计算机控制系统2教案.docx
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-1-
第2章 计算机控制系统的信号特征
数字计算机只能接受和处理二进制代码,这些二进制代码可以表示某一种物理量的大小或某个数值,称为数字信号。
实际系统中的被控制量大都是一些在时间上连续的信号,一般称为模拟量或连续量。
因此计算机控制系统也可以称为数字控制系统、离散控制系统或采样控制系统,而模拟控制系统也称为连续控制系统。
本章首先介绍离散时间控制系统中信号类型,并从频域角度研究离散模拟信号的特性。
2.1信息变换原理
2.1.1数字控制系统方框图及系统信息
连续模拟
离散模拟
离散数字
+
离散数字
离散模拟
连续模拟
连续模拟
-
离散数字
离散模拟
图2.1计算机控制系统中前后的信息转换关系
采样器
A/D
被控对象
保持器
D/A
计算机
A/D
采样器
001
010
011
001
010
011
001
010
011
在DDC(Direct Digital Control)系统中,数字计
算机主要起着控制器的作用。
系统方框图及信号形式如图
2.1所示。
名词说明:
连续信号—指在时间上是连续的,在幅值上也是连续的信号,在数学上可以用连续函数表示。
离散模拟信号—指在时间上是离散的,而在幅值上表示连续量大小的信号。
数字信号—在时间上是离散的,而在幅值上也是离散
(已经被量化)的信号。
2.1.2采样过程及理想采样信号的特征
1、采样过程
所谓采样,就是一种作用或过程,取某种东西的一小部分用于测试或分析。
在计算机控制系统中,将连续信号转变成离散信号。
采样过程如图2.2所示。
连续信号f(t)通过采样开关后变成一组脉冲序列f*(t),“*”表
示在时间上是离散的。
脉冲宽度τ代表采样一个信号所需要的时间(即采样开始到结
-8-
束的时间),相邻两次采样之间间隔时间T称为采样周期,通常比脉宽τ大得多。
f*(t)
t
0
t
T
f(t)
采样开关
T
0 t
图2.2采样过程
理想采样过程:
当T?
t时
有限宽度的脉冲序列可以近似看成理想脉冲序列,如图2.3所示。
f*(t)
0
T
t
f(t)
采样开关
T
0 t
图2.3理想采样过程
理采样间隔大小可以是随机的,也可以按规定规律变化。
如图2.4所示。
今后我们讨论的采样信号都是指均匀采样。
若计算机控制系统中各点采样的采样周期都相同,称为单速率采样系统;若一个系统中有几种采样周期,则称为多速率采样系统。
2、理想采样信号的特性
⑴理想采样信号的时域数学描述
图2.3所示的理想采样信号可以看成是连续信号f(t)调
(a)
0
T 2T 3T 4T 5T 6T
0t T
+
2T 3T 4T 5T 6T
(b)
0
T 2T 3T 4T 5T 6T
0+t
T+t
2T+t
3T+t
4T+t
5T+t
6T+t
(C)
0
图2.4采样形式
(a)均匀采样;(b)非均匀采样;(c)随机采样
制一组脉冲序列dT(t)的幅度调制脉冲信号,如图2.5所示。
其中,dT(t)为单位脉冲周期函数。
采样开关
f(t)
T
f*(t)
f(t)
dT(t)
0
f*(t)
dT(t)
t
0
T
t
f(t)
f*(t)
脉冲幅度调制器
图2.5脉冲幅度调制器
å
+¥
dT(t)= dT(t-nT)=L+d(t+2T)+d(t+T)+d(t)+d(t-T)+d(t-2T)L
n=-¥
(2.1)
f(t)由t=0时刻开始,则
f*(t)=
=
=
f(t)dT(t)
f(t)d(t)+
f(0)d(t)+
f(t)d(t-T)+
f(T)d(t-T)+
f(t)d(t-2T)+L
f(2T)d(t-2T)+L
(2.2)
式(2.2)不仅描述了采样信号的基本特征,更重要
的是给出了被采样的连续信号f(t)和采样信号f*(t)在时域中的关系。
由式(2.2)不难理解,理想采样信号f*(t)可以看作连续信号f(t)对单位脉冲序列dT(t)调制的结果,理想采样过程可以看作是脉冲调制过程,连续信号f(t)为调制信号,单位脉冲序列dT(t)为载波信号,理想采样开关就是单位脉冲发生器,每隔时间T瞬时接通一次,就相当于产生一个单位脉冲。
⑵理想采样信号的特性分析
①采样信号f*(t)损失了连续信号f(t)采样时刻之间的变化信息;
②损失信息的多少与采样周期T和连续信号f(t)的变化速度快慢有关。
l采样信号f*(t)能否完全反映连续信号f(t)的变化规律,或者说f*(t)能否包含f(t)中的全部信息?
