南京市届高三数学考前综合题及答案 教师版Word文档下载推荐.docx
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南京市届高三数学考前综合题及答案 教师版Word文档下载推荐.docx
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【答案】2
【提示】S2=2a,
S4=a1+a3+a2+a4=2a+d+a+aq=3a+d+aq,
S6=a1+a3+a5+a2+a4+a6=3a+3d+a+aq+aq2=,
因为S2:
6,
所以(2a):
(3a+d+aq):
(4a+3d+aq+aq2)=1:
即所以2aq-aq2=a.
因为a≠0,所以2q-q2=1即q=1,
所以d=2a,从而=2.
【说明】本题考查等差、等比数列的基本量运算,需要学生有一定的运算能力.
6.已知函数f(x)=-x+,若直线l1,l2是函数y=f(x)图像的两条平行的切线,则直线l1,l2之间的距离的最大值是.
【答案】2.
【提示】设切线l1,l2的切点为P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>x2,
因为f′(x)=--,切线l1,l2平行,所以--=--,因此有x1=-x2>0,
切线l1,l2的方程分别为y=(--)x+,y=(--)x+,
于是l1,l2之间的距离d==
=≤=2,
当且仅当x1=时取等号,于是d的最大值为2.
【说明】本题考查导数的几何意义,基本不等式,解决问题时要有消元的意识.
7.在平面直角坐标系xOy中,点P是椭圆C:
+=1(a>b>0)上一点,F为椭圆C的右焦点,直线FP与
圆O:
x2+y2=相切于点Q,若Q恰为线段FP的中点,则椭圆C的离心率为.
【提示】设椭圆C的左焦点为F1,连接PF1,OQ,
因为Q为线段FP中点,O为线段F1F中点,
所以,PF1=b,PF=2a-b,
又OQ⊥PF,所以PF1⊥PF,因此PF12+PF2=F1F2,
所以b2+(2a-b)2=(2c)2,即b2+(2a-b)2=4(a2-b2),
可得=,所以e=.
【说明】本题考查椭圆的几何性质,要能运用几何特征简化运算,本题也可以设点求解.
8.实数x,y满足x2+2xy+4y2=1,则x+2y的取值范围是.
【答案】[-,].
【提示】设x+2y=t,则y=,代入x2+2xy+4y2=1得:
x2-tx+t2-1=0,
则△=t2-4(t2-1)≥0,解得-≤t≤.
【说明】注意利用方程有解,求参数的范围.这一方法在数列填空题中经常会用到,例如:
已知等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,且S2+2,S3+4,S4+6成等比数列,
则公差d的最小值是.
转化为关于a1和d的方程,看作关于a1的方程有解,列出关于d的不等式即可,答案-1.
9.
M
已知AB=4,点M,N是以AB为直径的半圆上的任意两点,且MN=2,·
=1,则·
=.
【答案】6.
【提示】设圆心为O,则·
=2,·
=-4,
于是·
=(-)·
(-)
=·
+·
-·
=2-4-·
=-2-·
=-2+·
=1
所以·
=6.
【说明】本题考查的加减运算,数量积运算,体现了化归与转化的思想.
10.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(1,1),若圆M:
(x-2)2+y2=r2(r>0)上存在两点A,B使得=2,则r的取值范围是.
【答案】
(,3].
【提示】设B(x0,y0),根据=2,可得A(3-2x0,3-2y0),
则有(1-2x0)2+(3-2y0)2=r2,即(x0-)2+(y0-)2=,
又(x0-2)2+y02=r2,故有r-≤≤r+,解得:
≤r≤3,
易知点P(1,1)在圆(x-2)2+y2=r2(r>0)内,所以r>,
从而r∈(,3]
【说明】一般的解析几何中存在性问题,要能有轨迹思想的意识,把存在性问题转化为有解问题,注意几何与代数之间的相互转化.
11.在平面四边形ABCD中,AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形,则△BCD面积的最大值是.
