信号时频分析-讲义-WVDWord文件下载.doc
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400
300
200
100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.8
图2.1.1信号(2.1.3)的Wigner-Ville分布
例2.1.2
(2.1.4)
这是一个线性调频信号。
采样频率为500Hz,图2.1.2是其时域波形和频谱,图2.1.3是其Wigner-Ville分布,频率轴划分区间数为512。
频谱图显示该信号的频率范围在50Hz至150Hz之间,但却不能反映频率随时间的变化关系,而Wigner-Ville分布图则清楚表明该信号的频率是随时间呈线性增加,是个线性调频信号。
t/s
(a)时域波形
f/Hz
(b)频谱
幅值
图2.1.2信号(2.1.4)的时域波形和频谱
t/s
50
100
150
200
250
0
0.5
1
1.5
2
图2.1.3信号(2.1.4)的Wigner-Ville分布
基本性质
Wigner-Ville分布是一种最基本,也是应用最多的时频分布。
熟悉Wigner-Ville分布的数学性质对于全面了解该分布是十分必要的。
下面给出了Wigner-Ville分布的一些主要性质。
(1)实值特性Wigner-Ville分布总是实值的,即便信号是复数。
根据式(2.1.1),的共轭复数定义为
(2.2.1)
因此,是实值函数。
(2)时频边缘特性Wigner-Ville分布具备如下时频边缘特性。
(2.2.2)
(2.2.3)
很显然,
(2.2.4)
类似可证明边缘特性(2.2.3)。
在信号分析中,信号x(t)的瞬时功率定义为信号模值的平方|x(t)|2,类似地,信号在某一频率的能量强度叫做能量谱密度,它是信号傅立叶变换谱的平方|X(ω)|2。
因此,Wigner-Ville分布的边缘特性表明,该分布关于时间t和频率ω的积分分别给出了信号x(t)在t时刻的瞬时功率和在频率ω的能量谱密度。
(3)能量守恒Wigner-Ville分布是一种能量守恒的变换,这可由该变换的时频边缘特性很容易地给出证明。
(2.2.5)
(4)时移和频移不变性如果,则
(2.2.6)
将代入Wigner-Ville分布的定义中,可知新信号的Wigner-Ville分布可表示为
(2.2.7)
该性质表明,当信号在时间轴上移位一时间段时,它的整个Wigner-Ville分布也将相应地移位相同的时间量。
类似地,如果信号的频谱平移一固定的量,则其分布也将平移相同的量。
(5)时频伸缩相似性:
如果,则
(2.2.8)
这一性质显然应该成立,否则,如果把信号sin(4πt)(0<
t<
1)看作是经由尺度参数c=2对信号sin(2πt)(0<
2)进行压缩得到的信号,那么伸缩相似性的不成立将导致以下后果:
在二维时频面上,如果信号sin(2πt)的时频分布被正确地显示在1Hz处,那么信号sin(4πt)的时频分布将不会正确地出现在2Hz处。
类似地可推出,如果该时频伸缩相似性不成立,那么后续的有限支撑性质也不能满足。
(6)卷积性质如果信号y(t)是信号x(t)和h(t)的卷积,则y(t)的Wigner-Ville分布是x(t)和h(t)的Wigner-Ville分布的时域卷积,即如果,则
(2.2.9)
(7)乘积性质如果信号y(t)是信号x(t)和h(t)的乘积,则y(t)的Wigner-Ville分布是x(t)和h(t)的Wigner-Ville分布的频域卷积,即如果,则
(2.2.10)
(8)有限支撑性质如果信号x(t)是时域有限支撑的,则它的Wigner-Ville分布也具有同样的时域有限支撑,即如果,,则,。
类似地,如果信号x(t)是频域有限支撑的,则它的Wigner-Ville分布也具有同样的频域有限支撑。
(9)对线性调频信号分析的良好集中性Wigner-Ville分布可以精确地反映线性调频信号的频率信息,如,则
