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(d)一般(非卷积型)Calderon-Zygmund算子
4.Hardy空间与BMO空间
(a)原子Hardy空间
(b)BMO空间
5.Littewood-Paley理论与乘子
(a)Littewood-Paley理论
(b)Hö
rmander乘子定理
泛函分析(50分)
1.Banach空间和Hilbert空间的基本理论及典型例子
2.Banach空间和Hilbert空间上有界线性泛函和线性算子基本理论
3.紧算子
(a)Riesz-Fredholm理论
(b)紧算子的基本性质,谱理论
(c)对称紧算子
(d)有界自伴算子的谱分解
(e)闭算子的理论
(f)自伴扩张
(g)无界自伴算子的扰动
4.算子半群
(a)Hille-Yosida定理
(b)单参数算子酉群的Stone定理
参考书目:
【1】Ahlfors:
ComplexAnalysis.McGraw-HillBookCompany
【2】伍鸿熙等:
紧Riemann曲面引论科学出版社
【3】J.Duoandikoetxea,Fourieranalysis,Amer.Math.Soc.;
【4】程民德,邓东皋,龙瑞麟编著,实分析,高等教育出版社.
【5】张恭庆,林源渠等:
泛函分析讲义上,下册
【6】Yosida:
FunctionalAnalysisSpringer-Verlag;
)
二.代数学(100分)
群
1群,子群,正规子群,商群;
同态与同构,同态定理与同构定理.
2.群例:
循环群,二面体群,四元数群,置换群,线性群,$A_n$,$S_n$.
3.自由群,生成元与定义关系.
4.群在集合上的作用;
Sylow定理和群.
5.Jordan-Holder定理,直积分解定理.
6.可解群.
7.算子群.
8.特殊射影线性群的单性.
9.空间上的型与典型群.
10.辛群.
环
1.环,子环,理想,商环;
2.环的直和.
3.素理想和极大理想,幂零根和Jacobson根.
4.环的整除性理论,唯一分解环,主理想整环,欧几里得环.
5.整环的分式域.
6.交换环上的多项式环,Gauss引理.
7.形式幂级数环.
8.四元数体.
域
1.有限扩张,扩张次数乘积公式.
2.多项式的分裂域,正规扩张.
3.可分扩张.
4.单扩张定理.
5.Galois基本定理,简单的Galois扩张.
6.用根式解方程的判别准则.
7.有限域.
模
1.模,子模,商模;
模同态与同构,模同态定理与同构定理.
2.模的自同态环.
3.模的直和与直积.
4.自由模.
5.主理想整环上的有限生成模的结构定理.
6.Nakayama引理.
7.模的张量积.
8.同态函子和张量函子
9.整性相关.
结合代数和有限群的表示论
1.代数和模.
2.不可约模和完全可约模.
3.半单代数的结构.
4.群的表示、特征标、正交关系、特征标表.
初等数论
1.算术基本定理
2.数论函数
3.孙子定理
4.二次互反律
5.连分数
6.Pell方程
参考书目
【1】聂灵沼,丁石孙,《代数学引论》,高等教育出版社,2000.
【2】徐明曜,赵春来,《抽象代数(II)》,,北京大学出版社
【3】N.Jacobson:
BasicAlgebra1,2ndEditionW.H.Freeman&
Company1974
【4】柯斯特利金:
代数学引论(第一卷)高等教育出版社
【5】潘承洞,潘承彪:
初等数论,第二版,北京大学出版社,2004
三.几何与拓扑(100分,其中几何与拓扑各50分)
1.代数拓扑
a)基本群与覆叠空间
b)曲面的分类
c)同调与上同调的理论、计算、常见例子和应用
d)同伦群及其基本性质
2.微分流形
a)微分流形的概念
b)切丛与向量丛
c)横截性理论
d)微分形式,Stokes定理,deRham上同调
3.微分几何
a)联络和曲率的基本概念
b)Riemann几何的基本理论
c)紧曲面上的Gauss-Bonnet公式
【1】尤承业著,《基础拓扑学讲义》。
北京大学出版社,1997.
【2】姜伯驹著,《同调论》。
北京大学出版社,2006.
【3】陈省身、陈维桓著,《微分几何讲义》(第二版)。
北京大学出版社,2001年。
(第1章到第七章,附录一)
【4】AllenHatcher,AlgebraicTopology.CambridgeUniv.Press,2002.(略去占其一半篇幅的AdditionalTopics部分)
【5】VictorGuillemin,AlanPollack,DifferentialTopology.Prentice-Hall,1974.
【6】TheodorBrocker,KlausJanich,IntroductiontoDifferentialTopology.CambridgeUniv.Press,1982.