A
【答案】4+4.
【提示】设△BCD的面积为S,
则S=×
4×
BC×
sin∠BCD=2BCsin(∠ACD+)
=BCsin∠ACD+BCcos∠ACD
设∠ADC=α,则=,
于是ACsin∠ACD=2sinα,即BCsin∠ACD=2sinα,
又BCcos∠ACD=AC×
===4-2cosα,
所以S=2sinα+(4-2cosα)=4sin(α-)+4,
从而S的最大值为4+4,此时α=.
【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换,注意这类题容易设计成应用题,本题难点在如何选择变量建立函数.
12.已知函数f(x)=x2-[k2+(2-a)k+4-a]x+1,a,k∈R.对于任意k>0有:
任意x1∈[-1,0],
任意x2∈[k,k+2],f(x1)≥f(x2)成立,则a的最大值是.
【答案】2-1.
【提示】由题意知:
函数f(x)在区间[-1,0]上的最小值不小于函数f(x)在区间[k,k+2]上的最大值.
结合函数f(x)的图像可知:
对称轴x=≥,对任意k>0恒成立,
即a≤,对任意k>0恒成立.
因为=k+=k+1+-1≥2-1,当且仅当k=-1时取等号,
因此当k>0时,的最小值为2-1,于是a≤2-1,所以a的最大值是2-1.
【说明】本题的题意为:
函数f(x)在[-1,0]上的最小值不小于函数f(x)在[k,k+2]上的最大值.在这里不必去求最值,结合函数的图像,只要对称轴满足一定的条件即可.
13.已知a,b∈R,若关于x的不等式lnx≤a(x-2)+b对一切正实数x恒成立,则当a+b取最小值时,b的值为.
【答案】ln3-.
【提示】在平面直角坐标系xOy中,分别作出y=lnx及y=a(x-2)+b的图像,
不等式lnx≤a(x-2)+b对一切正实数x恒成立,即直线y=a(x-2)+b恒在曲线y=lnx的上方.
a+b最小,即直线y=a(x-2)+b与x=3交点的纵坐标最小.
根据图像可知:
a+b的最小值为ln3,此时直线y=a(x-2)+b与曲线y=lnx相切于点(3,ln3),
因此有:
a=,从而b=ln3-.
【说明】复杂的函数问题要善于数形相互转化,利用图像快速解决问题.
14.已知函数f(x)=x3-ax+1,g(x)=3x-2,若函数F(x)=有三个零点,则实数a的取值范围是.
【答案】a>.
【提示】易得f'
(x)=3x2-a.
当a≤0时,函数f(x)在R上单调递增,F(x)至多两个零点,不满足题意.
当a>0时,令f'
(x)=3x2-a=0,解得x=±
易得函数f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减,
在同一坐标系中,分别作出函数f(x),g(x)的图像,根据图像可知:
当f()>0时,F(x)有且仅有一个零点;
当f()=0时,F(x)有且仅有一个零点;
当f()<0时,要使得F(x)有三个不同的零点,则f()<0或者
解得a>.
【说明】本题考查函数的零点问题,应用数形结合,函数与方程的思想方法,分段函数的图象性质来解决两个函数取大后的零点问题.
二.解答题
15.已知函数f(x)=sinx+cosx,f'
(x)是f(x)的导函数.
(1)求函数F(x)=f(x)f'
(x)+f2(x)的最大值和最小正周期;
(2)若f(x)=2f'
(x),求sin(2x+)的值.
解:
(1)因为f'
(x)=cosx-sinx,
所以F(x)=f(x)f'
(x)+f2(x)=cos2x-sin2x++2sinxcosx
=+sin2x+cos2x=+2sin(2x+).
所以当2x+=+2kπ,即x=+kπ(k∈Z)时,F(x)max=+2.
函数F(x)的最小正周期为T==π.
