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○如何将额外信息纳入ADRC
本文将讨论在LADRC中如何纳入更多的对象信息。
我们将导出一种旨在提高其性能的通用自抗扰控制(GADRC)方法,以便将ADRC中受控设备的所有额外动态特性整合。
为了便于分析和调整,我们将GADRC结构转换为着名的两个自由度(TDF)内部模型控制(IMC)结构。
仿真结果表明,有额外的对象信息结合,ADRC的控制性能确实得到提高,尤其是对于不稳定和非最小相过程。
本文的其余部分安排如下。
在第二部分,将复习和分析ADRC理论,然后在第三部分中通过扩展常规ADRC,提出一种对于所有线性系统通用ADRC方法。
第四节阐述如何将GADRC结构转换为TDF-IMC结构。
在第五节中,将GADRC理论推广到具有延时环节的线性系统中。
最后,在第六节给出结论。
二、自抗扰控制
在ADRC设计中,假设受控对象具有以下模型[3]:
y(p)(t)=bu(t)+f(y(t),u(t),d(t))
(1)
其中p是ADRC的阶数,b是级联的增益积分模型。
f(y,u,d)是不确定性的组合和设备的外部扰动。
它被表示为广义扰动,并假定在设计的ADRC中是未知的。
在ADRC框架中,中心思想是估计未知普遍扰动(f)。
为此,我们利用扩展状态观察器(ESO)。
使得z1=y,z2=y',·
·
zp=y(p1),zp+1=f
(2)
假设f是可微分的,令f'=h。
然后
(1)可以写作:
(3)
当z=[z1z2·
zpzp+1]T,
一个全阶的luenberger状态观察器可以设计为:
其中Lo是观测器增益矢量。
(6)
当Ae-LoCe渐近稳定时,z1(t),·
zp(t)将接近y(t)及其导数(达到阶p-1),并且zp+1(t)将近似等于普遍扰动f。
因此,估计得到的普遍扰动可以用作为了更快地抗扰动的控制。
如果我们选择控制律
(7)
其中uo(t)将在以后确定。
然后原始对象
(1)变成
(8)
如果ESO的设计是合适的,即zp+1≈f,则原始对象被减少为p阶积分系统
(9)
可以使用以下状态反馈法来有效地控制系统
(10)
由于z1(t),·
zp(t)近似于y(t),·
y(p1)(t),所以最终控制律可以近似为
(11)其中r(t)是扩展参考信号,由参考信号r(t)及其阶至p-1的导数组成,
(12)
且
(13)
显然,ADRC具有两组调谐增益:
Lo——ESO的观测器增益,以及Ko——p阶积分对象的控制器增益。
由于实际原因,我们建议用调谐两个参数替代调谐两个增益[3]:
ωc——控制器带宽,和ωo——观察器带宽。
观测器带宽ωo与ESO的特征值相关。
注意AeLoCe的特性方程是
(14)
我们假设所有的观测极点都放置在-ωo处,那么
(15)
然后有
(16)
其中p+1是组合系数。
这使得调节唯一的参数ωo从而得到Lo。
如果广义扰动f被精确补偿,将原始对象简化为p阶积分对象,并且zi(i=1,·
p)也是精确的,则最终闭环系统变成
(17)
类似地,如果所有闭环极点都位于-ωc,既
(18)
那么有
(19)
这使得调节唯一的参数ωc从而得到Ko。
备注1:
可以看出,ADRC是一个独立于原始对象模型的“通用”控制结构。
除了模型的阶数p和相应的增益'
b'
,它不需要知道详细的结构和参数的模型,所以它非常类似于具有固定控制结构的独立对象模型PID控制。
此外,ADRC可以用两个调谐参数(ωc和ωo),因此很容易被实际控制工程师所理解。
三、通用的ADRC
据观察,ADRC包含三个部分:
1)模型;
2)ESO;
3)状态反馈控制。
出于实际原因,在原始ADRC中使用的模型假定为级联积分模型
(1),假设关于已知对象的信息很少。
在ADRC中使用对象的额外信息能提高控制性能吗在本节中,我们将尝试在线性系统推广通用的ADRC理论。
A.模型
我们考虑使用具有以下状态空间实现的通用单入单出系统
(20)
系统状态的维度假设为p。
假设广义扰动f(由于外部干扰和模型不确定性)影响系统中的以下形式:
(21)
对于这样的系统,遵循ADRC理论,我们可以定义扩展对象为
(22)
当
(23)
(24)
显然,如果
(25)
那么延伸的对象会在原始ADRC中减少至(3)或
(1)
对于扩展对象(22),类似于原始ADRC,可以设计一个全阶Luenberger状态观察器。
(26)
与原来的ADRC一样,观测器的增益
(27)
也可以选择将Ae-LoCe的所有特征值位于-ωo这一点。
C.状态反馈
如果Lo的设计合适,则所有状态z=[xf]T由ESO估计。
