函数的定义域教学设计文档格式.docx
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1若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;
2若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;
3若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;
4若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
5若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,贝間数的定义域应符合实际问题.
3.求函数值域(最值)的一般方法:
(1)利用基本初等函数的值域;
(2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数);
(3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如型的函数)
(4)函数的单调性:
特别关注的图象及性质
(5)部分分式法、判别式法(分式函数)
(6)换元法(无理函数)
(7)导数法(高次函数)
(8)反函数法
(9)数形结合法
4.求函数的单调性
(1)定义法:
(2)导数法:
(3)利用复合函数的单调性:
(4)关于函数单调性还有以下一些常见结论:
1两个增(减)函数的和为;
一个增(减)函数与一个减
(增)函数的差是;
2奇函数在对称的两个区间上有的单调性;
偶函数在对称
的两个区间上有的单调性;
3互为反函数的两个函数在各自定义域上有的单调性;
(5)求函数单调区间的常用方法:
定义法、图象法、复合函数法、导数法等
(6)应用:
比较大小,证明不等式,解不等式。
5.函数的奇偶性
奇偶性:
定义:
注意区间是否关于原点对称,比较f(x)与f
(-X)的关系。
f(x)—f(-x)=Of(x)=f(-x)f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=Of(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。
判别方法:
定义法,图象法,复合函数法应用:
把函数值进行转化求解。
6.周期性:
若函数f(x)对定义域内的任意x满足:
f
(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他:
若函数f(x)对定义域内的任意x满足:
f(x+a)=f
(x-a),则2a为函数f(x)的周期.
应用:
求函数值和某个区间上的函数解析式。
二、典型例题分析
例1.若集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2}求从集合A到集合B的映射的个数。
分析:
解决这类问题,关键是要掌握映射的概念:
设A、B是两个集合,对于集合A中的任何一个元素,按照某种对应法则f,若集合B中都有唯一确定的元素和它对应,这时对应法则f叫做从集合A
到集合B的映射。
这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。
对于本例,集合A={a1,a2,a3}中的每一个元素的象都有bl或b2这两种情形,由乘法原理可知,A到B的映射的个数共有N=222=8个。
例2.线段|BC|=4,BC的中点为M点A与B、C两点的距离之和为6,设|AM|=y,|AB|=x,求y=f(x)的函数表达式及这函数的定义域。
解:
1若A、BC三点不共线,如图所示,由余弦定理可知,
x2=22+y2—4ycosAM①
(6—x)2=22+y2—4ycos(180—AMB②
①+②x2+(6—x)2=2y2+8y2=x2—6x+14
又x2—6x+14=(x—3)2+5恒正,
又三点A、B、C能构成三角形
1vxv5
2若三点A、BC共线,由题意可知,
x+4=6—x,x=1或4+6—x=xx=5
综上所述:
说明:
第一,首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上,因为由题意,A、B、C不一定能构成三角形,它们也可在同一条直线上,所以要分两种情形来讨论。
第二,实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。
例3.设f(x)为定义在R上的偶函数,当x—1时,y=f(x)的图象是经过点(一2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(—1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象。
(1)当x—1时,设f(x)=x+b
T射线过点(—2,0)0=—2+b即b=2,f(x)=x+2
(2)当—11时,设f(x)=ax2+2
T抛物线过点(一1,1),1=a(—1)2+2,即卩a=—1
f(x)=—x2+2
(3)当x1时,f(x)=—x+2
综上可知:
f(x)=作图由读者来完成。
例4.求下列函数的定义域
(1)
(2)
(1)
x4或x—1且x—3,即函数的定义域为(―,—3)(—3,—1)
[4,+]
(2),则
0x2—3x—108,即
—3xv—2或5vx6即定义域为[—3,—2](5,6)
求函数的定义域,我们常常可以从以下三个方面来考虑:
若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式,则真数大于零、底数大于零且不等于1。
求函数的定义域,实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。
变、已知函数f(x)的定义域为[—1,4],求的定义域。
则
又,或
则或即为所求函数的定义域。
此题实质上是求复合函数的定义域,我们把看成是由y=f(u)、两个函数复合而成的,因为一1uv4,贝y,从而求出x的范围,另外,对不等式进行倒数运算时,应注意不等式两边必须同号,取倒数后不等号的方向改变,这里也是学习时常常容易发生错误的地方,应加以重视。
例5.若对于任何实数x,不等式:
恒成立,求实数a的取值范围。
令f(x)=|x—1|+2|x—2|,去绝对值把f(x)表示成分段函数后为
5—3xxv1
f(x)=3—xx2
3x—5x>
2
作出y=f(x)的图象如图,由此可知f(x)的最小值为1,f(x)>
a对一切实数x恒成立,则av1。