l采样信号f*(t)的信息损失和采样周期T有何关系?
为此,下面就这两个问题对采样信号f*(t)在频域中予以定量分析。
对采样信号进行频域分析就是研究它的频谱特性。
由式(2.1)可知,dT(t)是一个周期为T的周期函数,
所以它可以展开成指数型富氏(Fourier)级数,即
(2.3)式中:
dT(t)=
+¥
å
Cnn=-¥
ejnwst
w=2p为采样角频率(简称采样频率);
s T
1
Cn=T
T
2
òdT(t)e
-T
-jnwstdt为富氏系数。
2
因为在é-T,Tù时间内,d(t)仅在t=0处值等于1,其余
ëê 2
2úû T
t=0
均为零,并且e-jnwst =1所以,
ò T
1 0+ 1
(2.4)因而得:
Cn= dT(t)dt=
T 0-
1
dT(t)=T
+¥
å
ejnwst
(2.5)
n=-¥
将(2.5)式代入(2.2)式,则有
(2.6)
f*(t)=1
T
+¥
å
n=-¥
f(t)ejnwst
对上式的f*(t)作拉氏变换,得
F*(s)=L
[f*(t)]=Lé1 f(t)ejnwtù=1
å
sú
ê
+¥
+¥
å
F(s-jnws)
(2.7)
ëTn=-¥
û Tn=-¥
令s=jw代入式(2.7),便得到采样信号f*(t)的富氏变换
(2.8)
F*(jw)=1
T
+¥
å
F(jw-
n=-¥
jnws)
F(jw)
(a)
-wc 0 wc w
-22-
1F(jw+jw)
T
c
F*(jw)
1
T
H(jw)
1F(jw-jw)
T
c
ws>2wc
(b)
1F(jw+jw)
T
c
F*(jw)
1
T
H(jw)
1F(jw-jw)
T
c
ws=2wc
(c)
1F(jw+jw)
T
c
F*(jw)
1
T T
1F(jw-jw)
c
ws<2wc
-2ws
-ws-wc
0
wcws
2ws
w
(d)
-ws
-2ws
-1w
2
-ws
-wc 0
s
-wc 0
wc1ws
2
wc ws
ws w
2ws w
-(ws-wc)(ws-wc)
图2.6理想采样器输入输出信号频谱F(jw)和
F*(jw)
(a)连续信号频谱(b)、(c)满足采样定理的离散信号频谱
(d)不满足采样定理的离散信号频谱
上式就是采样信号f*(t)的频率特性表达式,又称f*(t)的频
谱函数,而频谱函数的模F*(jw)称为f*(t)的振幅频谱,简称为频谱。
因此,f*(t)的频谱写成下式
(2.9)
F*(jw)=1
T
+¥
å
F(jw-jnws)
n=-¥
它给出了采样信号f*(t)与连续信号f(t)在频域中的相互关系,从而找出信号f*(t)和信号f(t)之间的内在信息关系。
式(2.9)说明:
s
s
采样信号f*(t)的频谱F*(jw)是以采样频率w为周期的频率w的周期函数;F*(jw)在频率轴上是以采样频率w为间隔的,与连续信号频谱F(jw)(图2.6(a)所示)形状相似的
1F(jw-jnw)
无穷个分频谱T s,n=0,±1,±2,…之和组成的,
如图2.6中(b),(c),(d)所示。
1F(jw)
式(2.9)中,n=0的项T
1
正比于连续信号f(t)的
频谱F(jw)称为主频谱,T为比例因子,也称为采样增益,
s
1F(jw-jnw)
其余n≠0的各项T
称为旁频谱,它们的形状均
1
与F(jw)相似,仅相差一个比例因子T,在频率轴上同
1F(jw)
T 相隔nws。
