最近五年高考数学解析几何压轴题大全含答案Word文档格式.docx
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(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第
一,二象限.若
APPB,[,2],求△AOB面积的取值范围.
解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线C的顶点(O,a)到渐近线axby0
的距离为,
∴
ab25ab25
,
即
225c5
ab
a
2,
c
b
1,
由得
∴双曲线C的方程为
5,
222
cab
y
4
21.
x
(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为y2x.
设A(m,2m),B(n,2n),m0,n0.
由APPB得P点的坐标为
mn2(mn)
(,),
11
将P点坐标代入
21,
x化简得
mn
(1n)
设∠AOB
114
2,tan()2,tan,sin,sin2.
2225
又
|OA|5m|OB|5n
111
S|OA||OB|sin22mn()1.
AOB
记
由
S()()1,[,2],
23
89
得又S
(1)=2,S(
S'
()01,),S
(2),
34
当1时,△AOB的面积取得最小值2,当
时,△AOB的面积取得最大值
8
2.
∴△AOB面积的取值范围是
[2,].
解答二(Ⅰ)同解答一
(Ⅱ)设直线AB的方程为ykxm,由题意知|k|2,m0.
由{
ykxm
y2x
得A点的坐标为(,2),
mm
2k2k
得B点的坐标为(,2).
由APPB得P点的坐标为
m12m1
((),()),
12k2k12k2k
222
y4m
(1)
x得
1.
44k
设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m).
SSS|OQ||XA||OQ||x8|m(xAxB)
AOBAOQBOQ
=
1mm14m11
m()()1.
22k2k24k2
以下同解答一.
3.【2010年陕西卷】20.(本小题满分13分)
xy
:
1
的顶点为A1,A2,B1,B2,焦
B2
l如图,椭圆C
A
点为
F1,F2,
|AB|7,
S11222S1122
ABABBFBF
P
n(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于F点、与
A1
F1
ox
A2
F
2
B
椭圆相交于A,B亮点的直线,|OP|=1,是否存在上述直线
B1l使APPB1成立?
若存在,求出直线l的方程;
若不存
在,请说明理由。
(Ⅰ)
|AB|7知
227
ab,①
S11222S1122知a=2c,②
ABABBFBF
bac,③
由①②③解得
24,23
ab,
故椭圆C的方程为
43
(Ⅱ)
设A,B两点的坐标分别为
(x,y),(x,y),
1122
假设使APPB1成立的直线l存在,
(ⅰ)当l不垂直于x轴时,设l的方程为ykxm,
由l与n垂直相交于P点且|OP|=1得
|m|
1k
1,即
221
mk
∵APPB1,|OP|=1,
∴OAOB(OPPA)(OPPB)
OPOPPBPAOPPAPB
=1+0+0-1=0,
x1x2y1y20
将ykxm代入椭圆方程,得
(34k)x8kmx(4m12)0
由求根公式可得
8km
xx
122
34k
,④
4m12
⑤
0xxyyxx(kxm)(kxm)
12121212
x1x2kx1x2km(x1x2)m
(1k)xxkm(xx)m
1212
将④,⑤代入上式并化简得
222222
(1k)(4m12)8kmm(34k)0⑥
将
212
mk代入⑥并化简得
5(k1)0,矛盾
即此时直线l不存在
(ⅱ)当l垂直于x轴时,满足|OP|1的直线l的方程为x=1或x=-1,
当X=1时,A,B,P的坐标分别为(1,3),(1,3),(1,0)
,
33
AP(0,),PB(0,),
22
APPB
9
当x=-1时,同理可得APPB1,矛盾
即此时直线l也不存在
综上可知,使APPB1成立的直线l不存在
4.【2011年陕西卷】17.(本小题满分12分)
如图,设P是圆
2225
xy上的动点,点D是P在x轴上的摄影,M为PD上
一点,且
MDPD
(Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为
的直线被C所截线段的长度
【答案】17.解:
(Ⅰ)设M的坐标为(x,y)P的坐标为(xp,yp)
xpx,
由已知得
ypy,
∵P在圆上,∴
xy25,即C的方程为
2516
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为
的直线方程为
yx3,
设直线与C的交点为
Ax1,y1,Bx2,y2
将直线方程43
yx代入C的方程,得
2525
2380
341341
x,x∴线段AB的长度为
12
164141222
ABxxyy1xx41
121212
25255
18.(本小题满分12分)
叙述并证明余弦定理。
5.【2012年陕西卷】19.(本小题满分12分)
已知椭圆
C1:
y1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(Ⅰ)求椭圆
C的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆
C和C2上,OB2OA,求直线AB的方
程.
6.【2013年陕西卷】20.(本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是
PBQ的角平分线,证明直线l过定点.
2【答案】(Ⅰ)y8x
抛物线方程;
(Ⅱ)定点(1,0)
【解析】(Ⅰ)A(4,0),设圆心C
MN
(x,y),MN线段的中点为E,由几何图像知ME,CACMMEEC
22222
(
x4)y4xy8x
(Ⅱ)点B(-1,0),
设.
P(x1,y),Q(x,y),由题知yy0,yy0,y8x,y8x
12212121122
yyyy
1212yyyyyyyy
8()()08
12122112
x1x1
y8y8
yy1
直线PQ方程为:
(8)
21
yy1(xx)yyxy
xxyy
2121
y(y2y)y(yy)8xyy(y2y1)88xy0,x
11211
所以,直线PQ过定点(1,0)
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