高考总复习数列第七章 72Word文件下载.docx
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所以EO为△BDD1的中位线,则BD1∥EO,
而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
题组三 易错自纠
4.设α,β是两个不同的平面,m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分不必要条件是( )
A.m∥l1且n∥l2B.m∥β且n∥l2
C.m∥β且n∥βD.m∥β且l1∥α
答案 A
解析 对于A,由m∥l1,m⊂α,l1⊄α,得l1∥α,同理l2∥α,又l1,l2相交,l1,l2⊂β,所以α∥β,反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件.
5.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
解析 当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.
6.设α,β,γ为三个不同的平面,a,b为直线,给出下列条件:
①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;
②α∥γ,β∥γ;
③α⊥γ,β⊥γ;
④a⊥α,b⊥β,a∥b.
其中能推出α∥β的条件是______.(填上所有正确的序号)
答案 ②④
解析 在条件①或条件③中,α∥β或α与β相交;
由α∥γ,β∥γ⇒α∥β,条件②满足;
在④中,a⊥α,a∥b⇒b⊥α,又b⊥β,从而α∥β,④满足.
直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 (2019·
四川省名校联盟模拟)如图,四边形ABCD为矩形,ED⊥平面ABCD,AF∥ED.求证:
BF∥平面CDE.
证明 方法一 ∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,
∵AB⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,∴AB∥平面CDE;
又AF∥ED,∵AF⊄平面CDE,ED⊂平面CDE,
∴AF∥平面CDE;
∵AF∩AB=A,AB⊂平面ABF,AF⊂平面ABF,
∴平面ABF∥平面CDE,
又BF⊂平面ABF,∴BF∥平面CDE.
方法二 如图,在ED上取点N,使DN=AF,连结NC,NF,
∵AF∥DN,且AF=DN,
∴四边形ADNF为平行四边形,
∴AD∥FN,且AD=FN,
又四边形ABCD为矩形,AD∥BC且AD=BC,∴FN∥BC,且FN=BC,
∴四边形BCNF为平行四边形,
∴BF∥NC,∵BF⊄平面CDE,NC⊂平面CDE,
∴BF∥平面CDE.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证:
PA∥GH.
证明 如图所示,连结AC交BD于点O,连结MO,
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点,
又M是PC的中点,所以AP∥OM.
又MO⊂平面BMD,PA⊄平面BMD,
所以PA∥平面BMD.
又因为平面PAHG∩平面BMD=GH,
且PA⊂平面PAHG,所以PA∥GH.
思维升华 判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
跟踪训练1 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.
(1)证明:
EF∥平面PDC;
(2)求点F到平面PDC的距离.
(1)证明 取PC的中点M,连结DM,MF,
∵M,F分别是PC,PB的中点,
∴MF∥CB,MF=
CB,
∵E为DA的中点,四边形ABCD为正方形,
∴DE∥CB,DE=
∴MF∥DE,MF=DE,∴四边形DEFM为平行四边形,
∴EF∥DM,
∵EF⊄平面PDC,DM⊂平面PDC,
∴EF∥平面PDC.
(2)解 ∵EF∥平面PDC,∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DA,
在Rt△PAD中,PA=AD=1,∴DP=
,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
又CD⊥AD且PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD,
∴S△PCD=
×
1=
,连结EP,EC,
∵VE-PDC=VC-PDE,
设E到平面PCD的距离为h,
则
h×
=
1×
1,
∴h=
,∴F到平面PDC的距离为
.
平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明
(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1∥AB且A1B1=AB,
∴A1G∥EB,A1G=EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.
又∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“点D,D1分别是AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1”,试求
的值.
解 连结A1B,AB1,交于点O,连结OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,
所以BC1∥D1O,则
=1.
同理,AD1∥C1D,
又AD∥C1D1,
所以四边形ADC1D1是平行四边形,
所以AD=D1C1,又AC=A1C1,
所以
,所以
=1,即
思维升华 证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义.
(2)面面平行的判定定理.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
跟踪训练2 (2019·
南昌模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°
,∠BAC=∠CAD=60°
,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.
(1)求证:
平面CMN∥平面PAB;
(2)求三棱锥P-ABM的体积.