.(2.2.11)
交叉干扰项及其抑制
虽然Wigner-Ville分布具有很多优良的数学性质,遗憾的是,它却不满足可加性。
考虑信号
(2.3.1)
将它代入式(2.1.1)可知,信号x(t)的Wigner-Ville分布可写为
(2.3.2)
其中
(2.3.3)
(2.3.4)
这两项称为互Wigner-Ville分布,它们是复值的,并且可看出
(2.3.5)
因此,是实值的。
这样,式(2.3.2)可简写为
.(2.3.6)
由此可以看出,两个信号和的Wigner-Ville分布并不是简单的两个信号各自的Wigner-Ville分布之和,附加项通常称为交叉项。
通过Wigner-Ville分布的定义也可以直观地解释交叉项是怎么出现的。
正如前面所述,信号某时刻的Wigner-Ville分布是位于该点过去的信号等长度地乘以位于该点未来的信号,然后作傅立叶变换。
因此,只要该点的右边部分和左边部分存在重叠,则即使信号在该点的值为零,该点的Wigner-Ville分布也是非零的。
如图2.3.1所示,显然位于t1和t2之间的点的Wigner-Ville分布不会为零,这些非零点就是交叉项在时域的体现。
这是在时域的示意,在频域同样如此。
x1
x2
t1
t2
图2.3.1交叉项的示例信号
为了更好地说明交叉项,下面给出三个典型信号的Wigner-Ville分布。
例2.3.1该信号的时域波形如图2.3.1所示,其中x1(t)和x2(t)都是频率为20Hz的正弦信号,t1=2秒,t2=5秒。
图2.3.2给出了该信号的Wigner-Ville分布,可清楚看到中间部分出现了交叉项。
交叉项
10
20
30
40
50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
6
0
图2.3.2例2.3.1信号的Wigner-Ville分布(频率轴划分区间数为512)
例2.3.2分析信号()。
图2.3.3给出了该信号的Wigner-Ville分布,可清楚看到在25Hz处出现了交叉项。
用式(2.1.2),这很容易解释,因为只有当=25Hz时,和才会有非零重叠项。
50
40
30
20
10
1.0
1.2
012345
图2.3.3例2.3.2信号的Wigner-Ville分布(频率轴划分区间数为512)
例2.3.3分析信号
(2.3.7)
图2.3.4给出了该信号的Wigner-Ville分布,可以清楚地看到,该信号的Wigner-Ville分布在时间轴方向和频率轴方向都出现了交叉项。
0.1
0.3
0.5
0.7
0246
图2.3.4例2.3.3信号的Wigner-Ville分布(频率轴划分区间数为512)
由上面三个算例可以看出,Wigner-Ville分布的交叉项出现有一定的规律,对简单信号来说,比较容易辨认出图中哪些分量是信号的真实成份,哪些分量是无意义的交叉项。
但在实际应用中,信号一般都比较复杂,如果没有一些先验知识,则很难区分出哪些是真实成份,哪些是交叉项。
另外,交叉项有一个很重要的特性,它们的和为零,即
(2.3.8)
这通过Wigner-Ville分布的边缘特性可以很容易地证明。
很明显,如果交叉项的和是非零的,则在算例1中,对中间部分
,()(2.3.9)
类似地,如果交叉项的和非零,则在算例2中,在ω=25Hz处,
,(2.3.10)
图2.3.5给出了例2.3.2信号的Wigner-Ville分布三维效果图,可以看出交叉项对称地出现了正负值。
-2
-1
2
-0.5
图2.3.5例2.3.2信号的Wigner-Ville分布三维效果图
类似Wigner-Ville分布的有限支撑性质,互Wigner-Ville分布也具有有限支撑性质,性质如下:
在时域,如果在时间区间(t1,t2)外都为零,在时间区间(t3,t4)外都为零,则在时间区间外,都为零。
类似地,在频域,如果在频率区间外都为零,在频率区间外都为零,则在频率区间外,都为零。
