第二讲立体几何中的动态问题Word格式文档下载.docx
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若斜线段月乃与平而所成的角恰为30:
此时的轨迹是什么?
/
【例题3K2013年浙江省嘉兴二模】设,〃是平面&
内的一条定直线,P为平而a外的一个定点,动直线〃经过点P且与,〃成30°
角,则直线与平面a的交点0的轨迹为
A.圆8.椭圆C.双曲线的一支D抛物线
分析的方法与例题1
和例题2类似.
【例题4][2017年温州九校协作体高三期末联考,10】如图,正四
可借助前而的例题分
而体(所有的棱长都相等)D-ABC中,
动点P在平而BCD上,且满
析得出点P的轨迹,
足Z用0=30°
若点P在平而"
BC上的射影为贝iJsinZPSE的
但是就计算而言,这
最大值为・
道题目还是有一些堆
人弩B.譬
C誓
度的.
AB
【例题5][2017年台州市高三调考,
17]如图,在棱长为2的正四
这一题的轨迹隐藏比
而体A_BCD中,E、F分别为直线CD上的动点,且1£
鬥甘・
较深,我们将对此题
若记EF的中点P的轨迹为厶,则ID
A
进一步的拓展.
等于•(注:
ILI表示L的测度,
/X
在本题,厶为曲线、平而图形、空间
几何体时,IU分别对应长度、面积、
体积・)
C
题型二、翻折
核心技能:
一般而言,一方面,涉及到翻折一类的问题时,会形成一个固定的角度或者固定的平
面,此时比较容易出现圆锥模型;
另一方面,翻折问题也有一些可以用拆剪的方法解决.
【例题6】[2015高考浙江,理8】如图,已知△A3C,。
是A8的中点,沿直线C。
将△ACO折成所
&
A
成二面角A—CD-B的平面角为a,〉\A
则一.
A.NADBWaB・ZA'
DBS,/
C.N/TCBWoD.ZACB>
a/
此题可以用计算的方法来解决,只不过计算量比较大:
但是我们也可以用圆锥模型来解决.以CQ为轴,C4为母线的一个圆锥可以帮助我们解决此题•值得一提的是,此题中的。
是A5的中点完全是一个多余的条件.
【例题7n2012年浙江高考,10]已知矩形ABCo,AB=1,应'
二"
现将△月加沿矩形的对角线劭所在的直线进行翻折,在翻折的过程中.
A.存在某个位置,使得直线AC与直线3。
垂直:
B.存在某个位置,使得直线?
与直线d垂直:
C.存在某个位置,使得直线A。
与直线BC垂直:
ZZ对任意付置,三对直线側C与BD”、“AB与CD”、“AD与BC”都不垂直.
参照例题5,应用圆锥模型解决此题是极其容易的.
【例题8n浙江省2009年高考理科,17]如图,在长方形A5C0屮,折叠的过程中,总会
有一些不变量,有些现将
AB二2,BC二T,E为CO的中点,E为线段EC(端点除外)上的一动点,折起,使得平而平而A8C在平面A3。
内过点。
是显性的,有些则是
作0K_LA8,K为垂足.设AK二/,贝h的取值范围为.
隐性的.
此题的难点有二:
正确.注意翻折过程
屮的不变量.
【例题9】[2017年杭州市高三年级第二学期教学质量检测,10】在等腰直角2^8(;
中,ABLAC.8c二2,M为8C的中点,N为AC的为什么错?
。
为什么
中点,。
为BC边上的一个动点,△月劭沿月〃翻折使得BD土DC,点A在平而应7?
的投影为Q当点〃在财上运动时,以下说法错误的是.
人线段N。
为定长B.ICOIGtl,
C.ZAM0+ZADB>
\S0°
.点。
的轨迹为圆
分析的方法与上面的
例题基本是类似的,只不过此题中加入了一些计算的元素.
首先可以确宦的一点
若点E、F分别是线段CP】上的动
点,点G为底而ABCD上的动点,则
EF十EG的最小值为
C.1
是当EF+EG取得最小值时,必定有EG丄底而ABCD,即点G在线段BD上,然后考虑连接DxF和BF,用展开模型解决这一道题.
【例题101(2016年浙江高考(理》15】如削在ZkABC中,AB二BC=2
ZABC=120°
•若平而ABC外的点P和线段AC上的点D,满足
PD=DA,PB=HA,则四而体PBCD的体枳的最大值是.
【例题11]如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-AiBQDi中,
先求出点尸的轨迹,
然后再应用空间向量
计算.