(2)因为f(x)=2f'
(x),所以sinx+cosx=2(cosx-sinx),即cosx=3sinx,故tanx=.
于是sin(2x+)=(sin2x+cos2x)=(+)
=(+)=·
=.
【说明】本题考查三角恒等变换以及三角函数的简单性质,注意公式和性质的熟练掌握.
16.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(2a+c)·
+c·
=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,试求·
的最小值.
(1)因为(2a+c)·
=0,
所以(2a+c)accosB+cabcosC=0,即(2a+c)cosB+bcosC=0.
由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,
即2sinAcosB+sin(C+B)=0,亦即2sinAcosB+sinA=0,
因为sinA≠0,故cosB=-.
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos,即12=a2+c2+ac.
因为12=a2+c2+ac≥3ac,所以ac≤4,
=accos=-ac≥-2,当且仅当a=c=2时取等号,
的最小值为-2.
【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理.其中第二问要能利用基本不等式求最小值,也可以利用正弦定理建立函数,但过程复杂.
D
17.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,AB=2AP=2,PD=.
求证:
(1)PA⊥平面PCD;
(2)求点C到平面PBD的距离.
(1)证明:
因为底面ABCD为正方形,所以CD⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面PAD.
又AP⊂平面PAD,所以CD⊥AP.
因为底面ABCD为正方形,AB=2,所以AD=2.
因为AP=1,PD=,所以AP2+PD2=AD2,因此AP⊥PD.
又CD⊥AP,PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,所以PA⊥平面PCD.
(2)解:
设点C到平面PBD的距离为h.
由
(1)知CD⊥平面PAD,因为PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD.
V三棱锥B-PCD=S△PCD·
PA=×
(×
2×
)×
1=.
因为AB∥CD,所以PD⊥AB.
由
(1)知AP⊥PD,又AP∩AB=A,AP,AB⊂平面APB,所以PD⊥平面APB.
又PB⊂平面APB,所以PD⊥PB.
因为底面ABCD为正方形,且边长为2,所以BD=2,又PD=,所以PB=.
于是V三棱锥C-PBD=S△BPD·
h=×
×
)h=h.
因为V三棱锥B-PCD=V三棱锥C-PBD,所以h=,解得h=.
即点C到平面PBD的距离为.
【说明】考查直线与平面位置关系的判断;
考查空间几何体体积的计算,点到平面距离的计算.
18.某地举行水上运动会,如图,岸边有A,B两点,相距2千米,∠BAC=30°
.小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶,同一时刻运动员出发,经过t小时与小船相遇.
(1)若v=12,运动员从B处出发游泳匀速直线追赶,为保证在15分钟内(含15分钟)能与小船相遇,试求运动员游泳速度的最小值;
30°
(2)若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m(0<m<t)小时后,再游泳匀速直线追赶小船,已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时,在水中游泳的速度为8千米/小时,试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值.
(1)设运动员游泳速度为x千米/小时,
由题意可知(xt)2=22+(12t)2-2×
12tcos30°
整理得x2=-+144=(-6)2+36.
由于0<t≤,所以≥8,
所以,当=6即t=时,x2取得最小值36,即x最小值为6.
答:
运动员游泳速度的最小值为6千米/小时.
(2)由题意知[8(t-m)]2=(16m)2+(vt)2-2×
16m×
vtcos30°
两边同除以t2得:
192()2+(128-16v)+v2-64=0
设=k,0<k<1,
则有192k2+(128-16v)k+v2-64=0,其中k∈(0,1),
即关于k的方程192k2+(128-16v)k+v2-64=0在(0,1)上有解,
则必有△=(128-16v)2-4×
192×
(v2-64)≥0,
解得0<v≤,
当v=时,可得k=∈(0,1),因此v为最大值为.
小船的最大速度为千米/小时.
【说明】本题利用余弦定理解决简单的三角形问题,其中第二问,需要注意的是:
要能利用方程有解,求参数的最值.