该题看上去是一个不等式的问题,若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁,而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数,只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题,这种解题思想应引起我们的注意。
另外,对于函数f(x)=
|x—1|+2|x—2|只要把它写成分段函数的形式,作出函数的图象,则该函数的所有性质,包括函数的单调区间,值域等一切问题都可以迎刃而解了。
例6.求函数的值域。
令,则13—4x=t2
该二次函数的对称轴为t=1,又tO由二次函数的性质可知y4,当且仅当t=1即x=3时等式成立,原函数的值域为(一,4)。
对于所有形如的函数,求值域时我们可以用换元法令转化为关于t的二次函数在区间[O,+)上的最值来处理。
这里要注意tO的范围不能少。
如:
已知f(x)的值域为,试求函数的值域。
该题我们只需要把f(x)看成是一个变量,则求值域时仍可用上述换元法,但是如果被开方数不是关于x的一次式,而含x的平方项,则就不能用上述换元法了。
如求函数的值域,若令,则x无法用t来表示。
这里我们如果注意到x的取值范围:
-22,则-11的话,我们就可以用三角换元:
令[0,],问题也就转化为三角函数求最值了。
同样我们作三角换元时,要注意的限制条件,因为当取遍0到之间的每一个值时,恰好可以取遍-1到1之间的每一个值,若不限制的范围,则根号无法直接去掉,就会给我们解题增添麻烦。
例7.求下列函数的最值。
(1)
(2)
(1)先求出函数的定义域:
-27,又在区间[-2,7]上函数单调递增,单调递增,所以在定义域内也单调递增。
当x=—2时,;
当x=7时,
(2)v0y2=x2(1—x2)由基本不等式可知:
y2=x2(1—x2),又y,。
对于一些比较复杂的函数,求值域或最值时,如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式,问题往往会很快得到解决。
在运用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”的条件,特别是要注意等号能否成立。
例8.设a>
0,x[—1,1]时函数y=—x2—ax+b有最小值—1,最大值1,求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。
va>
0,v0,又定义域为[—1,1]
x=1时,即—1—a+b=—1a—b=0
下面分a的情形来讨论:
1当0>
—1即Ova2时,
当时,即,则
a2+4a—4=0,
又a(O,2),则
2当v—1,即卩a>
2时,当x=—1时
—1+a+b=1,a+b=2又a=ba=1与a>
2矛盾,舍去综上所述:
x=1时,,时。
例9.已知函数y=f(x)=(a,b,cR,aO,bO)是奇函数,当xO时,f(x)有最小值2,其中bN且f
(1)
(1)试求函数f(x)的解析式;
(2)问函数f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对称的
两点,若存在,求出点的坐标;
若不存在,说明理由
(1)Vf(x)是奇函数,
f(—x)=—f(X),即卩
c=0,vaO,bO,xO,f(x)=2,
当且仅当x=时等号成立,于是2=2,a=b2,
由f
(1)v得v即v,2b2—5b+2vO,解得vbv2,又bN,b
=1,a=1,f(x)=x+
(2)设存在一点(xO,yO)在y=f(x)的图象上,并且关于
(1,O)的对称点(2—xO,—yO)也在y=f(x)的图象上,贝S消去yO得xO2—2xO—1=O,xO=1
y=f(x)的图象上存在两点(1+,2),(1-,—2)关于(1,0)对称
例10.已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在]0,+)上是增函数,是否存在实数m使f(cos2—3)+f(4m—2mcoSf
(0)对所有[0,]都成立?
若存在,求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由
Tf(x)是R上的奇函数,且在[0,+)上是增函数,f
(x)是R上的增函数于是不等式可等价地转化为f(cos2—3)f(2mcos
—4m),
即cos2—32mcos-4m即cos2—mcos+2n—2
设t=cos,贝y问题等价地转化为函数
g(t)?
=t2—mt+2r—2=(t—)2—+2m-2在]0,1]上的值恒为正,又转化为函数g(t)在[0,1]上的最小值为正
当0,即卩m0时,g(0)=2m-21与m0不符;
当01时,即02时,g(m)=—+2m—20
4—24+2,?
4—22
当1,即卩m2时,g
(1)=m—11m2
综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m4—2
另法(仅限当m能够解出的情况)cos2—mcos+2n-20对于]0,]恒成立,
等价于m(2—cos2)/(2—cos)对于]0,]恒成立
•••当[0,]时,(2—cos2)/(2—cos)4—2,
m4-2
例11.设a为实数,记函数f(x)=a的最大值为g(a)。
(1)设t=,求t的取值范围并把f(x)表示为t的函数(t);
(2)求g(a);
(3)求满足g(a)=g()的所有实数a.
(1)vt=
要使t有意义,必须有1+xO且1—x0,即—11.
vt2=2+2[2,4],t……①
t的取值范围是[,2]由①得=x2—1
m(t)=a(t2—1)+t=at2+t—a,t[,2]
(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2+t—a,t[,2]的最大值.
注意到直线t=—是抛物线m(t)=at2+t—a的对称轴,分下列情况讨论.
当a0时,函数y=m(t),t[,2]的图像是开口向上的抛物线的一段,由t=—0知m(t)在[,2]上单调递增,
g(a)=m
(2)=a+2.
当a=0时,m(t)=t,t[,2],g(a)=2.
当a0时,函数y=m(t),t[,2]的图像是开口向下的抛物线的一段,
若有t=—[0,],即a—,则g(a)=m()=.
若有t=—(,2),即卩a,则g(a)=m(—)=—a—.
若有t=-[0,],即a,则g(a)=m
(2)=a+2.综上有g(a)=
(3)当a-时,g(a)=a+2,当时,-a,,所以,
g(a)=2=.因此当a-时,g(a).
当a0时,0,由g(a)=g()知a+2=+2解得a=1.
当a0时,=1,因此a-1或一1,从而g(a)=或g()=.要使g(a)=g(),必须有a-或—,即——此时g(a)==g().
综上知,满足g(a)=g()的所有实数a为:
——或a=1.
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