秋九年级数学上册第1章二次函数专题训练巧用抛物线对称性解题新版浙教版.docx
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秋九年级数学上册第1章二次函数专题训练巧用抛物线对称性解题新版浙教版
巧用抛物线对称性解题
► 类型之一 二次函数与三角形的综合
图3-ZT-1
1.如图3-ZT-1,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为____________.
2.如图3-ZT-2,在平面直角坐标系中,点A在y轴的负半轴上,点B,C在x轴上,OA=8,AB=AC=10,点D在AB上,CD与y轴交于点E,且满足S△COE=S△ADE,求过点B,C,E的抛物线的函数表达式.
图3-ZT-2
3.如图3-ZT-3,已知二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(3,0),B(4,1),且与y轴交于点C,连结AB,AC,BC.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)判断△ABC的形状.
图3-ZT-3
4.如图3-ZT-4,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,已知C(0,5),M为它的顶点.
(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标;
(2)求△MAB的面积;
(3)求△MCB的面积.
图3-ZT-4
5.如图3-ZT-5,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标;
(3)设
(1)中的抛物线上有一个动点P,且点P在x轴上方.若S△PAB=8,请求出此时点P的坐标.
图3-ZT-5
6.如图3-ZT-6,一小球从斜坡上点O抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=-x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.
(1)请用配方法求二次函数图象最高点P的坐标;
(2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)连结抛物线的最高点P与点O,A得△POA,求△POA的面积;
(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(点M与点P不重合),使△MOA的面积等于△POA的面积,请直接写出点M的坐标.
图3-ZT-6
► 类型之二 二次函数与特殊四边形的综合
图3-ZT-7
7.边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上,将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC(如图3-ZT-7),使点B恰好落在函数y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为( )
A.-B.-C.-2D.-
8.如图3-ZT-8,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A,B,C,则ac的值是________.
图3-ZT-8
图3-ZT-9
9.二次函数y=x2的图象如图3-ZT-9,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B,C在二次函数y=x2的图象上,四边形OBAC为菱形,且∠OBA=120°,则菱形OBAC的面积为__________.
10.如图3-ZT-10,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-x+2过点B(1,0).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标;
(3)以AC为边在第二象限画正方形ACPQ,求P,Q两点的坐标.
图3-ZT-10
11.如图3-ZT-11,已知抛物线y=-x2-x+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.
(1)求点A,B,C的坐标.
(2)E是此抛物线上的点,F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积.
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图3-ZT-11
详解详析
1.(1+,2)或(1-,2)
[解析]∵△PCD是以CD为底的等腰三角形,
∴点P在线段CD的垂直平分线l上.
如图,作CD的垂直平分线交抛物线于点P1,P2,交y轴于点E,则E为线段CD的中点.
∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,
∴C(0,3),而D(0,1),∴点E的坐标为(0,2),
∴点P的纵坐标为2.
在y=-x2+2x+3中,令y=2,可得-x2+2x+3=2,解得x=1±,
∴点P的坐标为(1+,2)或(1-,2).
2.解:
如图,过点D作DG⊥x轴于点G.
∵OA=8,AC=AB=10,
∴A(0,-8),BO=OC=6,
∴B(6,0),C(-6,0).
∵S△COE=S△ADE,
∴S△CBD=S△AOB=×8×6=24,
∴×BC×=24,解得=4,
∴D为AB的中点,∴D(3,-4).
联合C点坐标可求得直线CD的函数表达式为y=-x-,
∴E.
设过B,C,E三点的抛物线的函数表达式为y=a(x+6)(x-6),
将E代入,得a=,
∴过点B,C,E的抛物线的函数表达式为y=(x+6)(x-6)=x2-.
3.解:
(1)把A(3,0),B(4,1)代入y=ax2+bx+3中,得
解得
∴该二次函数的表达式为y=x2-x+3.
(2)△ABC是直角三角形.
理由:
过点B作BD⊥x轴于点D,
易知点C的坐标为(0,3),∴OA=OC,
∴∠OAC=45°.
又∵点B的坐标为(4,1),
∴AD=BD,
∴∠DAB=45°,
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°,
∴△ABC是直角三角形.
4.解:
(1)∵A(-1,0),B(5,0),
∴可设表达式为y=a(x+1)(x-5).
将C(0,5)代入,得a=-1,
∴抛物线的函数表达式为y=-(x+1)(x-5)=-x2+4x+5.
∴M(2,9).
(2)S△MAB=AB·=×6×9=27.
(3)过点M作MD⊥y轴于点D,
则S△MCB=S梯形MDOB-S△DCM-S△COB=×(2+5)×9-×2×4-×5×5=15.