互Wigner-Ville分布的有限支撑性质也同样适用于交叉项。
交叉项使Wigner-Ville分布在时频域表现出一些和原信号的物理性质相矛盾的结果,从而误导分析。
因此如何抑制交叉项是一个值得认真考虑的问题,也是一个挑战性的问题,至今还没有完美的解决方法。
下面将简单介绍一种非常基本的,也是现在常用的方法。
考虑到Wigner-Ville分布是一种高度非局部变换,在计算信号任一时刻的Wigner-Ville分布时,都要利用信号该时刻过去和未来的数据,并且这些数据在计算中所起的作用都是一样的。
一种自然的想法就是对信号进行加窗处理,突出式(2.1.1)中位于附近的信号特征,而抑制远处的信号的特征,这样计算得到的Wigner-Ville分布就能够比较正确地表示信号在该点的物理性质。
时域加窗后的Wigner-Ville分布也称为伪Wigner-Ville分布,它的定义如下:
(2.3.11)
其中是窗函数,常用的窗函数是Gauss函数
(2.3.12)
加窗后,只有当信号某点的右边部分和左边部分在窗内存在重叠部分,该点的Wigner-Ville分布才非零,因此伪Wigner-Ville分布可以很好地抑制在时间轴方向的交叉项,并且,通过控制窗函数的宽度,可以调节交叉项的抑制程度。
Gauss窗函数宽度由参数α调节。
另外,容易推导出,双正弦信号的伪Wigner-Ville分布是
.(2.3.13)
可以看出,如果α的值变小,交叉项会相应地变小,但信号的真实分量也会变小,而且它们随α变小的速率差不多,因此伪Wigner-Ville分布对频率轴方向的交叉项抑制效果不是很明显。
图2.3.6(a),(b)给出了信号(2.3.7)的伪Wigner-Ville分布,窗函数为Gauss函数。
其中图(a)中α=3,对应的窗函数宽度比较窄。
图(b)中α=1,对应的窗函数宽度比较宽。
可以看出在图(a)中,时间轴方向的交叉项基本上消失了,但在图(b)中,交叉项仍然存在。
另外,在两个图中,频率轴方向的交叉项仍然存在,并没有得到很好的抑制,这证实了伪Wigner-Ville分布对频率轴方向的交叉项抑制效果并不好。
伪Wigner-Ville分布
10
20
30
40
50
0246
(a)α=3(b)α=1
图2.3.6信号(2.3.7)的伪Wigner-Ville分布(频率轴划分区间数为512)
通过在时间轴方向加窗,伪Wigner-Ville分布很好地抑制了时间轴方向的交叉项。
自然而然地,人们想到可以通过在频率轴方向加窗来抑制频率轴方向的交叉项。
如果同时在频率轴方向和时间轴方向加窗,就可以同时抑制两个方向的交叉项,这种两个方向加窗处理的Wigner-Ville分布称为平滑伪Wigner-Ville分布,定义如下:
.(2.3.14)
其中是用来在频率轴方向做平滑的窗函数。
显然如果,则平滑伪Wigner-Ville分布退化为伪Wigner-Ville分布。
同样g(t)也可以使用Gauss函数。
图2.3.7给出了信号(2.3.7)的平滑伪Wigner-Ville分布(频率轴划分区间数为512,其余参数为默认参数),可以看出时间轴和频率轴方向的交叉项都得到了很好的抑制。
值得说明的是,虽然伪Wigner-Ville分布和平滑伪Wigner-Ville分布能够一定程度上有效地抑制交叉项,改善结果的可读性,但它们都损失了Wigner-Ville分布本身所具有的一些优良的数学特性,如它的边缘特性。
平滑伪Wigner-Ville分布
0246
图2.3.7信号(2.3.7)的平滑伪Wigner-Ville分布(频率轴划分区间数为512)
参考文献
[1]张贤达,保铮,非平稳信号分析与处理,国防工业出版社,北京,2001.
[2]CohenLeon,TimeFrequencyAnalysis,PrenticeHall,HunterCollege,NewYork,1995
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- 信号 分析 讲义 WVD