题型三、应用空间向量解决运动问题核心技能:
掌握空间向量的求角度、线段长度的方法.
【例题12】[2015年,绍兴市高三教学质量调研】如图,在棱长为3的正方体A8CD-A由]GG中,点尸是平面A8C内一动点,且满足
IP0I+IP8]1=2+03,则直线府与直线月必所成角的余弦值的取值范围是.
A.(0,刍B.[o,1]电阴。
.惇fl
【例题13】[2015高考四川,理14】如图,四边形A5CD和AQP。
此题相对来说建系比均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动较方便.
【例题14】【2015年浙江高考(理科),15]已知0,02为空间单位向量,e]•若空间向量力满足力•ei二2,5・a二,且对于任意X、
y£
R,心一(出+加2)12必一(xM+v(£
2)1=1(xo,yo《R),贝卜%二,业一1J1—
掌握空间向量的基本
运算即可解答此题.
题型五、其他类型的运动问题
其他的还有包括体积、线段以及射影面积的最值问题,核心的方法不外乎上面所介绍的各种方法.
【例题15】【2017年杭州高级屮学高三最后一模,10]如图,在棱
长为1的正四面体。
一A8C屮,。
为厶
的屮心,过点0作直线分别与线段
AC、兀相交于M、M可以是线段的端//c
点),连接0M,点P为。
M的屮点,贝ljA?
/
以下说法正确的是A«
六…。
1冷卜
存在某一个位置,使得NPL平面ZMC,‘J/
B.SWMN的最大值为当
C.tan2ZDM/V+tan2ZDW的最小值为12
DA上的取值范围是存11
VD-MNHAL3
这是一道综合题,对于存在型问题的关键在于找到一个临界点,其他的答案均需要进行—定的计算.
【例题16][2017年浙江省绍兴市高三教学质量调测,10]如图,在正方体ABCO-A山CiU中,棱A3的中点为P,若光线从点P出发,依次经过三个侧面BCG8、DCC.DrAOUAl反射后,落到侧而A8SA](不包括边界),则入射光线図与侧而仇%所成角的正切值的取值范围是
【过关练习
(二)】
1.【浙江省浙大附中2016届高三全真模拟(理),&
☆☆☆】如图,在氐△ABC中,AC=\f
BC=xfo是斜边A8的中点,将厶8CQ沿直线C。
翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得C3_LAo,则x的取值范围是.
人(0,何艮俘,2C(p2®
D.Q,4]
(第2题图)
2.[2015年,嘉兴市高三第一学期期末测试10,☆☆☆】正四面体的棱长为2,棱A0与平而。
所成的角去寸且顶点A在平面。
内,B,C,。
均在平而。
夕卜,则棱8C的中点£
到平面。
的距离
的取值范围为.
3.1浙江省宁波市余姚中学2016届高三十月月考(理),&
☆☆☆】如图,正方体ABCo一
4&
GQ棱长为短,以顶点A为冰心“2为半径作一个球,则图屮球而与正方体的表面相交所得到的两端弧长Z和等于.
5兀门2兀
A.—B-
(第4题图)
(第5题图)
4.12015江西期末,食翁】如图,在直三棱柱相。
一48©
中,底面为直角三角形,/从。
8=90o,
AC二6,BC=CC1=V2,尸为上的一个动点,则CP+Rh的最小值为.
5.【浙江省新高考研究同盟2016届高三12月第一次联考,7,☆☆】如图,四边形ABCQ,
AB=BD=DA=2f2>仞=〃现将AAB。
沿8。
折起,使二面角A-3。
一C的大小在有
票]内,则直线A5与。
所成角的余弦值的取值范围是
A.[0,徐川野,1]
3偉岁]C[0,乎]D,[0,当
则sina的取值范围是.
A・[f,1]
8怦,1]
C.曾,当
[挛[
D
7.
AD二4,点E在线段A。
上且AE二3,现分别沿鹿、CE将ZWCE翻折,使得点。
6.[2014年四川高考,☆☆】如图,在正方体ABC0-A&
G”中,点0为线段8。
的中点,设点P在CG上,直线0P与平面48。
所成的角为。
落在线段AE上,则此时二面角0—EC-3的余弦值为.
r6
c,7
D,
(第7题图)
8.[2015年宁波一模(理),15,☆☆☆】在AABC中,NB4c二10。
,NAC8二30。
,将直线8c绕AC旋转得到bC,直线AC绕A3旋转得到AG,则在所有旋转过程屮,直线8C与直线AG所成角的取值范围是.