5.解:
(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=3,
∴-1+3=-b,-1×3=c,
∴b=-2,c=-3,
∴该抛物线的函数表达式是y=x2-2x-3.
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-4).
(3)设点P的纵坐标为yP,
∵S△PAB=8,
∴AB·|yP|=8.
∵AB=3+1=4,
∴|yP|=4,
∴yP=±4.
∵点P在x轴上方,
∴yP=4.
把yP=4代入表达式,得4=x2-2x-3,
解得x=1±2,
∴点P的坐标为(1+2,4)或(1-2,4).
6.解:
(1)∵y=-x2+4x=-(x2-4x)=-(x2-4x+4)+4=-(x-2)2+4,
∴最高点P的坐标为(2,4).
(2)点A的坐标满足方程组
解得或
∴点A的坐标为.
(3)如图,过点P作PB⊥x轴交OA于点B,则点B的坐标为(2,1),∴PB=3,
∴S△POA=S△OPB+S△APB=×3×2+×3×=.
(4)如图,过点P作PM∥OA交抛物线于点M,连结OM,则△MOA的面积等于△POA的面积.
设直线PM的函数表达式为y=x+b,
∵直线PM过点P(2,4),
∴×2+b=4,解得b=3,
∴直线PM的函数表达式为y=x+3.
根据题意,可列方程组
解得或
∴点M的坐标为.
7.D [解析]如图,过点B作BE⊥x轴于点E,连结OB.
依题意得∠AOE=75°,
∠AOB=45°,
∴∠BOE=30°.
∵OA=1,∴OB=.
∵∠OEB=90°,
∴BE=OB=,∴OE=,
∴点B的坐标为.
将其代入y=ax2(a<0),得a=-.
故选D.
8.-2 [解析]连结BC,与AO交于点D.
观察图象,根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0,c>0.
由图象可知,点A是抛物线的顶点,设点A的坐标为(0,c),则OA=c,
∵四边形ABOC是正方形,
∴AO=BC,AD=OD,△ABD,△ACD是等腰直角三角形,
∴AD=OD=.
∵△ABD是等腰直角三角形,
∴BD=.
∵BD=,OD=,
∴点B的坐标为(-,).
将点B的坐标代入二次函数表达式y=ax2+c,可得=a+c,
整理,得ac=-2.
9.2 [解析]连结BC交OA于点D.
∵四边形OBAC为菱形,
∴BC⊥OA.
∵∠OBA=120°,∴∠OBD=60°,
∴OD=BD.
设BD=t,则OD=t,
∴B.
把B(t,t)代入y=x2,得t=t2,
解得t1=0(舍去),t2=1.
∴BD=1,OD=,
∴BC=2BD=2,OA=2OD=2,
∴菱形OBAC的面积为×2×2=2.
10.解:
(1)将B(1,0)代入y=ax2-x+2,得a-+2=0,∴a=-,
∴抛物线的函数表达式为y=-x2-x+2.
(2)当y=0时,-x2-x+2=0,
解得x1=1,x2=-3.
当x=0时,y=2,
∴抛物线与x轴的另一交点A的坐标为(-3,0),与y轴的交点C的坐标为(0,2).
(3)如图,过点P,Q分别作PH⊥y轴,QG⊥x轴,H,G分别为垂足.
∵四边形ACPQ是正方形,
∴易知△AOC≌△QGA≌△CHP,
∴AO=QG=CH=3,OC=GA=HP=2,
∴P(-2,5),Q(-5,3).
11.解:
(1)当x=0时,y=2,
∴C(0,2).
当y=0时,-x2-x+2=0,
解得x1=-4,x2=2,
∴B(-4,0),A(2,0).
(2)易得对称轴为直线x=-1.
当AB为对角线时,如图①,
图①
由点F的横坐标为-1,易知点E的横坐标也是-1,
∴E(-1,),
∴▱AEBF的面积为AB×××2=;
当AB为边时,如图②,
图②
∵AB=6,∴EF=6,
∴E(5,-)或E′(-7,-),
∴以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积为AB×=6×=.
综上,以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积为或.
(3)存在,设点M的坐标为(-1,t).
∵A(2,0),C(0,2),
∴AC=2,MC=,AM=.
①当AC=MC时,2=,
解得t=2±,
即M(-1,2+)或M(-1,2-);
②当MC=AM时,=,解得t=-1,即M(-1,-1);
③当AC=AM时,2=,此方程无解.
综上,此抛物线的对称轴上存在点M,使得△ACM是等腰三角形,点M的坐标为(-1,2+)或(-1,2-)或(-1,-1).
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