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请你先观察,再度量.
【分析】让两个角的顶点及一边重合,另一条边落在第一条边的同旁.若另一条边重合,则两角相等,若另一条边落在已知角的内(或外)部,则比已知角小(或大).
【解】∠AOB=∠A′O′B′
【规律·
方法】角的大小只与开口的大小有关,而与角的边画出部分的长短无关.我们不可以臆断。
知识点2 命题的证明(重、难点)
(知识详解)与图形有关的命题证明的四个步骤是:
(1)仔细读题,领会题意,分清题设与结论;
(2)根据题意,画出正确图形,并在图上标注字母和符号;
(3)结合图形,用符号语言分别把题设和结论写在“已知”、“求证”后面;
(4)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.其中
(1)
(2)两步,是正确解题的关键,如果题意不理解,图形画得不正确,或把一般图形画成特殊图形,那么第(4)步就无法进行或导致错误。
也可简单地说成:
画图,写已知、求证,证明.
【探究交流】获取证明思路的方法常有哪些?
【点拔】获取证明思路的方法有三种:
1、从已知条件出发,结合图形,根据前面学过的定义、基本事实、定理、公式逐步推理求证的结论,叫做“综合法”.
2、从结论出发,去探求其成立的原因,直到与已知条件相吻合为止,这种方法叫“分析法”.
3、“两头凑”,我们在解决问题时,常常是将这上面两种方法结合起来用.
说明:
证明过程一般都是按综合法书写的,证明一般是由多个推理衔接而成的推理长链.随着学习的深入,某些推理书写过程可以简化,一些简单的理由不必标注.
【例2】如图,已知AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1,求证:
AD平分∠BAC.
【分析】先利用同位角相等,两直线平行求出AD∥EG,再利用平行线的性质求出∠1=∠2,∠E=∠3和已知条件等量代换求出∠2=∠3即可证明.
【解】∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G(已知),
∴∠ADC=∠EGC=90°
(垂直的定义),∴AD∥EG(同位角相等,两直线平行),
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等),∠E=∠3(两直线平行,同位角相等),
又∵∠E=∠1(已知),∴∠2=∠3(等量代换),∴AD平分∠BAC(角平分线的定义).
【解题策略】正确识别三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
知识点3三角形内角和定理及其推论
(知识详解)三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°
.
三角形内角和定理的推论:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
【知识拓展】由一个定理直接推出的正确结论,叫做这个定理的推论.它和定理一样,可以作为进一步证明的依据.
【规律方法小结】
(1)已知外角和它不相邻的两个内角中的任意两个可求“另一个”.
(2)利用推论可证一个角为另两个角的和.
(3)利用三角形的内角和定理作为中间关系式证明两个角相等.
(4)可以证明两角的不等关系.
【例3】
(2012内蒙古呼和浩特,13,3分)如图,在
中,
,三角形的外角
和
的平分线交于点E,则
.
【分析】先根据三角形内角和为180度得到另外两个角的和,再利用外角及角平分线的定义得到答案.
【解】因为
,所以∠BAC+∠BCA=180°
-47°
=134°
,所以∠DAC+∠ACF=360°
-134°
=227°
,又因为AE、CE分别平分∠DAC、∠ACF,所以∠DAE+∠ACE=113.5°
,所以∠AEC=180°
-113.5°
=66.5°
,故答案为66.5°
【解题策略】掌握内角和定理及角平分线的定义是关键.
3.典例剖析
基本知识题
类型1通过观察、猜想、实验、操作作出判断
【例4】如图,下面图①中的四边形是正方形吗?
图②中的两条直线a、b平行吗?
说说你的看法,如何验证你的结论?
图①图②
【分析】直觉看上去图①中的四边形不是正方形,图②中的两条直线a、b不平行.这是因为图①中受同心圆的影响,容易把四边形的边看成是弯曲的;
图②中的两条直线受发散射线的影响,看上去也是弯曲的.但用直尺放在上面验证后发现,这些线条都是直的.
【解】图①中的四边形是正方形;
图②中的两条直线a、b平行.可以用直尺验证.
方法】俗话说“眼见为实”,可见直观是非常重要的,在我们日常生活中,经常通过眼睛去观察.但是,单纯用眼睛去观察,容易受到客观条件的制约.所以眼见不一定为实,还需要去检验.
类型2 通过计算作出判断
【例5】图中有两个三角形,你感觉它们哪一个的面积大?
实际算一算,看看结果又如何?
【分析】感觉上面一个三角形的面积大,再运用格点来计算面积,可得结果。
【解】上面一个三角形的面积为2×
3÷
2=3,下面一个三角形的面积为1×
6÷
2=3,所以它们一样大。
【解题策略】根据题目特点,进行正确计算。
类型3 补充推理理由
【例6】完成下面的证明过程:
已知:
如图11.3—5,∠1和∠D互余,∠C和∠D互余.求证:
AB∥CD.
证明:
因为∠1和∠D互余(),
所以∠1+∠D=90°
().
因为∠C+∠D互余(已知),
所以∠C+∠D=90°
(),
所以∠1=∠C(),
所以AB∥CD().
