第四章系统的频率特性分析机械工程控制基础教案Word格式.docx
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定义:
系统对正弦(或余弦)信号的稳态响应。
输入:
xi(t)=Xisinωt
输出:
包括两部分:
瞬态响应:
非正弦函数,且t→∞时,瞬态响应为零。
稳态响应:
与输入信号同频率的波形,仍为正弦波,但振幅和相位发生变化。
fig4.1.1
讨论:
a)频率响应仅是时间响应的特例;
b)频率响应反映系统的动态特性:
输出随ω变化(非t);
c)为何选简谐信号为输入?
原因:
工程上绝大多数
周期信号可用F变换展开成叠加的离散谐波信号;
非周期信号可用F变换展开成叠加的连续谐波信号。
→用正弦信号作输入合理。
2、频率特性G(jω):
(为幅频特性和相频特性的总称)
定义:
频域中,系统的输入量与输出量之比。
讨论:
①G(jω)是复数,可写成:
G(jω)=u(ω)+jv(ω)=∣G(jω)∣ejφ(ω)=A(ω)∠Ф(ω)
u(ω):
为G(jω)的实部
→实频特性;
v(ω):
为G(jω)的虚部
→虚频特性。
幅频特性∣G(jω)∣:
输出量的振幅与输入量的振幅之比。
∣G(jω)∣反映输入在不同ω下,幅值衰减或增大的特性。
∣G(jω)∣是G(jω)模:
相频特性∠Ф(ω):
输出量的相位与输入量的相位之差。
Ф(ω)=∠Ф(ω)=[ωt+∠G(ω)]-ωt
a)
∠G(ω)反映频率特性的幅角;
b)
符号:
Ф(ω)逆时针方向为正;
系统Ф(ω)一般为负。
原因:
系统输出一般滞后。
结论:
频率响应实际上可由频率特性描述,而频率特性可由幅频特性和相频特性表达。
三、频率特性获取:
1、L逆变换:
因为X0(s)=G(s)Xi(s)
若xi(t)=Xisinωt
(例)
2、用jω替代s:
求出G(s)后,用jω替代s即可。
(证明,例)
3、实验方法:
不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。
方法:
①改变输入信号频率ω,测出相应输出的幅值和相位
②画出XO(ω)/Xi与ω曲线
→获幅频特性
画出Ф(ω)与ω曲线
→相频特性
系统数学模型获取方法:
p.89
四、频率特性的特点:
1、G(jω)是w(t)的F变换。
因为X0(s)=G(s)Xi(s)
xi(t)=δ(t)
Xi(s)=1
→x0(t)=w(t)
所以,X0(jω)=G(jω)
即F[w(t)]=G(jω)
对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
2、G(jω)在频域内反映系统的动态特性。
G(jω)是谐波输入下的时域中的稳态响应,而在频域中,系统随ω变化反映系统动态特性。
3、频域分析比时域容易。
分析系统结构及参数变化对系统的影响时更容易分析;
易于稳定性分析;
c)
易于校正,使系统达到预期目标;
d)
易于抑制噪声,用频率特性易于设计出合适的通频带,抑制噪声。
2频率特性的Nyquist图(极坐标图)
频率特性分析常用图示法:
极坐标图(Nyquist),对数坐标图(Bode)
一、极坐标图的绘制:
Nyquist图:
当ω由0→∞时,G(jω)(矢量)的端点在[G(jω)]复平面上所形成的轨迹。
矢量:
即为频率特性G(jω)
对ω=ω1
在实轴上投影:
G(jω)实部,u(ω)=u(ω1)
在虚轴上投影:
G(jω)虚部,v(ω)=v(ω1)
G(jω1)=u(ω1)+jv(ω1)
模
相角
Nyquist图既表示实频和虚频特性,也反映幅频和相频特性。
绘制步骤:
①由G(jω)列出∣G(jω)∣和∠G(jω)表达式;
角∠G(jω)走向:
逆正顺负
②ω在[0,∞]取不同值,代入∣G(jω)∣、∠G(jω),获得相应值;
③在相应于∠G(jω)射线上,截取∣G(jω)∣值;
④将∣G(jω)∣线段的终点连接起来,即获得G(jω)的极坐标图。
二、典型环节的Nyquist图:
1、
比例环节:
G(s)=K
频率特性:
G(jω)=K
→∣G(jω)∣=K
u(ω)=K
∠G(jω)=00
v(ω)=0
轨迹:
一条与实轴重合的直线。
比例环节的幅、相频率特性与ω无关;
输出量的振幅永远是输入量振幅的K倍,且相位永远相同。
2、
积分环节:
G(s)=1/s
G(jω)=1/jω
→∣G(jω)∣=1/ω
u(ω)=0
∠G(jω)=-900
v(ω)=-1/ω
变化:
ω=0
∣G(jω)∣=∞
∠G(jω)=-900
ω=∞
∣G(jω)∣=0