19.某公司拟建造如图所示的蓄水池,其下方是高为h的圆柱体,上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r的半球体.设计要求,蓄水池总体积为m3,且h≥2r.经测算,上方半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元,下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元,设该蓄水池的总建造费用为y千元.
h
(1)求y关于r的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)当该蓄水池的总建造费用y最小时,求半径r的值.
(1)由题意知πr2h+×
πr3=,
故h=(-r),
由于h≥2r,
因此(-r)≥2r,解得0<r≤2,
所以建造费y=2πr2c+(2πrh+πr2)×
3=π(2c-1)r2+,定义域为(0,2].
(2)由
(1)得y′=,
当≥8即3<c≤时,y′≤0恒成立,
此时函数y=π(2c-1)r2+在(0,2]上单调递减,因此r=2时,总建造费用y最小;
当<8即c>时,令y′=0得r=∈(0,2),
当0<r<时,y′<0;
当<r<2时,y′>0,
所以函数y=π(2c-1)r2+在(0,)上单调递减,在(,2)上单调递增,
所以r=时,总建造费用y最小.
综上所述,当3<c≤时,总建造费用y最小时,r=2m;
当c>时,总建造费用y最小时,r=m.
【说明】注意解决应用题时必要的讨论.
20.某火山喷发停止后,为测量的需要,设距离喷口中心50米内的圆面为第1区,50米至100米的圆环面为第2区,…,50(n-1)米至50n米的圆环面为第n区,n∈N*,n≥2.现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克,第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%,…,第n+1区火山灰平均每平方米的重量较第n区减少2%,n∈N*.设第n区火山灰的总重量为an,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)第几区火山灰的总重量最大,说明理由.
解:
(1)设第n区火山灰平均每平方米的重量为bn千克,则bn=1000(1-2%)n-1=1000×
0.98n-1.
设第n区的面积为cn平方米,
则当n≥2时,cn=π502n2-π502(n-1)2=2500π(2n-1),
又c1=2500π=2500π(2×
1-1),
因此cn=2500π(2n-1),n∈N*.
所以第n区内火山灰的总重量为an=bncn=25×
105π(2n-1)×
0.98n-1(千克).
(2)an+1-an=25×
105π(2n+1)×
0.98n-25×
0.98n-1
=25×
105π[(2n+1)×
0.98-(2n-1)]×
105π(-0.04n+1.98)×
当1≤n≤49时,an+1-an>0,即an<an+1,
当n≥50时,an+1-an<0,即an>an+1,
所以,当n=50时,an最大.
第50区火山灰的总重量最大.
【说明】关注数列应用题.
21.在平面直角坐标系xOy中,圆O:
x2+y2=64,以O1(9,0)为圆心的圆记为圆O1,已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21.
(1)求圆O1的标准方程;
(2)求过点M(5,5)且与圆O1相切的直线的方程;
(3)已知直线l与x轴不垂直,且与圆O,圆O1都相交,记直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d,d1.若=2,求证:
直线l过定点.
(1)由题设得圆O1的半径为4,所以圆O1的标准方程为(x-9)2+y2=16.
(2)x=5,y=-x+.
(3)设直线l的方程为y=kx+m,则O,O1到直线l的距离分别为h=,h1=,
从而d=2,d1=2.
由=2,得==4,
整理得m2=4(9k+m)2,故m=±
2(9k+m),
即18k+m=0或6k+m=0,
所以直线l为y=kx-18k或y=kx-6k,
因此直线l过定点(18,0)或直线l过定点(6,0).
【说明】本题考查直线与圆.求直线方程时,不要忘记斜率不存在的讨论.
22.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且两焦点F1,F2与椭圆的短轴顶点(0,1)构成直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线l1,l2过右焦点F2,且它们的斜率乘积为-,设l1,l2分别与椭圆交于点A,B和C,D.
①求AB+CD的值;
②设AB的中点M,CD的中点为N,求△OMN面积的最大值.