(1)证明 ∵M,N分别为PD,AD的中点,∴MN∥PA,
又MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中,∠CAD=60°
,CN=AN,
∴∠ACN=60°
又∠BAC=60°
,∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN=N,CN,MN⊂平面CMN,
∴平面CMN∥平面PAB.
(2)解 由
(1)知,平面CMN∥平面PAB,
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.
∵AB=1,∠ABC=90°
,∠BAC=60°
,∴BC=
∴三棱锥P-ABM的体积V=VM-PAB=VC-PAB=VP-ABC=
2=
平行关系的综合应用
例4 如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.
AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形,
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,
∴EF∥AB,又∵AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,
∴AB∥平面EFGH.同理可证,CD∥平面EFGH.
(2)解 设EF=x(0<
x<
4),
∵EF∥AB,FG∥CD,∴
=1-
,∴FG=6-
x.
∵四边形EFGH为平行四边形,
∴四边形EFGH的周长l=2
=12-x.
又∵0<
4,∴8<
l<
12,
即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).
思维升华 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决.
跟踪训练3 如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,点C∈α,点B∈β,点D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.
EF∥平面β;
(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°
,求EF的长.
(1)证明 ①当AB,CD在同一平面内时,由平面α∥平面β,平面α∩平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD,知AC∥BD.
∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD.
又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时,如图所示,设平面ACD∩平面β=DH,且线段DH=AC.
∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC,∴AC∥DH,
∴四边形ACDH是平行四边形.
在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,连结EG,FG,BH,则AE∶EB=CF∶FD=AG∶GH.
∴GF∥HD,EG∥BH.
又EG,GF⊄平面β,BH,HD⊂平面β,
∴EG∥平面β,GF∥平面β,
又EG∩GF=G,EG,GF⊂平面EFG,
∴平面EFG∥平面β.
又EF⊂平面EFG,∴EF∥平面β.
(2)解 如图所示,连结AD,取AD的中点M,连结ME,MF.
∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴ME∥BD,MF∥AC,
且ME=
BD=3,MF=
AC=2.
∴∠EMF或其补角为AC与BD所成的角,
∴∠EMF=60°
或120°
∴在△EFM中,由余弦定理得
EF=
即EF=
或EF=
1.下列命题中正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
解析 A中,a可以在过b的平面内;
B中,a与α内的直线也可能异面;
C中,两平面可相交;
D中,由直线与平面平行的判定定理知b∥α,正确.
2.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
解析 A项,α,β可能相交,故错误;
B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;
C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;
D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故D项正确.
3.(2019·
合肥质检)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若a∥b,b⊂α,则a∥α
B.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β
C.若α∥β,a∥α,则a∥β
D.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c
解析 若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故A不正确;
若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β或α与β相交,故B不正确;
若α∥β,a∥α,则a∥β或a⊂β,故C不正确;
如图,由a∥b可得b∥α,又b⊂γ,α∩γ=c,所以b∥c,故D正确.
4.(2020·
宿迁模拟)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是( )
A.异面B.平行
C.相交D.以上均有可能
答案 B
解析 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1.
∵AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,
∴A1B1∥平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE,
∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.
5.(2019·
福州检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,P,Q分别为棱AB,C1D1,D1A1,D1D,C1C的中点.则下列叙述中正确的是( )
A.直线BQ∥平面EFGB.直线A1B∥平面EFG
C.平面APC∥平面EFGD.平面A1BQ∥平面EFG
解析 过点E,F,G的截面如图所示(H,I分别为AA1,BC的中点),
∵A1B∥HE,A1B⊄平面EFG,HE⊂平面EFG,
∴A1B∥平面EFG.故选B.
6.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析 A项,作如图①所示的辅助线,其中D为BC的中点,则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD与平面MNQ相交,
∴直线AB与平面MNQ相交;
B项,作如图②所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,
∴AB∥MQ,
又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ;
C项,作如图③所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,
D项,作如图④所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥NQ,
∴AB∥NQ,
又AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,
∴AB∥平面MNQ.
故选A.