与原来的ADRC一样,广义干扰f可以用作反馈的状态以便快速地抑制它。
现在状态x不同于原始ADRC中的状态,因此状态反馈法在某种方式上会有所不同。
通过设计正确的ESO,我们提出的最终状态反馈法具有以下形式:
(28)
这里r是由跟踪微分器(TD)确定的扩展参考信号(r的作用将在下面讨论),控制器增益定义为:
(29)
Kˉo是Ko的第一个p分量。
将此控制律代入(22),闭环系统变为
(30)
为了衰减广义扰动,必须满足以下“匹配条件”:
(31)
该条件等于说广义扰动f与控制输入u“匹配”(在关于鲁棒控制的文献中称为非线性不确定系统“匹配条件”[17])。
在原始ADRC中,从(25)中给出的状态空间数据,Bd=B/b,因此始终满足条件(31)。
备注2:
实验表明ADRC在假设的匹配条件能够工作。
是否适用于具有不匹配条件的系统以后会进一步研究。
然而,ADRC是一种新颖的控制结构和新颖的设计理念的结合。
假设存在广义扰动,实际扰动未知,所以就像PID控制一样,可能有缺点,但它在工业控制中具有潜在的应用。
在匹配条件下,最终的闭环系统将会是:
(32)
这是从参考信号r到对象输出y的期望响应。
它完全由具有由控制器增益ˉKo确定的线性对象已知状态空间数据(A,B,C)。
如在原始ADRC中,我们可以选择ˉKo,使得A-BˉKo的特征值位于-ωc这一点。
现在让我们来看看扩展引用r的作用。
假设它通过以下动态特性与原始参考信号r相关
(33)
那么期望的闭环系统(32)将是
(34)
因此,最佳扩展参考r使得Tyr(s)Fr(s)=1。
它是一个用于改善跟踪性能的设定点滤波器的GADRC。
跟踪没有偏移的充分条件是:
(35)
为简单起见,如果对控制点滤波器来说不需要附加动态过程,我们可以设置r=Fr(0)r。
对于原来的ADRC,从(11),我们有
因此,对于阶跃参考信号,可以为原始ADRC中的控制点滤波器选择常数kp/b。
D.总结
总之,对于一般线性系统(20),GADRC控制器具有以下状态空间形式:
(36)
其结构如图2所示。
图的结构
注意,对于一般线性系统(20),控制器(36)的系统矩阵变为
(37)
其中Lˉo是Lo的第一个p分量
显然,使用匹配条件(31),AeBeK0LoCe的最后一列是向量为零,因此它始终在原点处具有特征值,这保证了干扰响应将不会有偏移。
备注3:
我们注意到广义扰动f是由于模型不确定性和外部扰动引起的累积扰动。
它不需要在ADRC设计中作为已知条件,但假定由ESO能够估计f。
为了简单起见,我们可以在GADRC的设计中假定Bd=B,因此k0总是等于1。
为了展示GADRC设计过程,我们考虑设计一个二阶系统
(38)
系统的状态空间实现具有以下参数:
(39)
令Bd=B/b0,并构建如(24)中的扩展的对象。
这里我们假设Bd=B/b0,以便与原始ADRC进行比较。
对于通用的GADRC设计,假设Bd=B将更简单。
观测器增益Lo和反馈增益Ko定义为:
(40)
ESO的特征方程可以计算为:
(41)
期望响应的特征方程为:
(42)
因此,为了将期望响应的所有极点放置在-ωc处,我们可以选择Ko的参数为:
(43)
并将所有ESO极点放置在-ωo处,则可以从中计算Lo的参数
(44)
备注4:
GADRC可以利用关于对象的不同信息。
如果我们取a0=0,a1=0和b1=0,则模型变为b0/s2,并且GADRC与原始ADRC相同。
如果我们只取b1=0,那么假定我们知道对象的极点。
最后,如果使用所有的系数,那么我们就能利用设计对象完整的动态特性所以极点和零点)。
因此,GADRC是一种非常方便的控制器合成方法,可以利用任何已知的关于对象的信息。
此外,GADRC适用于非最小相位处理,这是非常难以使用原始ADRC进行控制的[18],如下面的例子所示。
示例1:
对一个二阶不稳定过程
(45)
原始ADRC针对P=b0/s2进行调谐,并且该过程的响应如图3(a)所示(t=0的阶跃参考和t=20的阶跃输入扰动),具有以下参数:
b0=2/3,ωc=1,ωo=4,8,12
我们观察到,对于固定的ωc,随着ω0的增加,跟踪和抗扰性能增加。
现在如果进程的详细模型是已知的,有
为了将反馈控制系统的极点放置在-ωc处,将控制器增益计算为
Ko=[15](ωc=1)
观察器增益为
图3(a).原始的LADRC
图3(b).有动态极点的LADRC
例1在原始ADRC和GADRC下的响应(实线:
ωo=4;
虚线:
ωo=8;
ωo=12)
GADRC过程的响应如图3(b)所示。
与原来的LADRC相比,GADRC具有更好的跟踪和抗干扰性能。
此外,由于使用了对象的所有动态信息,跟踪响应遵循由