【分析】由“∠1和∠D互余,∠C和∠D互余”可利用同角的余角相等,得出∠1=∠C.再由内错角相等,两直线平行得出AB∥CD.
【解】已知;
互为余角的定义;
同角的余角相等;
内错角相等,两直线平行.
【解题策略】结合图形联系推理的前后过程写出理由.
类型4 证明文字性证明题
【例7】求证:
直角三角形的两个锐角互余.
【分析】分析这个命题的条件和结论,根据已知条件和结论画出图形,写出已知,求证,并写出证明过程.
【解】已知:
如图,在△ABC中,∠C=90°
.求证:
∠A与∠B互余.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
(三角形内角和等于180°
),
又 ∠C=90°
,
∴ ∠A+∠B=180°
-∠C=90°
.(等量代换)
∴ ∠A与∠B互余(互余定义).
方法】涉及到三角形中角的角度类的,常结合三角形的同角和为180°
这个知识点。
综合应用题
类型5 运用三角形的内角和解题
【例8】证明:
三角形中两内角平分线夹角度数可总结成一个公式:
两内角平分线夹角的锐角=90°
+
×
顶角。
【分析】先按题意写出已知、求证,再用三角形的内角和来推导。
【解】已知;
如图,已知在△ABC中,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D.求证:
∠D=90°
∠A.
【解】∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB.
∴∠1=
∠ABC,∠2=
∠ACB.
∴∠1+∠2=
(∠ABC+∠ACB).
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
,∴∠ABC+∠ACB=180°
-∠A.
∵∠D+∠1+∠2=180°
∴∠D=180°
-∠1-∠2=180°
-
(180°
-∠A)=90°
∠A
【解题策略】本题要求∠BDC的度数,可将∠BDC置于△BDC中,转而∠1+∠2的度数,由于BD和CD是角平分线,∠1、∠2分别是∠ABC、∠ACB的一半,因此求∠1+∠2就转化为求∠ABC+∠ABC的度数.
类型6 用外角与内角关系转化
【例9】如图,∠C=48°
,∠E=25°
,∠BDF=140°
,求∠A与∠EFD的度数。
【分析】本题可用三角形内角和定理来做,但用由于∠BDF是△BCD和△DEF的外角,因此本题利用外角的性质进行计算更加直接.
【解】∵∠BDF=∠C+∠CBD,∠C=48°
,∴∠CBD=92°
∵∠CBD=∠A+∠E,∠E=25°
,∴∠A=67°
,∠EFD=∠A+∠C=115°
【解题策略】巧用外角转化。
类型7 实际运用
【例10】一个零件的形状如图,按规定,∠CAB应等于90°
,∠C、∠B应分别等于20°
和300.李师傅量得∠CDB=142°
,就断定了这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?
【分析】延长BD交AC于E,再用三角形的内角和来推导。
【解】延长BD交AC于E,则∠CDB=∠C+∠CED;
又∠CED=∠CAB+∠B,所以∠CDB=∠C+∠CAB+∠B=140°
.
而实际测量∠CDB=142°
,所以可以断定这个零件不合格.
方法】解形如图的图形的角度计算问题时,我们常常通过延长某条线段将改图形分割成两个三角形,运用三角形内角和定理解决.
(2)从本题的解法可以总结出这样一个规律:
∠CDB=∠C+∠CAB+∠B.
探索与创新
类型8(开放题)
【例11】如图所示,请写出能判定CE∥AB的一个条件.
【分析】本题答案不惟一,如因为CE、AB被AD所截,可由∠DCE=∠A,根据“同位角相等,两直线平行”可得CE∥AB;
也可由∠A+∠ACE=1800,根据“同旁内角互补,两直线平行”得到CE∥AB;
又因为CE、AB被BC所截,可由∠ECB=∠B,根据“内错角相等,两直线平行”得到CE∥AB.
【解】答案不唯一,如∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180º
【解题策略】从平行线的判定方法入手。
类型9(借助辅助线,进行探究)
【例12】如图,CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠BCD=124°
,∠DEF=80°
(1)观察直线AB与直线DE的位置关系,你能得出什么结论并说明理由;
(2)试求∠AFE的度数.
【分析】
(1)先延长AF、DE相交于点G,根据两直线平行同旁内角互补可得∠CDE+∠G=180°
.又已知∠CDE=∠BAF,等量代换可得∠BAF+∠G=180°
,根据同旁内角互补,两直线平行得AB∥DE;
(2)先延长BC、ED相交于点H,由垂直的定义得∠B=90°
,再由两直线平行,同旁内角互补可得∠H+∠B=180°
,所以∠H=90°
,最后可结合图形,根据邻补角的定义求得∠AFE的度数.
【解】
(1)AB∥DE.
理由如下:
延长AF、DE相交于点G,
∵CD∥AF,
∴∠CDE+∠G=180°
∵∠CDE=∠BAF,
∴∠BAF+∠G=180°
∴AB∥DE;
(2)延长BC、ED相交于点H.