7.(多选)下列四个命题中正确的是( )
A.如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行
B.过直线外一点有无数个平面与这条直线平行
C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
D.过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行
答案 BC
解析 A.如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行或相交,故A错误;
B.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行,
过这条直线有无数个平面与已知直线平行,故B正确;
C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行,且这无数条直线在同一平面内,故C正确;
D.过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行,当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条平行,
故D错误.
故选BC.
8.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,下列四个推断中正确的是( )
A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D1
答案 AC
解析 ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,
∴FG∥BC1,∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1,
∵FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,
∴FG∥平面AA1D1D,故A正确;
∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,
∴EF与平面BC1D1相交,故B错误;
∵E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,
∴FG∥BC1,∵FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,
∴FG∥平面BC1D1,故C正确;
∵EF与平面BC1D1相交,
∴平面EFG与平面BC1D1相交,故D错误.
故选AC.
9.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是________.
答案
解析 由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,其面积为
(
+2
)×
10.如图所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件______
时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:
请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)
答案 点M在线段FH上(或点M与点H重合)
解析 连结HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,
∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,
则MN⊂平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.
11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:
(1)BF∥HD1;
(2)EG∥平面BB1D1D;
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明
(1)如图所示,取BB1的中点M,连结MH,MC1,
易证四边形HMC1D1是平行四边形,∴HD1∥MC1.
又易证得MC1∥BF,∴BF∥HD1.
(2)取BD的中点O,连结EO,D1O,
则OE∥DC,且OE=
DC,
又D1G∥DC且D1G=
DC,∴OE∥D1G且OE=D1G,
∴四边形OEGD1是平行四边形,∴GE∥D1O.
又GE⊄平面BB1D1D,D1O⊂平面BB1D1D,
∴EG∥平面BB1D1D.
(3)由
(1)知BF∥HD1,
∵BF⊄平面B1D1H,HD1⊂平面B1D1H,
∴BF∥平面B1D1H,
又BD∥B1D1,同理可得BD∥平面B1D1H,
又BD∩BF=B,BD,BF⊂平面BDF,
∴平面BDF∥平面B1D1H.
12.(2020·
烟台模拟)如图,四边形ABCD为矩形,A,E,B,F四点共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°
平面BCE∥平面ADF;
(2)若平面ABCD⊥平面AEBF,AF=1,BC=2,求三棱锥A-CEF的体积.
(1)证明 ∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,
又BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,∴BC∥平面ADF.
∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°
∴∠BAF=∠ABE=45°
,∴AF∥BE,
又BE⊄平面ADF,AF⊂平面ADF,∴BE∥平面ADF,
∵BC∥平面ADF,BE∥平面ADF,BC∩BE=B,
∴平面BCE∥平面ADF.
(2)解 ∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥AB,
又∵平面ABCD⊥平面AEBF,BC⊂平面ABCD,
平面ABCD∩平面AEBF=AB,
∴BC⊥平面AEBF,
在等腰Rt△ABF中,∵AF=1,∴AB=
∴AE=AB=
∴S△AEF=
AF·
AE·
sin135°
∴V三棱锥A-CEF=V三棱锥C-AEF=
S△AEF·
BC=
13.(2019·
安阳模拟)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1.一平面截该长方体,所得截面为OPQRST,其中O,P分别为AD,CD的中点,B1S=
,则AT=________.
解析 设AT=x,则A1T=1-x,
由面面平行的性质可知PO∥SR,TO∥QR,TS∥PQ,
∴△DOP∽△B1RS,
∵DP=OD=1,∴B1S=B1R=
∴A1S=C1R=
由△ATO∽△C1QR,可得
,
即
,故C1Q=
由△A1TS∽△CQP,可得
,解得x=
14.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,M为棱AE的中点.
平面BDM∥平面EFC;
(2)若AB=1,BF=2,求三棱锥A-CEF的体积.
(1)证明 如图,设AC与BD交于点N,
则N为AC的中点,连结MN,
又M为棱AE的中点,∴MN∥EC.
∵MN⊄平面EFC,EC⊂平面EFC,
∴MN∥平面EFC.
∵BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且BF=DE,∴BF∥DE且BF=DE,
∴四边形BDEF为平行四边形,∴BD∥EF.
∵BD⊄平面EFC,EF⊂平面EFC,∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD=N,MN,BD⊂平面BDM,
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