高考数学复习文科训练题周周测12带答案和解释文档格式.docx
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高考数学复习文科训练题周周测12带答案和解释文档格式.docx
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494-6=5,显然,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2为直角三角形,故△PF1F2的面积为12×
3×
4=6.
.从双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线l,切点为T,且l交双曲线的右支于点P,若点是线段FP的中点,o为坐标原点,则|o|-|T|=
A.b-a2B.b-a
c.a+b2D.a+b2
如图,设双曲线的右焦点为F1,连接PF1,由三角形中位线的性质及双曲线的定义可知|o|-|T|=12|PF1|-12|PF|-|TF|=|TF|-12=c2-a2-a=b-a.
.已知抛物线c:
y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与c交于A,B两点,则cos∠AFB=
A.45B.35
c.-35D.-45
D
∵抛物线c:
y2=4x的焦点为F,∴点F的坐标为.又∵直线y=2x-4与c交于A,B两点,∴A,B两点坐标分别为,,则FA→=,FB→=,∴cos∠AFB=FA→•FB→|FA→||FB→|=-810=-45.故选D.
.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax的焦点F,且和y轴交于点A,若△oAF的面积为4,则抛物线的方程为
A.y2=±
4xB.y2=4x
c.y2=±
8xD.y2=8x
∵抛物线y2=ax的焦点F的坐标为a4,0,∴直线l的方程为y=2x-a4.∵直线l与y轴的交点为A0,-a2,∴△oAF的面积为12a4•a2=4,解得a=±
8.∴抛物线的方程为y2=±
8x,故选c.
.已知椭圆c:
x2a2+y2b2=1的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则c的离心率为
A.63
B.33c.23
D.13
本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴|b×
0-a×
0+2ab|b2+-a2=a,即2b=a2+b2,∴a2=3b2,∵a2=b2+c2,∴c2a2=23,∴e=ca=63.
.已知F1,F2分别是椭圆E:
x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点1,22在椭圆上,且点到直线PF2的距离为455,其中点P,则椭圆的标准方程为
A.x2+y24=1B.x24+y2=1
c.x2+y22=1D.x22+y2=1
设F2的坐标为,则PF2=4c+1,故直线PF2的方程为y=4c+1,即4c+1x-y-4cc+1=0,点到直线PF2的距离d=-4c+1-4cc+14c+12+1=44c+12+1=455,即4c+12=4,
解得c=1或c=-3,所以a2-b2=1.①
又点1,22在椭圆E上,所以1a2+12b2=1,②
由①②可得a2=2,b2=1,所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.故选D.
.已知c是双曲线x2a2-y2b2=1的半焦距,则b-ca的取值范围是
A.-1,-12B.
c.-1,-34D.
由b-ca=c2-a2-ca=e2-1-e=-1e2-1+e,由于e>1,且函数y=-1x2-1+x在上是增函数,那么b-ca的取值范围是.
0.如图,F1,F2是双曲线c:
x2a2-y2b2=1的左、右两个焦点.若直线y=x与双曲线c交于P,Q两点,且四边形PF1QF2为矩形,则双曲线的离心率为
A.2+2B.2+6
c.2+2D.2+6
将y=x代入x2a2-y2b2=1,可得x=±
a2b2b2-a2.由矩形的对角线长相等,得2•a2b2b2-a2=c,∴2a2b2=c2,∴2a2=c2,∴2=e4-2e2,∴e4-4e2+2=0,又∵e>1,∴e2=2+2,∴e=2+2.故选c.
1.已知直线l的斜率为,它与抛物线y2=4x相交于A,B两点,F为抛物线的焦点.若AF→=2FB→,则||=
A.22B.3
c.24D.33
设直线l的方程为y=x+,与抛物线y2=4x相交于A,B.联立y2=4x,y=x+,得2x2+x+2=0.由Δ=2-422=16-16>0,得<1.x1+x2=4-22,x1x2=22.由y2=4x得其焦点为F.由AF→=2FB→,得=2,所以1-x1=2x2-2,①-y1=2y2.②由①得x1+2x2=3,③ 由②得x1+2x2=-3.所以=-.再由AF→=2FB→,得|AF→|=2|FB→|,所以x1+1=2,即x1-2x2=1.④
由③④得x1=2,x2=12,所以x1+x2=4-22=52.
把=-代入得4-2-2=52,解得||=22,满足=-8<1.所以||=22.故选A.
.已知抛物线y2=8x的焦点为F,设A,B是抛物线上的两个动点,若x1+x2+4=233|AB|,则∠AFB的最大值为
A.π3B.3π4
c.5π6D.2π3
因为x1+x2+4=233|AB|,|AF|+|BF|=x1+x2+4,所以|AF|+|BF|=233|AB|.在△AFB中,由余弦定理得cos∠AFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF||BF|=|AF|+|BF|2-2|AF||BF|-|AB|22|AF||BF|=43|AB|2-|AB|22|AF||BF|-1=13|AB|22|AF||BF|-1.又|AF|+|BF|=233|AB|≥2|AF||BF|,当且仅当|AF|=|BF|时等号成立,所以|AF||BF|≤13|AB|2,所以cos∠AFB≥13|AB|22×
13|AB|2-1=-12,所以∠AFB≤2π3,即∠AFB的最大值为2π3.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在相应题号后的横线上.