一条与负虚轴重合的直线,由无穷远点指向原点,相位总是-900
低频(ω→0)时,输出振幅很大,高频(ω→∞)时输出振幅为0;
输出相位总是滞后输入900。
3、
微分环节
G(s)=s
G(jω)=jω
→∣G(jω)∣=ω
∠G(jω)=900
v(ω)=ω
∠G(jω)=900
与正虚轴重合的直线,由原点无穷远点指向无穷远点,相位总是900
低频(ω→0)时,输出振幅为0,高频(ω→∞)时输出振幅很大;
输出相位总是超前输入900。
4、
惯性环节:
∠G(jω)=-arctgTω
∣G(jω)∣=k
∠G(jω)=00
ω=1/T
∣G(jω)∣=0.707k
∠G(jω)=-450
四象限内的一半圆。
(图4.2.1)
①低频端(ω→0)时,输出振幅等于输入振幅,输出相位紧跟输入相位,即此时信号全部通过;
②随ω↑,输出振幅越来越小(衰减),相位越来越滞后;
③高频端(ω→∞)时输出振幅衰减至0,即高频信号被完全滤掉
(实际上是一个低通滤波器)
5、
一阶微分环节:
G(s)=Ts+1
G(jω)=jωT+1
→u(ω)=1
v(ω)=ωT
∠G(jω)=arctgωT
∣G(jω)∣=1
∣G(jω)∣=1.414k
∠G(jω)=450
始于正实轴点(1,j0),且平行于虚轴,在第一象限内的一条直线。
高、低频信号都能全部通过,频率越高,增益越大,相位越超前。
6、振荡环节:
(λ=0)
ω=ωn
(λ=1)
∣G(jω)∣=1/2ζ
(λ=∞)∣G(jω)∣=0
∠G(jω)=-1800
在三、四象限内的曲线。
起点(1,j0),终点(0,j0)(图4.2.6)
①ζ取值不同,Nyquist图形状不同;
(图4.2.7)
值越大,曲线范围越小。
②固有频率ωn:
曲线与虚轴之交点,此时幅值∣G(jω)∣=1/2ζ
③谐振频率ωr:
使∣G(jω)∣出现峰值的频率。
⑤
ωr<ωd:
欠阻尼下,谐振频率总小于有阻尼固有频率。
7、
延时环节:
G(s)=e-sτ=|G|ejφ(ω)
|G(jω)|=1
∠G(jω)=-ωτ(图4.2.9)
三、Nyquist图的一般形式:
传递函数:
式中,k=b0/a0,分母次数n,分子次数m,
0型系统(v=0):
当ω=0
ω=∞
∠G(jω)=(m-n)×
900
在低端,轨迹始于正实轴,高端时,轨迹趋于原点(由哪个象限趋于原点?
)
2、Ⅰ型系统(v=1):
低端,轨迹的渐近线与负虚轴平行,高端时,轨迹趋于原点
3、Ⅱ型系统(v=2):
低端,轨迹的渐近线与负实轴平行,高端时,轨迹趋于原点
可见,无论0、Ⅰ、Ⅱ型系统,低端幅值都很大,高端都趋于0
→控制系统总是具有低通滤波的性能。
四、例题:
已知系统的传递函数
,试绘制其Nyquist图。
(图4.3.1)
2、已知系统的传递函数
(图4.3.2)
3、已知系统的传递函数
(图4.3.3)
3Bode图(对数坐标图)
将幅、相频率特性分开画:
对数幅频特性,对数相频特性,统称Bode图。
一、坐标构成:
对数幅频特性图:
横坐标:
对数分度:
lgω1/ω2,
标示:
lgω
单位:
rad/s或s-1
纵坐标:
线性分度,20lg|G|,
单位:
分贝(dB)
对数相频特性图:
纵坐标:
G(jω)的相位∠G(ω),单位:
度
横坐标:
同对数幅频特性图
简化计算:
将串联环节的幅值乘除法简化为对数域的加、减法。
简化作图过程:
对环节的幅值Bode图,先用渐近线表示,再修正曲线,可获得较精确的幅值Bode图。
叠加:
叠加法将各环节幅值Bode图进行累加,获得整个系统的Bode图。
便于对系统的性能进行观察和分析:
横坐标用lgω1/ω2作分度,扩展了低频区,缩小了高频区。
(系统主要性能表现在低频区)
二、典型环节的Bode图:
G(jω)=K
①|G(jω)|=K
20lg|G(jω)|=20lgK
对数幅频特性曲线:
一条水平线,分贝数20lgK
K值大小使曲线上下移动。
②∠G(jω)=arctg(0/k)=0o
与0o线重合,与K值无关。
(图4.4.2)
积分环节
①
20lg|G(jω)|=-20lgω
线性关系
ω=1(lgω=0)
20lg|G(jω)|=0dB
ω=10(lgω=1)
20lg|G(jω)|=-20dB
曲线通过(1,0)、(10,-20)
斜率:
-20dB/dec
令y=20lg|G(jω)|,x=lgω,则y=-20x
②
与ω无关
过(0,90o)平行于横轴的直线。
③若
则
20lg|G(jω)|=20lgk-20lgω
相当于y=b-20x
微分环节G(jω)=jω