【7】陈维桓李兴校《黎曼几何引论》(上)(第一到第六章)。
四.微分方程(100分,常微偏微各50分)
常微分方程定性理论:
线性方程(组)的解法,首次积分,幂级数解法,解的存在和唯一性定理,解的延拓
和对参数及初值的依赖性,奇解与包络,边值问题,平面奇点分类与极限环,李雅普诺夫第二方法,Hopf分支,二维周期系统的调和解,拟线性系统,耗散系统,Duffing方程,环面上的常微系统,旋转数,极限点集,各态历经
偏微分方程:
1.数学物理方程
位势方程:
基本解和Green函数,极值原理和最大模估计。
热方程:
Fourier变换方法,分离变量法,极值原理和最大模估计。
波动方程:
特征线法,分离变量法,能量不等式。
2.二阶椭圆型方程
广义函数理论和Fourier变换基本理论
Sobolev嵌入定理,
理论(解的存在唯一性)。
Schauder估计的结论及应用。
估计的结论及应用。
参考书目:
【1】丁同仁,李承治:
《常微分方程》;
【2】张芷芬等,《微分方程定性理论》第6、7章;
【3】姜礼尚等,《数学物理方程讲义》;
【4】陈亚浙,吴兰成,《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》
【5】D.Gilbarg,N.S.Trudinger:
EllipticPartialDifferentialEquationsofSecondOrder(Part1Linearequations),Springer世界图书出版公司。
【6】Hormander:
Theanalysisoflinearpartialdifferentialoperators(第一卷),Springer-Verlag,1983.
五:
概率论(100分)
《概率论》博士生资格考试涵盖了研究生课程《高等概率论》和《随机过程论》,前者以本科生课程《测度论》为基础,后者是本科生课程《应用随机过程》的后续课,因此随机过程部分也包含难度较低的《应用随机过程》的内容。
一、测度论
σ域,λ-π方法
积分的性质,Levy单调收敛定理,Fatou引理,Lebesgue控制收敛定理,积分的绝对连续性
条件期望,Radon-Nikodym导数,条件概率,正则条件概率
乘积空间,Kolmogorov延拓定理Fubini定理
随机变量四种收敛的定义及其相互关系
二、概率论
概率空间,随机变量的独立性
欧氏空间的测度性质,弱收敛
弱大数定律,Chebyshev不等式
强大数定律,
Borel-Cantelli引理随机变量级数的收敛,Kolmogorov三级数定理
中心极限定理,Lindeberg-Feller定理
Fourier变换,特征函数,逆转公式,Poisson收敛定理
条件独立尾事件,Kolmogorov0-1律,可交换序列
三、随机过程
σ域流,停时,Wald引理
鞅、上鞅、下鞅(离散时间),Doob不等式,一致可积,停时定理,Doob分解
马氏链(离散状态,离散时间或连续时间),一些特例(如随机游动),常返与非常返,平稳分布,渐近行为与收敛速度,可逆性与可逆分布
宽平稳过程与严平稳过程,Birkhoff遍历定理,
布朗运动的定义及其构造,强马氏性,转移概率,热核
OU过程,生成元与马氏半群初步
随机微分方程初步
【1】RickDurrett,Probability:
TheoryandExamples,ThirdEdition,世界图书出版社2007
【2】程士宏:
《程度论与概率论基础》北京大学出版社,2004
【3】钱敏平龚光鲁:
《随机过程论》第二版,北京大学出版社,1997年
【4】KaiLaiChung,ACourseinProbabilityTheory,2ndedition,AcademicPress1974
六计算方法(100分)
(三门中选二)
数值代数(50分)
1.基础知识
向量范数和矩阵范数,Schur分解定理,奇异值分解定理,非负矩阵的Perron-Frobenius定理,Hermite矩阵的极小、极大定理。
2.线性方程组的直接解法
Gauss消去法,Cholesky分解法,对称不定线性方程组的直接解法,线性方程组的条件数,条件数的估计和迭代改进。
3.线性方程组的古典迭代法
Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法,SOR迭代法,SSOR迭代法,收敛性分析(H矩阵和正定矩阵),多项式加速(Chebyshev加速)。
4.求解线性方程组的Krylov子空间法
共轭梯度法的基本性质,共轭梯度法的收敛性分析,预优共轭梯度法,Lanczos方法,广义极小剩余法。
【1】.“数值线性代数”,徐树方,高立,张平文编;
【2】.“矩阵计算的理论与方法”,徐树方编著。
差分方法(50分)
一.一般理论
1.差分格式的构造方法;
2.差分格式的局部截断误差及其相容性;
3.差分格式的收敛性;
4.差分格式的稳定性及vonNeumann条件;
5.Lax等价定理;
二.一阶双曲型方程的差分方法
1.CFL条件;
2.单个方程的迎风格式、Lax-Friedrichs格式、Lax-Wendroff格式;
3.双曲型方程组的特征分解及其CIR迎风格式;
4.间断解的计算;
(5)
三.非线性双曲型守恒律初值问题的差分方法
1.守恒形格式及Lax-Wendroff定理;
