分段函数常见题型解法含答案.docx
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分段函数常见题型解法含答案
【知识要点】
分段函数问题是高中数学中常见的题型之一,也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域(最值)、单调性和零点等问题.
1、求分段函数的解析式,一般一段一段地求,最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为:
,不要写成
.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集,并集为函数的定义域
.一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.
2、分段函数求值,先要看自变量在哪一段,再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段,就要分类讨论.注意小分类要求交,大综合要求并.
3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似,注意小分类要求交,大综合要求并.
4、分段函数的奇偶性的判断,方法一:
定义法.方法二:
数形结合.
5、分段函数的值域(最值),方法一:
先求每一段的最大(小)值,再把每一段的最大(小)值比较,即得到函数的最大(小)值.方法二:
数形结合.
6、分段函数的单调性的判断,方法一:
数形结合,方法二:
先求每一段的单调性,再写出整个函数的单调性.
7、分段函数的零点问题,方法一:
解方程,方法二:
图像法,方法三:
方程+图像法.和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.
虽然分段函数是一种特殊的函数,在处理这些问题时,方法其实和一般的函数大体是一致的.
【方法讲评】
题型一
分段函数的解析式问题
解题方法
一般一段一段地求,最后综合.即先分后总.
【例1】已知函数
对实数
满足
,若当
时,
.
(1)求
时,
的解析式;
(2)求方程
的实数解的个数.
(2)
是奇函数,且以2为周期.方程
的实数解的个数也就是函数
的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像,由图像得交点个数为2,所以方程
的实数解的个数为2.
【点评】
(1)本题的第一问,根据题意要把
分成三个部分,即
再一段一段地求.在求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性、对称性等.
(2)本题第2问解的个数,一般利用数形结合解答.
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