分,若某同学得分80分.
(1)如果设他答对了x道题,请写出x所满足的关系式?
(2)这个关系式我们称之为什么?
(3)什么叫一元一次方程?
问题2:
如果把某同学得分80分改成至少得80分,其他条件不变.
(1)你又得出什么关系式?
(2)这个关系式叫做什么?
问题1让学生列出一元一次方程后,口答出一元一次方程的定义.问题2得出一元一次不等式,学生可能回答出是一元一次不等式.什么是一元一次不等式呢?
如何去解一元一次不等式呢?
此时告诉学生为了更好地针对这两问题进行进一步的探究,从而引入新课.
1.一元一次不等式的定义
你能找出一元一次方程10x-5(20-x)=80与10x-5(20-x)≥80之间的相同点和不同点吗?
类比一元一次方程的定义,你能给出一元一次不等式的定义吗?
通过对比一元一次方程与一元一次不等式的相同点与不同点,类比一元一次方程的定义,让学生得出一元一次不等式的定义:
左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.
2.一元一次不等式的解法
不等式的三条基本性质是什么?
运用不等式的基本性质把下列不等式化成x>
①x-4<
6x;
②2x>
x-5.
问题3:
一元一次方程10x-5(20-x)=80的解是多少?
问题4:
解一元一次方程的步骤是什么?
问题5:
试一试,求出一元一次不等式10x-5(20-x)≥80的解.
问题6:
能否归纳解一元一次不等式的基本步骤?
学生通过小组合作学习的方式探索用不等式的基本性质去求解并归纳一元一次不等式的解法,大致要分五个步骤进行:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项;
(5)系数化1.
例1 解不等式
≥
,并把它的解集表示在数轴上.
通过师生共同探讨,经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的过程.
例2 求不等式
(3x+4)-3≤7的非负整数解.
学生独立完成,教师巡视,适时点拨.引导学生注意:
0既不是正数,也不是负数,但是整数.
1.下列各式中是一元一次不等式的为( )
A.3x+5y≥0 B.x2-3x-2<0
C.
-2>0D.
<
-5
2.若关于x的不等式3m-2x<5的解集是x>2,则实数m的值为________.
3.求不等式3x+1≤7的正整数解.
4.解不等式
-1≤
x-
五、课堂小结
1.一元一次不等式的定义是什么?
2.解一元一次不等式时应注意什么?
1.教材第47页“随堂练习”第1、2题.
2.教材第48页习题2.4第1~3题.
本节课开始前设置的课堂导航,给学生起到引领作用,让学生带着问题去学习、思考,激发了学生的学习兴趣,效果明显,学生掌握了一元一次不等式的定义并能快速识别一元一次不等式,并且能熟练地解一元一次不等式,并把其解集表示在数轴上,较好地完成了教学任务.
第2课时 一元一次不等式的实际应用
1.进一步熟练掌握解一元一次不等式.
2.利用一元一次不等式解决简单的实际问题.
一元一次不等式的解法及应用.
将实际问题转化成一元一次不等式的数量关系.
什么是一元一次不等式?
解一元一次不等式有哪些步骤?
解下列不等式,并把它们的解集分别在数轴上表示出来:
(1)
-
<1;
(2)
≥3+
某种商品进价为200元,标价300元出售,商场规定可以打折售货,但其利润率不能少于5%.请你帮助销售员计算一下,这种商品最多可以按几折销售?
学生分组讨论,教师巡回指导.
设此种商品可以按x折销售,则此商品的售价为(300×
)元.
根据题意,得300×
-200≥200×
5%.
解得x≥7.
所以这种商品最多可以按七折销售.
一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),小明至少答对了几道题?
小组讨论后,教师引导分析,并板演.
关系式应为4×
答对题数-1×
答错题数≥85.
设小明答对了x道题,依题意得4x-(25-x)≥85,解得x≥22.
所以,小明至少答对了22道题,他可能答对22,23,24或25道题.
3.回忆列一元一次方程解应用题的步骤,对照列一元一次不等式解应用题的过程,尝试总结一下两者的不同,你能给出解一元一次不等式应用题的一般步骤吗?
第一步:
审题,找不等关系;
第二步:
设未知数,用未知数表示有关代数式;
第三步:
列不等式;
第四步:
解不等式;
第五步:
根据实际情况写出答案.