指定的期望响应,而原始LADRC使用对象的动态部分信息,因此跟踪响应远离期望。
随着ωo增加,原始ADRC的跟踪性能接近我们所期望的。
对于抗干扰性能也观察到相同的结果。
注意,随着ω0减小,由于被忽略的不稳定极点,原始ADRC下的处理将变得不稳定,这使得原始ADRC在ω0上设置较低的带宽。
然而,对于GADRC,没有这样的限制。
示例2:
对一个二阶非最小项过程
(46)
我们在GADRC设计中考虑了具有不同对象信息的三种情况,并且分别将对应的GADRC表示为GADRC1,GADRC2和GADRC3。
第一种情况与原始ADRC设计相同,假设关于对象的唯一已知是它的阶数和相应的增益;
第二种情况假定对象的极点是已知的;
第三种情况是已知对象的完整动态信息。
我们使用GADRC2来说明设计过程。
相同的过程适用于GADRC1和GADRC3。
对于GADRC2,ESO设计的扩展对象将是:
观察器增益计算为
控制器增益是
这里我们尝试不同的ωc来显示过程的非最小相位特性。
具有不同ωc的GADRC2和GADRC3下的过程的响应如图4所示,其中在t=1处具有阶跃参考,在t=20具有阶跃输入扰动。
可以观察到,随着ωc增加,设定点跟踪时间减小,但是负脉冲信号增加。
对于小的ωc,GADRC2与GADRC3的性能接近,然而,随着ωc增加,过冲增加。
GADRC1(原始ADRC)的响应不稳定,如[18]所示,因此这里不做说明。
[18]建议增加原始ADRC的非最小相位过程的增益'
以获得稳定的控制,但没有理论可用于支持该想法。
此外,增益应该增加多大只能通过试验和误差找到。
相比之下,GADRC可以通过关于过程的极点(和/或零点)的额外信息来实现良好的性能。
图4(a)
图4(b)
图4.例2在具有不同对象信息的GADRC下的响应(a)GADRC2;
(b)GADRC3
(实心:
ωc=;
ωc=1;
dashdotted:
ωc=)
四、IMC对GADRC的解释
通过对GADRC控制器(36)的状态空间实现的拉普拉斯变换,有
(47)
删除中间变量z(s),有
(48)
(49)
(50)
因此,GADRC可以被放入如图5所示的两个自由度的常规反馈结构中。
图的等效常规反馈结构
上述结果表明,GADRC等价于TDF反馈控制结构。
为了便于分析和调整,我们将显示它相当于TDF-IMC结构。
为了实习它,让
(51)
(52)
(53)
它正是图6所示的TDF-IMC结构,很容易从(52)中验证得到
(54)
(55)
备注5.清楚的是,设定点跟踪IMC控制器Q仅与状态反馈控制器Ko的参数相关,并且干扰抑制IMC控制器Qd与状态反馈控制器和扩展状态观测器增益Lo两者相关。
因此,对于GADRC,设定点跟踪和干扰抑制没有完全分离。
性能取决于ESO和状态反馈控制器的参数。
图6.两自由度IMC
利用上述结果,可以使用IMC的已知结论来对GADRC控制系统进行分析。
例如,为了分析GADRC的稳定性,我们可以将其放置在TDF-IMC结构中以获得相应的P0,Q,Qd。
在TDF-IMC结构中,有
(56)
其中d1和d2分别是设备的输入和输出干扰。
对于TDF-IMC的内部稳定性,从d1,d2到u,y的所有四个传递函数必须是稳定的,即当且仅当
(57)
是稳定的。
M对于稳定的充分条件是对于任何ω(58)由众所周知的小增益定理有
(58)
示例3:
对于ωc=,ωo=5的示例3使用GADRC2。
等效的TDF-IMC控制器是
图7显示了模型误差和设计控制器的幅值图。
可以观察到满足条件(58),因此具有ωc=,ωo=5的GADRC2确实稳定了原始的非最小相位过程,尽管它被设计用于不知道零动态的过程。
进一步增加ωc可能导致不稳定的闭环系统。
图7.示例1的建模误差和设计控制器的幅度图
五、结论
在本文中,我们提出了一般线性系统的通用自抗扰控制方法,并将控制结构转移到众所周知的TDF-IMC结构,以便于分析和参数调谐。
该方法非常方便地将任何已知的对象信息结合到控制设计中。
仿真结果表明,通过结合额外的对象信息,ADRC的控制性能确实可以提高,特别是对于不稳定和非最小相的过程。
ADRC研究有一个具有挑战性的问题,即,在只有对象的阶数和增益信息时常规ADRC用什么样的过程来适当控制使用常规ADRC很难控制非最小相位和时间延迟过程。
不稳定的延时过程可能是最难控制的。
通过对结构的一些修改或增加另一个调谐参数(增益b),传统的ADRC[18,19]的确可以实现能够接受的控制性能,然而,为了传播ADRC技术我们应该进行理论的论证。
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