∵AB⊥BC,
∴∠B=90°
∵AB∥DE,
∴∠H+∠B=180°
∴∠H=90°
∵∠BCD=124°
∴∠DCH=56°
∴∠CDH=34°
∴∠G=∠CDH=34°
∵∠DEF=80°
∴∠EFG=80°
﹣34°
=46°
∴∠AFE=180°
﹣∠EFG=180°
﹣46°
=134°
【解题策略】注意添加平行线,再运用平行线的性质和判定定理的综合运用.
4.易错疑难辨析
一、易错点 循环论证
【例1】已知:
如图,AB//CD,MG、HN分别为EGA、EHC的平分线,
求证:
GM//HN
【正解】∵AB∥CD,∴EGA=EHC
又∴MG、HN分别为EGA、EHC的平分线,
∴MGE=NHE
∴GM//HN(同位角相等两直线平行)
【错解】∵AB∥CD,∴EGA=EHC
∴MGA=NHC
【易错辨析】上述证法把MGA、NHC当成GM、NH被EF所截得的同位角而得出结论,显然是犯了偷换概念的错误.这样证法不严谨。
二、疑难点不能灵活运用三角形的内角和及其推论。
【例3】如图,求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
【正解】由图知∠A+∠F=∠OQA,∠B+∠C=∠QPC,∠D+∠E=∠EOP.
而∠OQA、∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角.
∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°
【疑难辨析】这是一个不规则的图形,所以不能直接求出其度数和,应用三角形的外角定理来解决.在求一个不规则图形的度数和时,利用外角进行巧妙的转化成内角和或是已知度数是成功的关键.
5.中考解读
中考考点透解读
中考中本节主要考查运用定义、定理证明问题的过程,在中考题中以证明题的形式出现,一般占3~7分,因此同学们在复习时应注意认真理解概念,分清题目的条件和结论,正确的写出证明过程.
中考真题剖析
【例1】
(2012浙江温州,8,4分)下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是()
A.
B.
C.
D.
【分析】可以采用代入验证法.
【解】选项A,
满足a2>1,但不满足a>1,故命题A就是原命题是假命题的反例;
选项B,
不满足原命题的题设a2>1,故命题B不会是反例;
选项C,
不满足原命题的题设a2>1,故命题C不会是反例;
命题D,把
代入命题“若a2>1,则a>1”的题设和结论都成立,故不是反例.故选A.
方法】假命题的反例的判断一般采用代入验证,并用排除法配合解答.
【例2】
(2012莆田,11,4分)将一副三角尺按如图所示放置,则
1= 度.
【分析】如图,∠1是△ADC的外角,由三角形的外角与不相邻的两个内角的关系即可求出
1.
1=
C+
DAC=60°
+(90°
-45°
)=105°
【解题策略】解决此题,首先要了解三角尺的三个内角的度数,然后根据三角形的任意一个外角都等于与它不相邻的两个内角和进行计算.
(2012浙江湖州,14,4).如图,在△ABC这个,D、E分别是AB、AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=46°
,∠1=52°
,则∠2=________度.
【分析】易知∠2=∠B+∠A;
通过平行线的性质证明∠B=∠1即可得出∠2=∠A+∠1.
【解】∵DE∥BC∴∠1=∠B;
∵∠2=∠B+∠A;
∴∠2=∠1+∠A=46°
+52°
=98°
.
方法】当求一个角的度数时,我们可以利用这个角是三角形的内角或是三角形的外角来求.
6.课堂小结
1.知识结构及要点小结
2.解题方法及技巧小结
学会运用综合法、分析法,根据已知、定义、公理、定理,进行几何证明。
8.自我评价
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是()
A.只需观察得出B.只需依靠经验获得C.通过亲自实验得出D.必须进行有根据地推理
2.如图给出下面的推理:
①因为∠B=∠BEF,所以AB∥EF;
②因为∠B=∠CDE,所以AB∥CD;
③因为∠DCE+∠AEF=180°
,所以AB∥EF;
④因为∠A+∠AEF=180°
,所以AB∥EF.
其中正确的推理是()
3.(2012辽宁抚顺,15,3分)已知一副三角板如图
(1)摆放,其中两条斜边互相平行,则图
(2)中∠1=.
4.证明“同角的补角相等”
5.已知某品牌遮阳伞如图1所示,图2是其剖面图,若AG同时平分∠BAC与∠EDF,且∠BAC=∠EDF,请在下面括号内填写理由.
解:
∵AG同时平分∠BAC与∠EDF( )
∴∠DAC=
∠BAC
∠GDF=
∠EDF( )
又∵∠BAC=∠EDF( )
∴∠DAC=∠GDF( )
∴AC∥DF( )
6.如图,P是△ABC内一点,你能判断∠BPC和∠A的大小吗?
为什么?
7.老师出了如下题目:
比较nn+1与(n+1)n的大小.有些同学经过计算发现:
当n=1,2时,有nn+1<
(n+1)n,于是认为命题“如果n为任意自然数,则nn+1<
(n+1)n为真命题,你认为他们的判断正确吗?
说说你的理由.
8.如图,△ABC的三条角平分线交于点O,过O作OE⊥BC于E,求证:
∠BOD=∠COE
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