例1 某种商品的进价为400元,出售时标价为500元,商店准备打折出售,但要保持利润率不低于10%,则至多可以打几折?
例2 小明准备用26元钱买火腿肠和方便面,已知一根火腿肠2元钱,一盒方便面3元钱,他买了5盒方便面,他最多还能买多少根火腿肠?
学生独立完成,两位学生黑板板演,教师巡视点评矫正.
1.某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分,小明得分要超过90分,他至少要答对多少道题?
2.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元.
(1)符合公司要求的购买方案有哪几种?
请说明理由;
(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金收入不低于1500元,那么应选择以上哪种购买方案?
通过今天的学习,你有什么收获?
教材第49页习题2.5第1~4题.
本节课主要让学生理解并掌握如何用一元一次不等式解相应的应用题,建立相应的数学模型,体会数学在生活中的运用.本节课设置了丰富的实际情境,如打折销售问题、环保竞赛得分问题.研究这些问题,可以使学生体会到现实世界中不等关系的一种数学表示形式.
5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
1.理解一次函数图象与一元一次不等式的关系.
2.能够用图象法解一元一次不等式.
3.会选择适当的方法解一元一次不等式.
了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.
能根据题意列函数关系式,并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来解决问题.
上节课我们类比一元一次方程的解法,根据不等式的基本性质,学习了一元一次不等式的解法,本节课我们来学习一元一次不等式其他解法.
作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时,2x-5=0?
(2)x取哪些值时,2x-5>0?
(3)x取哪些值时,2x-5<0?
(4)x取哪些值时,2x-5>1?
学生先独立思考5分钟,再小组交流2分钟,展示、评价和补充3分钟.
(1)当y=0时,2x-5=0.
∴x=
.∴当x=
时,2x-5=0.
(2)要找2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值,从图象上可知,y>0时,图象在x轴上方,图象上任一点所对应的x值都满足条件,当y=0时,则有x=
.当x>
时,由图象可知y>0.
(3)同理可知,当x<
时,有2x-5<0.
(4)要使2x-5>1,也就是y=2x-5中的y大于1,那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x轴,这条直线与y=2x-5相交于点B(3,1),则当x>3时,有2x-5>1.
如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y>0?
学生先独立思考3分钟,再小组内交流不同的方法2分钟,展示、评价和补充2分钟.
首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图:
从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧,即为小于-2.5的数,所以当x<-2.5时,y>0.
也可因为-2x-5>0,解不等式即得x<-2.5.
例 兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时哥哥追上弟弟?
(2)何时弟弟跑在哥哥前面?
(3)何时哥哥跑在弟弟前面?
(4)谁先跑过20m?
谁先跑过100m?
设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1,弟弟跑过的路程为y2,根据题意,得
y1=4x,y2=3x+9.
函数图象如图:
从图象上来看:
(1)12s时哥哥追上弟弟.
(2)当0<x<12时,弟弟跑在哥哥前面.
(3)当x>12时,哥哥跑在弟弟前面.
(4)弟弟先跑过20m,哥哥先跑过100m.
1.如下图是一次函数y=kx+b的图象,当y<
2时,x的取值范围是( )
A.x<
1 B.x>
1 C.x<
3 D.x>
3
2.已知y1=-x+3,y2=3x-4,当x取何值时,y1>y2?
你是怎样做的?
与同伴交流.
3.作出函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象,并观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时,2x-4>0?
(2)x取何值时,-2x+8>0?
(3)x取何值时,2x-4>0与-2x+8>0同时成立?
(4)你能求出函数y1=2x-4,y2=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗?
并写出过程.
通过本节课的学习,你有哪些收获?
1.教材第50页“随堂练习”.
2.教材第51页习题2.6第1~4题.
本节课在教学过程中应注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法,渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想.教学过程中要为学生提供展示自己的平台,教师要善于发现学生分析问题、解决问题的独到见解和策略的多样性,以及思维的误区,及时给予激励性评价,帮助学生形成积极主动的求知态度.
第2课时 一元一次不等式与一次函数的实际应用
1.掌握一元一次不等式与一次函数的关系,会运用不等式解决函数有关问题.
2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系.
会综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题.
找出题中的等量或不等关系.
1.若y1=-2x-2,y2=3x+3,试确定当x取何值时,y1<
y2.
2.若某商品原价60元,现优惠25%,则现价是________元.
3.若某商品原价200元,现打七五折,则现价是________元.
二
- 配套讲稿:
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