由图2.6可以看出,如果连续信号f(t)的频谱是有限带
宽的,即存在上限频率wc,当w≥wc
时,F(jw)=0,如图
2.6(a)所示;采样频率ws³2wc(或T£p/wc),那么相应的
采样信号f*(t)的频谱F*(jw)如图2.6(b)、(c)所示,相邻分频谱互不重叠,采样信号的频谱在-wc£w£wc频段内就包含了连续信号f(t)频谱F(jw)的全部频率成分。
可以设想,如果用一个理想低通滤波器(其频率特性
H(jw)为门形,在-ws/2£w£ws/2频段内,其幅值为常数1,如图2.6(b)、(c)所示)滤掉频段-wc£w£wc以外的所有的旁频谱的频率成分,那么,就可以得到连续信号f(t)的完整频谱,如图2.6(b)、(c)中矩形方框所示。
这就意味着,在上述条件下,采样信号f*(t)通过理想低通滤波器H(jw)就能够完全精确地恢复原有连续信号。
由此可以判断,当上述条件满足时,采样信号f*(t)就包含了连续信号f(t)的全部信息,或者说信号f*(t)能够反映信号f(t)的全部变化规律。
由图2.6可以看出,如果上述条件不满足,即采样频率
w<2w(或T>p/w),那么相应的采样信号频谱F*(jw)如图
s c c
2.6(d)所示,相邻分频谱之间就出现部分重叠(称为“混
叠”现象),在这种情况下,采样信号频谱F*(jw)中就不会
包含连续信号f(t)频谱F(jw)的全部频率成分,而仅包含
F(jw)
在-(ws-wc)£w£(ws-wc)频段内的频谱成分。
而在
(ws-wc)£w£wc和
-wc£w£-(ws-wc)频段内,由于主频谱和旁频谱重叠,使得
F*(jw)在这两个频段内的频率成分畸变。
因而在此情况下,
无论如何都无法从F*(jw)中获得连续信号f(t)的完整频谱
F(jw)。
这就意味着无法由信号f*(t)精确恢复原有连续信号f(t)。
所以在这种情况下,采样信号f*(t)就不会包含连续信号f(t)变化的全部信息,f*(t)只能近似地大体上反映f(t)的变化状况。
由f*(t)经过低通滤波所恢复的连续信号的波形与原有连续信号f(t)相比将会有明显失真。
当采样频率ws取
c
得越小于2w,f*(t)的频谱F*(jw)中的主频谱与旁频谱之间的重叠范围就越宽,相应采样信号f*(t)的信息就越多,由f*(t)恢复的连续信号的失真就越严重。
通常称这种现象为
“混叠效应”。
工程上为了避免出现“混叠效应”,通常取采样频率
w远大于2w,使得f*(t)的频谱中的主频谱1F(jw)与旁频
s c T
谱1F(jw-jnw)在频率轴上拉开较大的距离,如图
T s
2.6(b)
所示,拉开的距离越大,产生“混叠效应”的可能性就越小。
如果被采样的连续信号f(t)中含有高频干扰信号,为了防止“混叠效应”出现,造成有用的低频信号失真,工程上常采用前置高频滤波器先对连续信号进行滤波,滤除或衰减f(t)中的高频干扰成分,然后进行采样。
2.1.3采样定理
1、香农(Shannon)采样定理
如果对一个具有有限频谱的连续信号f(t)进行连续采样,当采样频率满足下式关系,即
(2.10)
ws³2wmax
则采样信号f*(t)能无失真地复现原来的连续信号f(t)。
上式中,wmax—连续信号f(t)的最高频率;
w=2p
s T—采样频率。
2、采样周期T的选择
采样周期T的大小对系统的影响。
结合工程经验来进行折中选取采样周期T。
常用方法有
如下几种:
⑴直接按照工程经验选取