9.[2015年,嘉兴市高三教学质量测试
(二),15,☆☆☆】正方体ABCQ-ABGA的棱长为1,底而ABC。
的对角线3。
在平而a内,则正方体在平而a内的射影构成的图形面枳的取值范围为.
10.[2015年,温州市高三第二次适应性测试,☆☆☆】如图所示的一块长方体木料屮,己知AB二BC二4,
11.[2015年浙江省第一次五校联考(理),15,☆☆☆】如图,直线/_L平而夕,垂足为0,正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的棱长为2,。
在平面a内,8是直线/上的动点,当。
到A0的距离为最大时,正四面体在平面a上的射影而积为.
12.[2015年,金华一中高考全真模拟测试,&
☆☆】在棱长为6的正方体A8CQ-4&
G5中,M是BC的中点,点尸是面0CGR所在的平面内的动点,且满足NAP0二NA/PC,则三棱锥P—BCD的体积的最大值为.
A.36B.1273C.24D.18y/3
13.[2013年淄博模拟,☆☆☆】已知四而体P-ABC中,点P在底而ABC的射影为0,且满足醇+OB+OC二0,点A在平面P8C上的射影为从〃恰为APBC的垂心,若出二6,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为.
14.【浙江省金华十校2016届高三第一次联考(理),&
☆☆☆】已知四面体A3CD屮,AD~
LBC,AD二6,BC二2,第二八二2,则VSi-sco的最大值为
A.6B.2/iC.2V15D.8
15.[2014年黄山模拟,☆☆☆】如图所示,已知正方体A8CD-4&
G5的棱长为1,E、产分别是AA1,CG的中点,过点E、E的平面分别与8&
、DDi交于点、M、兀设xe[0,1],则下列说法正确的有(填写正确说法的序号):
1当且仅当户0是,四边形MFNE的周长最大:
2当且仅当4:
时,四边形MFNE的面积最小:
③多而体初G?
汨疔的体积为发
④四棱锥G-MFNE的体积仁心)是常函数;
⑤直线MN与CCi的夹角的正弦值的取值范I期为[晋,1|
(第15题图)
(第16题图)
16.[2010年安徽模拟,☆☆☆】如图,正方体ABCD-A山Cid的棱长为小线段上有一个动点
P,线段4G上有两个动点上、F,且EF串,现有如下四个结论:
1当E、F在棱4G上运动时,三棱锥的体积为定值:
2当点尸在必C上运动时,直线4P与平而4C。
所成的角的大小不变;
3当点F在B\Ck运动时,直线血Zy与AiP所成的角的大小不变:
4点M是底而ABC。
上的一点,且到直线与到直线CG的距离相等,则点M的轨迹是抛物线其屮正确结论的序号是.
17.[2015年,宁波市镇海屮学5月份高三模拟测试,14,☆☆☆】在棱长为1的正方体ABC0-4&
G5中,M,N分别是AG,A山]的中点,点尸在该正方体的表而上运动,贝9总能使必与刖垂直的点P所构成的轨迹的周长等于.
18.[2015年,嘉兴市高三教学质量测试
(一),15,☆☆☆】正四面体QA5C,其棱长为1,若决二xEIl+.V无+zdt(OWx,.v,zWl),且满足x+y+在1,则动点尸的轨迹所形成的空间区域的体积为.
19.[2016年1月浙江省新高考研究卷理科,6,☆☆☆】已知点A,5分别为异而直线“,〃上的点,且直线AB与小〃均垂直,动点PC”,QGbfa+Q8为定值,则线段PQ的中点財的轨迹为.
A.平行四边形8.圆C.椭圆D双曲线
20.[2014年金华高二“十校联考”(文),10,☆☆】圆柱的轴截面ABC。
为边长为2的正
方形,,必为正方形A8C0的对角线的交点,动点P在圆柱的下底而内(包括圆周),若直线
8W与MP所成的角为45o,则点尸的轨迹为.
21.[2006年浙江高考(理),14,☆☆☆】正四而体A8C0的棱长为1,棱A8〃平而a,则正
四而体上所有的点在平面a内的射影构成的图形的面积的取值范围为.