(1)+y2=1.
(2)①设AB的直线方程为y=k(x-1).
联立消元y并整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
于是AB=|x1-x2|=×
=,
同理CD==,
于是AB+CD=+=3.
②由①知xM=,yM=,xN=,yN=,
所以M(,),N(,),
所以MN的中点为T(,0),
于是SΔOMN=OT·
|yM-yN|=||=×
=×
≤,
当且仅当2|k|=,即k=±
时取等号,所以△OMN面积的最大值为.
【说明】本题考查直线与椭圆的相关知识.最后一问要能发现并利用直线MN过定点,简化面积的运算,值得注意.
23.已知函数f(x)=x3+3|x-a|,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值;
(3)已知a>0,且任意x≥1有f(x+a)-f(1+a)≥15a2lnx,求实数a的取值范围.
(1)当x>1时,f(x)=x3+3x-3,f
(2)=11.由f'
(x)=3x2+3,得f'
(2)=15.
所以y=f(x)在x=2处的切线方程为y=15(x-2)+11即15x-y-19=0.
(2)①当a≤-1时,得f(x)=x3+3x-3a,因为f'
(x)=3x2+3>0,
所以f(x)在[-1,1]单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-4-3a.
②当a≥1时,得f(x)=x3-3x+3a,因为f'
(x)=3x2-3≤0,
所以f(x)在[-1,1]单调递减,所以f(x)min=f
(1)=-2+3a.
③当-1<a<1时,f(x)=
由①②知:
函数f(x)在(-1,a)单调递减,(a,1)单调递增,所以f(x)min=f(a)=a3.
综上,当a≤-1,f(x)min=-4-3a;
当-1<a<1时,f(x)min=a3;
当a≥1时,f(x)min=-2+3a.
(3)当a>0,且任意x≥1有f(x+a)-f(1+a)≥15a2lnx,
即对任意x≥1有(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-3≥0.
设g(x)=(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-3,
则g
(1)=0,g'
(x)=3(x+a)2+3-.
设h(x)=g'
(x)=3(x+a)2+3-,
因为a>0,x≥1,所以h'
(x)=6(x+a)+>0,所以h(x)在[1,+∞)单调递增,
所以h(x)≥h
(1),即g'
(x)≥g'
(1)=3(1+a)2+3-15a2=-(a-1)(2a+1),
1当g'
(1)≥0即0<a≤1时,所以g'
(x)≥0恒成立,
所以g(x)在[1,+∞)单调递增,此时g(x)≥g
(1)=0,满足题意.
2当g'
(1)<0即a>1时,
因为g'
(a)=12a2-15a+3=3(a-1)(4a-1)>0,且g'
(x)在[1,+∞)单调递增,
所以存在唯一的x0>1,使得g'
(x0)=0,
因此当1<x<x0时g'
(x)<0;
当x>x0时g'
(x)>0;
所以g(x)在(1,x0)单调递减,(x0,+∞)单调递增.
所以g(x0)<g
(1)=0,不满足题意.
综上,0<a≤1.
【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值,绝对值函数处理方法,分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法.其中第三问要能通过g'
(1)的大小来分类.
24.已知函数f(x)=x-xlnx,g(x)=,a∈R.
(1)当a>0时,求g(x)单调区间;
(2)若a=2,设0<n<m<1,证明:
f(m)>g(n);
(3)证明:
关于x的方程f(x)=g(x)有唯一的实数解.
(1)因为g'
(x)=,
所以g(x)单调减区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调增区间为(-1,1).
(2)因为f(x)=x-xlnx,f'
(x)=1-lnx-1=-lnx,
当0<x<1时,f'
(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,
因为0<n<m<1,所以f(m)>f(n),下面证明f(n)>g(n),
f(n)-g(n)=n-nlnn-=n(-lnn)
设φ(n)=-lnn,0<n<1,
则φ'
(
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