表2.1工业过程对象采样周期的选取参考表
监控物理量
采样周期(sec)
备注
流量
1~5
优先选用2s
压力
1~10
优先选用6s
液面
5~10
温度
10~20
成分
10~30
⑵按照开环系统频率特性截止频率wc选取
对于电机控制系统,尤其是快速随动系统,采样周期
Ak(ω)/db
T的选取较为严格,应该认真仔细考虑,常根据控制系统的动态品质指标来选取。
假如控制系统预期开环频率特性如图2.7(a)所示,则闭环系统预期频率特性如图
-40
-20wc
w
-40
(a)
w0wc
w
(b)
AB(ω)/db
图2.7控制系统的频率特性
(a)预期开环频率特性;(b)预期闭环频率
2.7(b)所示。
在一般情况下,闭环系统的线性连续部分的频率特性都具有低频滤波器的性质。
当控制系统的输入信号频率高于谐振频率w0时,将会很快地衰减。
反馈理论指出,w0很
接近它的开环频率特性的截止频率wc,超过wc的分量都被系统连续部分的低通滤波特性大大地衰减掉了。
根据经验,模拟校正环节的功能用数字计算机来实现时,选择的采样频率为
(2.11)
ws»10wc
按上式可以得出系统的采样周期
(2.12)
T=2p=
ws
p
5wc
⑶按开环传递函数选取
n
G(s)=
1
m
N(s)
n2 1 2 2
sÕ(Tis+1)Õ[(s+t)
+wj]
i=1 j=1 j
(2.13)
其对应的脉冲响应函数g(t)中的基本分量为,
-t -t
eTi,etjsinwjt,(i=1,2,L,n1)(j=1,2,L,n2),其中Ti,tj为时
间常数,wj为阻尼振荡角频率,tj=2p/wj为阻尼振荡周期。
由此可以近似了解系统动态过程中信号的最快变化速度或
最高的频率分量,因而可以作为采样周期选取的依据。
采样周期的最大值为
T =1[T,T
,L,t,t,L,t,tL]
max 2 1 2
1 2 1 2
min
一般选取采样周期为
T =1[T,T
,L,t,t,L,t,tL]
max 4 1 2
(2.14)
1 2 1 2
min
⑷按照开环系统阶跃响应上升时间tr选取
设开环系统稳定,其单位阶跃响应为图2.8所示。
y
y¥ y¥
63.2%y¥
tr (a)
t tr
(b) t
图2.8系统典型阶跃响应
(a)过阻尼系统;(b)欠阻尼系统
两种典型情况:
(a)为过阻尼系统;(b)为欠阻尼系统。
对于过阻尼系统,tr取单位阶跃响应到达其稳态值
y¥的63.2 %的时间(相当于一阶系统的时间常数) ,如图
2.8(a)所示。
对于欠阻尼系统,tr取单位阶跃响应第一
次到达其稳态值y¥的时间,如图2.8(b)所示。
我们知道,阶跃响应的初始阶段反映了响应中的高频分量,所以按照
tr选取采样周期T,就相当于按照响应中的高频分量的周期选取T,一般
T= tr
(2~4)
(2.15)
2.2采样信号的恢复与保持器
数字计算机作为控制系统的信息处理装置,将信息处理的结果输出一般有两种方式,一种是直接数字输出,就是直接以数字形式输出。
另一种情况是需要把数字信号转换成模拟信号输出。
保持器的作用表现在两方面:
一是由于采样信号仅在采样开关闭合时刻有输出,而在其余时刻输出为零,所以,在两次采样开关闭合的中间时刻,存在一个采样信号如何进行保持的问题,从数学上来
讲,就是解决两个采样点之间的插值问题;二是保持器还要完成一部分滤波器的作用。
2.2.1理想滤波器
如图2.9所示,理想低通滤波器的频率特性满足以下方程:
ì1,
-1w£w£1w
í
H(jw)=ï
2 s 2 s
ï0, w>1w
î 2 s
H(jw)
1
-ws
2
ws w
2
(2.16)
图2.9理想滤波器的幅频特性
满足式(2.16)关系的理想特性滤波器,在物理上无法实现。
因此,必须找出在特性上与理想滤波器相近的实际滤波器,保持器就是这样一类实际滤波器。
从保持器的特性来看,它是一种在时域内的外推装置,具有常值、线性、二
次函数(抛物线)型外推规律的保持器。
能够物理实现的保持器都必须按现在时刻或过去时刻的采样值实行外推,而不能按将来采样值来进行外推。
例如,在相邻两个采样时刻kT和(k+1)T之间的信号f(t),必须用f(t)在(k+1)T以前的kT,(k-1)T,(k-2)T,…等采样时刻的数值来估计。
数学上两点之间的函数可以用下述幕级数展开式表示:
fk(t)=
(2.17)
f(kT)+
f'(kT)(t-kT)+
f"(kT)2!
(t-kT)2+L
式中 fk(t)=
f(t)
kT£t<(k+1)T
(2.18)
(2.19)
f'(kT)=
"
t=kT
df(t)
dt
d2f(t)
(2.20)
f(kT)=
dt2
t=kT
式(2.19)、式(2.20)的计算可用f(kT),f[(k-1)T],L,来估计。
一、二阶导数的一种简单估计式为
f'(kT)=
(2.21)
f(kT)-
f[(k-1)T]
T
f"(kT)=
f'(kT)-
f'[(k-1)T]
T
(2.22)如此等等。
=f(kT)-2f[(k-1)T]+
T2
f[(k-2)T]
从这些导数近似表达式中可见,导数阶次越高,所需的延迟脉冲的数目越多。
延迟数目越多,估计精度就越高,但时间延迟对反馈系统的稳定性有严重影响。
为此,目前常利用(2.17)式的第一项来重构信号,由于它是多项式中零阶项,所以通常称为零阶外推插值。
又因为在区间
kT£t<(k+1)T内保持不变,故又称为零阶保持器(ZeroOrderHolder),常用ZOH来表示。
若利用(2.17)式前两项来估计f(t),这种装置通常称为一阶外推插值(或一阶保持),它在数字仿真时常会用到。
2.2.2零阶保持器
零阶保持器时域方程为
(2.23)
fk(t)=
f(kT)
kT£t<(k+1)T
由上式可以看出,零阶保持器是按常数外推的,而且只依赖现时刻kT的序列值f(kT)外推,当下一时刻(k+1)T到来时,就换成下一时刻的序列值f[(k+1)T]继续外推。
离散信号序列的每个值f(kT),k=0,1,2,…,经零阶保持器外推后都
f*(t)
fh(t)
f*(t)
fh(t)
零阶保持器
0T2T3T4T t
0T2T3T4T t
图2.11零阶保持器的输入输出信号
将持续保持一个采样周期T。
对应的零阶保持器输出是一
个方波,其幅值等于对应的序列值f(kT),宽度为一个采样周期T。
离散信号通过零阶保持器外推后就恢复成阶梯形连续信号fh(t),如图2.11所示。
-23-
d(t)
1
d(t)
g(t)
h0
g(t)
h0
1
零阶保持器
0
t
0
T
t
图2.12零阶保持器脉冲过渡函数
保持器的另一个作用就是有一定的滤波作用。
现在来研究零阶保持器的频率特性,评价它的滤波特性。
首先求
出零阶保持器的传递函数
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