22.[2014年浙江省学考,25,☆☆】在棱为1的正方体A8CQ.A由CQi中,E、F分别是
P、M分别为。
1、EF的动点,则PM+PN
棱45、GA的中点,N为线段8c的中点,若的最
23.【2010年浙江高考(理),19,☆☆】如图,在矩形A8CQ中,点七、厂分别在线段A8,
2
AO上,处=刃*尸二沏=幺沿直线EE将AAM翻折成Z\AZF,是平面A£
F_L平面BER点M、N分别在线段H),滋上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使得。
与H重合,则线段FM的长度为
24.[2016年高考模拟卷,☆☆☆】如图所示,已知矩形ABC。
屮,A8二3,AQ二4,现将△
ABC沿着5。
翻折至48。
的位置,二面角4一8。
一。
的平面角为匿且旌(0,;
如果
A山与C0所成的异而直线角为£
,则
A.
B.a<
B
C.a=B
D.
(第24题图)
25.【浙江省诸暨市2016届高三五月检测(理),15,☆☆☆☆】如图,已知直四棱柱ABCD-A'
CiD,是底而为1的正方形,AA1=yj2f点A是平而a上的一个定点,月4与平而a所成的角度为东点。
在平面a内的射影为P,当四棱柱A8CZXA山Cid按要求运动时(允许四棱柱上的点在平面的同侧或者异侧),点户所经过的区域的面积为.
(第25题(第26题
26.[2017年嘉兴一模,17,☆☆】如图,己知三棱锥A-3CD的所有棱长都相等,点E满足0E=3EG点F在棱/IC上运动,设疗与平面*G?
所成的角为仇则sin。
的最大值
(第27题(第28题
2Z[2017年金华十校模拟考试,10,☆☆☆】在正方体A8C。
-A山]GQ中,点M、N分
别是线段。
、A3上的动点,点P是AAGO内的动点(不包括边界),即直线。
,与所成的角为仇若8的最小值为率则点尸的轨迹为.
人圆的一部分8椭圆的一部分C.抛物线的一部分。
•双曲线的一部分
28.[2017年金丽衢十二校高三第二次联考,16,☆☆】已知&
ABC中,NC二90°
tanAfR,
\1为儿?
的屮点.现将A4CM沿G/折成三棱锥P-CBM.当二面角户-GQE的大小为
29.[2017年诸暨市高中毕业班教学质量检测,10,☆☆☆】已知三棱锥A-8CZ)的所有棱长都相等,若直线AB与平面a所成的角等于申则平面AC。
与平面a所成角的正弦值的取值范围为.
4[糅,明艮[》]],惨普察瑁
30.[2017年萧山中学高三5月模拟,10,☆☆☆】如图,四边形A5CD是矩形,沿直线8。
将
AA3o翻折成Z\A50,异面直线CD与A'
8所成的角为a,则.
A.乳/A'
C。
B,a>
ZAfCDC.a<
NA,CA
31.[2017年金华十校期末调研,10,☆☆☆】如图,在三棱柱A8C-A山Ci中,已知E、F是线段A所与C4上的动点,异面直线AB与C4所成角为6,记线段EF屮点M的轨迹为厶则IZJ等于(注:
ILI表示L的测度,在本题中,L为曲线、平面图形、空间几何体时,ILI分别对应长度、面积、体积).
A.Ml
B.JABi+C/\-Aq•CA
C.%即・IC4I•sineD.%•匕8cAsc(匕&
—向q是三棱柱ABC-A/Q的体积)
32.[2017年浙江省宁波市高考模拟考试,10,☆☆】如图,在二面角4一8。
一C中,
△AB。
、AC5o均是以8。
为斜边的等腰直角三角形,取AD的屮点E,将aABE沿8E翻
折到A48E,在A48E翻折的过程屮,下列不可能成立的是
人BC与平而A山七内某直线平行
C.与平而A山E内某直线平行
D.BCA.A1B
(第32题图)
Bx
33.[2017年浙江省绍兴市柯桥区高三第二学期教学质量检测,10,☆☆☆】已知异而直线丿(、,
2,点A是直线八上的一个定点,过小,2分别引相互垂直的两个平面8、仇设一(V,尸为点A在/上的射影,当。
、£
变化时,点尸的轨迹是.
4圆8.两条相交直线C.球面D抛物线
34.[2017年河北,&
☆☆☆☆】正方体ABC。
一A]8]C]0i中,设顶点A关于平面。
山。
和直线自。
的对称点分别为P、Q则直线尸。
与平面48。
所成角的正弦值为.
35.[2017年湖北,6,☆☆】如图,直三棱柱ABC—A山]G中,ZACB二90°
BC=CC\=2fAC=4尸是上一点,则CP+Rh的最小值为.
36.[2017年辽宁,&
☆☆☆】如图,P为立方体A8C0-A山的棱AB上的动点,则平面P。
丛与平面ADD.A,所成二面角的最小值为.
(第36题
图)
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