①|G(jω)|=ω
20lg|G(jω)|=20lgω
为一条斜率20dB/dec的直线
ω=1(lgω=0)
20lg|G(jω)|=0dB
→直线通过(1,0)
幅频特性:
a)非线性,用渐近线表示。
b)ω《ωT(低频渐近线):
20lg|G(jω)|≈20lgωT-20lgωT=0
一条与0dB线完全重合的直线,止于(ωT,0)
ω》ωT(高频渐近线):
20lg|G(jω)|≈20lgωT-20lgω
截距20lgωT,斜率-20dB/dec,始于(ωT,0)
转角频率ωT:
低频渐近线与高频渐近线的交点
e)
低通滤波特性:
低频输出较精确反映输入。
高频输出很快衰减。
f)
误差:
渐近线与精确对数曲线的差值e(ω)
低频:
高频:
修正曲线:
最大误差在ωT处,e(ωT)=-3dB
相频特性:
ω=0
∠G(ω)=0o
ω=ωT
∠G(ω)=-45o
∠G(ω)=-90o
曲线对称于点(ωT,-45o),低频段,输出与输入的相位相同,高频段,输出相位滞后于输入90o。
振荡环节:
①
b)ω《ωn(λ≈0)(低频渐近线):
20lg|G(jω)|=0
为0dB渐近线,止于(ωn,0)
c)ω》ωn(λ大大于1)(高频渐近线):
20lg|G(jω)|≈-40lgλ=-40lgω+40lgωn
为一直线,斜率-40dB/dec,始于(ωn,0)
d)转角频率ωn:
e)低通滤波特性:
高频输出很快衰减。
f)修正曲线:
0<ζ<1时系统会振荡,主要表现在ω≈ωn附近,ζ越小,振荡越大。
(图4.4.10)
g)谐振频率ωr:
ωr<ωn
ζ越小,ωr越接近ωn
谐振峰值:
随ζ变化(图4.4.11)
在Mr处误差最大,
h)截止频率ωb:
在幅频特性上,当幅值由零频值A(0)下降到0.707A(0)时所对应的频率。
(图4.6.1)
带宽:
0~ωb,带宽越宽,系统快速性越好。
②相频特性:
λ=0
ω=ωn
λ=1
∠G(ω)=-90o
λ=∞
∠G(ω)=-180o
曲线对称于点(ωn,-90o),低频段,输出与输入的相位相同,高频段,输出相位滞后于输入180o。
四、多环节Bode图绘制:
复杂系统Bode图可由各环节Bode图叠加。
关于对数幅频特性:
找出各环节转角频率ωT:
积分和微分环节:
ωT=1
惯性和导前环节:
ωT=1/T
ωT=ωn
用渐近线分别作出各环节的对数幅频特性图:
在ωT作斜率-20dB/dec(积分)或+20dB/dec(微分)
惯性、导前、振荡环节:
在(ωT,0)左边作与0dB重合直线,
在(ωT,0)右边作,-20dB/dec(惯性)
+20dB/dec(导前)
-40dB/dec(振荡)
按误差修正曲线对各渐近线进行修正,得出各环节精确曲线;
按ωT由小到大顺序,将各段曲线叠加,获得整个系统对数幅频特性曲线;
若系统有比例环节K,则将曲线上提升(K>1)或下降低(K<1
20lgKdB
关于对数相频特性:
分别作各环节的对数相频特性曲线:
积分:
过-90o水平线
微分:
过+90o水平线
惯性:
在0~-90o变化,对称于(ωT,-45o)
导前:
在0~90o变化,对称于(ωT,+45o)
振荡:
在0~180o变化,对称于(ωT,-90o)
将各环节对数相频特性曲线叠加,得系统的对数相频特性曲线;
若系统有延时环节,则相频特性上须加上-τω。
例题:
化成标准形式:
(fig.4.4.15)
4最小相位系统和非最小相位系统
最小相位传递函数:
若系统G(s)在[s]复平面上右半部既无极点又无零点,则G(s)称为最小相位传递函数。
例:
二者的对数幅频特性相同,但对数相频特性不同。
(图4.7.2)
①最小相位系统相角变化范围最小;
②最小相位系统满足ω→∞时,相角为-90o(m-n)。
③非最小相位系统在高频时相角滞后大,启动迟缓,反映速度差。
⑥
非最小相位系统产生原因:
由系统中的非最小相位环节产生;
由系统中不稳定的局部闭环产生;
由非最小相位系统的延时环节产生。
2、延时环节对系统的影响:
G(s)=e–τs
20lg|e–τs|s=jω=20lg|e–jωτ|=0
对系统的对数幅频特性无影响。
将G(s)=e–τs幂级数展开,会使系统G(s)传递函数的分子出现正根而变成非最小相位系统。
∠e–jωτ=-ωτ=-57.3ωτ(度),使系统相位滞后增大,对启动不利。
延时时间常数τ的求取:
对数幅频特性曲线在高频段的斜率,就是系统中延时环节的时间常数τ,即由高频段斜率确定τ。
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