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2、某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。
例1:
有一个数列:
4,10,16,22,…,52,这个数列共有多少项?
分析与解答:
容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52,要求项数,可直接带入项数公式进行计算。
项数=(52-4)÷
6+1=9,即这个数列共有9项。
练习一
1,等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2,这个等差数列共有多少项?
2,有一个等差数列:
2,5,8,11,…,101,这个等差数列共有多少项?
例2:
有一等差数列:
3,7,11,15,……,这个等差数列的第100项是多少?
这个等差数列的首项是3,公差是4,项数是100。
要求第100项,可根据“末项=首项+公差×
(项数-1)”进行计算。
第100项=3+4×
(100-1)=399
练习二
1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少?
2,求1,4,7,10……这个等差数列的第30项。
例3:
有这样一个数列:
1,2,3,4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
如果我们把1,2,3,4,…,99,100与列100,99,…,3,2,1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101,一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2,就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×
100÷
2=5050
上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:
等差数列总和=(首项+末项)×
项数÷
2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习三
计算下面各题。
(1)1+2+3+…+49+50
(2)6+7+8+…+74+75
例4:
求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。
要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:
公差+1=(50-2)÷
2+1=25
首项=2,末项=50,项数=25
等差数列的和=(2+50)×
25÷
2=650
练习四
(1)2+6+10+14+18+22
(2)5+10+15+20+…+195+200
例5:
计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
容易发现,被减数与减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。
进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。
因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。
(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)
=1+1+1+…+1
=50
练习五
用简便方法计算下面各题。
(1)(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)
(2)(2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999)
例6:
刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。
这本书共有多少页?
根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11,因此可以很快得解:
(30+60)×
11÷
2=495(页)
想一想:
如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答?
练习六
1,刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以的每天都比前一天多做2个,第15天做了48个,正好做完。
这批零件共有多少个?
2,胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页?
例7:
30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次?
开第一把锁时,如果不凑巧,试了29把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次;
同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。
所以,至多需试29+28+27+…+2+1=(29+1)×
29÷
2=435(次)。
练习七
1,有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
2,有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
例8:
某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手?
假设51个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50次,第二个依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了48次。
依次类推,第50个人和剩下的一人握了1次手,这样,他们握手的次数和为:
50+49+48+…+2+1=(50+1)×
50÷
2=1275(次)
练习八
1,学校进行乒乓球赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛,一共要进行多少场比赛?
2,在一次同学聚会中,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手?
例9:
求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。
首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和,而不是求这99个数之和。
为了能方便地解决问题,我们不妨把0算进来(它不影响我们计算数字之和)计算0~99这100个数的数字之和。
这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等,是9+9=18,一共有100÷
2=50对,所以,1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×
50=900。
练习九
1,求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。
2,求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。
例10:
求1~209这209个连续自然数的全部数字之和。
不妨先求0~199的所有数字之和,再求200~209的所有数字之和,然后把它们合起来。
0~199的所有数字之和为(1+9×
2)×
(200÷
2)=1900,200~209的所有数字之和为2×
10+1+2+…+9=65。
所以,1~209这209个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。
练习十
1,求1~308连续自然数的全部数字之和。
2,求1~2009连续自然数的全部数字之和。
练习作业
1,已知等差数列11,16,21,26,…,1001,这个等差数列共有多少项?
2,求等差数列2,6,10,14……的第100项。
3,100+99+98+…+61+60
4,9+18+27+36+…+261+270
5,(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
6,丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?
7,有10只盒子,44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?
8,假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话?
9,求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
10,求连续自然数2000~5000的全部数字之和。
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