2.离散熵条件;
3.Godunov格式;
4.单个方程差分格式的非线性稳定性;
5.单调格式与TVD、TVB格式;
6.半离散有限差分与有限体积格式;
【1】“NumericalMethodsforConservationLaws”,R.LeVeque;
【2】“偏微分方程初值问题差分方法”,胡祖炽,雷功炎著
有限元方法(50分)
1.椭圆边值问题的弱解;
Lax-Milgram引理;
2.Ritz方法和Galerkin方法;
有限元解的提法;
3.有限元方法的要素;
4.有限元和有限元空间的基本定义与基本例子;
有限元仿射族;
5.有限元解的抽象误差估计;
Cé
a引理;
Strang引理(1,2);
Bramble-Hilbert引理;
6.插值函数的误差估计、Sobolev空间的插值理论;
7.椭圆边值问题有限元解的收敛性与误差估计;
8.Aubin-Nitsche引理,L2-模误差估计;
9.反估计不等式。
【1】.《有限元方法讲义》,应隆安,北京大学出版社,1988;
【2】.《TheFiniteElementMethodforEllipticProblems》,P.G.Ciarlet
(6)
七高等统计学(100分)
一.充分统计量
1.充分统计量的定义与判别法;
2.完全性;
3.指数族分布中统计量的完全性;
4.统计判决问题和充分统计量的优良性;
二.假设检验
1.一般概验;
2.简单假设检验问题、N-P引理;
3.关于单调似然比族的检验问题;
4.最不利的分布;
5.一致最优无偏检验;
6.带讨厌参数的指数分布族的参数的UMPU检验问题;
7.不变检验;
三.估计
1.引言;
2.无偏估计;
3.信息不等式;
4.同变估计(位置参数);
5.同变估计(一般情况);
6.风险无偏性;
四.估计的大样本性质
1.相合性;
2.渐近正态性;
3.估计序列的大样本比较;
4.渐近有效性;
5.局部渐近正态性;
6.样本中位数;
7.L-估计;
8.M-估计和R-估计
【1】郑忠国,《高等统计学》,北京大学出版社,1998
【2】茆诗松,王静龙,濮晓龙,《高等数理统计》第二版,高等教育出版社,2006
【3】陈希孺,《数理统计引论》,科学出版社,1997
八算法和数据结构
本门考试内容包括算法设计与分析、数据结构和计算复杂性基础。
具体内容包括:
一、算法基础
1,算法的复杂性类:
1)O
(1),O(logn),O(n),O(nlogn),O(n2),O(n3),O(2n)等等
2)复杂性的基本分析技术
3)复杂性的基本概念:
渐进复杂性,平均复杂性,最坏情况复杂性,复杂性上界和下界,分期偿还型(amortized)复杂性
2,算法设计技术:
1)贪心算法(greedyalgorithms)
2)分治法(divideandconquer)
3)动态规划(dynamicprogramming)
4)周游和回溯法(traversalandbacktrack)
5)分支限界法(branchandbound)
3,经典算法
1)排序(sort)和检索(search)算法及其数据结构支持
2)重要图算法:
图遍历,拓扑排序,最小生成树,最短路径(单出发点和任意点之间),强连通子图,关键路径,网络最大流等
3)线性规划(linearprogramming)
4)串匹配算法
4,其他算法的概念
1)并行算法
2)概率算法
二、数据结构
1,数据结构和实现,抽象数据类型
2,基本操作的复杂性
3,线性表(连续表和连接表)
4,栈与队列,性质和应用
5,二叉树和树的实现,递归和非递归的遍历算法
6,堆和优先队列
7,字典的各种表示和实现技术,检索等操作的复杂性分析:
线性结构,散列表[哈希表],二叉树排序,平衡二叉树,红黑树,B树和B+树等
8,图的数据结构表示
9,其他常用数据结构
10,数据结构设计和性质分析
三、计算复杂性基础
1,问题的复杂性
2,复杂性分层
3,问题类(P和NP问题类)
4,多项式归约(polynomial-timereducibility)
5,Cook定理
6,NP完全性问题
考试中如果要求写出算法的伪代码描述,回答中必须给出算法的严格描述;
如要求用某种编程语言定义数据结构和写出算法的程序实现,回答中可以用Pascal/C/C++/Java语言描述。
请注明所用语言,回答中超出语言规定的东西必须给出清晰的说明。
参考书目(最后两本参考书只需参考其中有关计算复杂性的部分):
【1】《计算机算法基础》(第3版),余祥宣,崔国华,邹海明,华中科技大学出版社,2006年4月
【2】《IntroductiontoAlgorithm》(2ndEdition),ThomasH.Cormen,CharlesE.Leiserson,RonaldL.Rivest,andCliffordStein,MITPress,影印版,高等教育出版社,2002
【3】《算法与数据结构—C语言描述》,张乃孝,高等教育出版社,2002
【4】《数据结构》,严慰敏,清华大学出版社
【5】《计算理论导引》,MichaelSipser,PWS1997。
中文版,机械工业出版社,2000
【6】《可计算性与计算复杂性导引》,张立昂,北京大学出版社,1996
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