3.当双曲线c:
x22-y22+4=1的焦距取得最小值时,双曲线c的渐近线方程为________.
y=±
2x
由题意可得c2=2+2+4=2+3,所以当=-1时,焦距2c取得最小值,此时双曲线c:
x2-y22=1,其渐近线方程为y=±
2x.
.已知椭圆x2a2+y2b2=1,A为左顶点,B为上顶点,F为右焦点且AB⊥BF,则这个椭圆的离心率等于________.
5-12
由题意得A,B,F,∵AB⊥BF,∴AB→•BF→=0,∴•=ac-b2=ac-a2+c2=0,∴e-1+e2=0,解得e=5-12.
.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P到焦点的距离为4,则的值为________.
±
4
由题意可设抛物线的标准方程为x2=-2py.由定义知P到准线的距离为4,故p2+2=4,得p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y,代入点P的坐标得=±
4.
.已知椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点为F1,离心率为e.设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为,BF1的中点为N,原点o在以线段N为直径的圆上,设直线AB的斜率为,若0<≤3,则e的取值范围为________.
3-1≤e<1
设A,则B,+12,n2,N-+12,-n2,所以o→=+12,n2,oN→=-+12,-n2.故由题设可得o→•oN→=0,即2+n2=1,将其与2a2+n2b2=1联立可得b22+a2=a2b2,故2=a2-a2b2=1-b4,n2=b4.由题设0<≤3可得n2≤32,即b4≤3,则b2≤32,则a2≤1+32.故e2=1a2≥22+3,即e2≥4-23,所以e≥3-1,所以3-1≤e<1.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
.
已知椭圆c:
x2a2+y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上任意一点,且|PF1|+|PF2|=22,它的焦距为2.
求椭圆c的方程.
是否存在正实数t,使直线x-y+t=0与椭圆c交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=56上?
若存在,求出t的值;
若不存在,请说明理由.
∵F1,F2为椭圆的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,且|PF1|+|PF2|=22,∴a=2.
∵2c=2,∴c=1,∴b=a2-c2=1,
∴椭圆c的方程为x22+y2=1.
设A,B,联立x-y+t=0,x22+y2=1,化简得3x2+4tx+2t2-2=0.①
由①知x1+x2=-4t3,∴y1+y2=x1+x2+2t=2t3.
∵线段AB的中点在圆x2+y2=56上,
∴-2t32+t32=56,解得t=62,
故存在t=62满足题意.
已知抛物线c的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A为抛物线c上一点.
求c的方程;
若点B在c上,过点B作c的两弦BP与BQ,若BP•BQ=-2,求证:
直线PQ过定点.
解:
由题得c的方程为y2=4x或x2=12y.
证明:
∵点B在c上,∴曲线c的方程为y2=4x.
设点P,Q,直线PQ:
x=y+b,显然存在,与方程y2=4x联立,消去x得
y2-4y-4b=0,Δ=16>0.∴y1+y2=4,y1•y2=-4b.
∵BP•BQ=-2,∴y1+2x1-1•y2+2x2-1=-2,∴4y1-2•4y2-2=-2,即y1y2-2+12=0.∴-4b-8+12=0,即b=3-2.
直线PQ:
x=y+b=y+3-2,即x-3=.
∴直线PQ过定点.
如图,已知椭圆E:
x24+y2b2=1,点P在短轴cD上,且Pc→•PD→=-2.
求椭圆E的方程及离心率;
设o为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得oA→•oB→+λPA→•PB→为定值?
若存在,求出λ的值;
由已知,点c,D的坐标分别为,,又点P的坐标为,且Pc→•PD→=-2,即1-b2=-2,解得b2=3.
所以椭圆E的方程为x24+y23=1.因为c=1,a=2,
所以离心率e=12.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=x+1,A,B的坐标分别为,.联立x24+y23=1,y=x+1得x2+8x-8=0.
其判别式Δ>0,所以x1+x2=-842+3,x1x2=-842+3.
从而oA→•oB→+λPA→•PB→=x1x2+y1y2+λ[x1x2+]
=x1x2++1
=-81+λ1+2-42+342+3=4-2λ42+3-2λ-3.
所以当λ=2时,4-2λ42+3-2λ-3=-7,
即oA→•oB→+λPA→•PB→=-7为定值.
当直线AB的斜率不存在时,直线AB即为直线cD,此时oA→•oB→+λPA→•PB→=oc→•oD→+2Pc→•PD→=-3-4=-7.
故存在常数λ=2,使得oA→•oB→+λPA→•PB→为定值-7.
0.
在平面直角坐标系xoy中,抛物线c:
x2=2py的焦点为F,点A在c上.若|Ao|=|AF|=32.
设直线l与c交于点P,Q,若线段PQ的中点的纵坐标为1,求△oPQ的面积的最大值.
抛物线c的焦点F的坐标为0,p2.
因为|Ao|=|AF|=32,
所以可求得A点坐标为±
1436-p2,p4.
将A点坐标代入x2=2py得116=2p•p4,
解得p=2,或p=-2.
故抛物线c的方程为x2=4y.
依题意,可知l与x轴不垂直,故可设l的方程为y=x+b,b>0.
并设P,Q,PQ的中点为.
联立方程组y=x+b,x2=4y,消去y,得x2-4x-4b=0,
所以x1+x2=4,x1x2=-4b.
因为线段PQ的中点的纵坐标为1,
所以y1+y2=+2b=42+2b=2,即22=1-b,则1-b≥0,即b≤1.
SΔoPQ=12b•|x1-x2|=12b•x1+x22-4x1x2
=12b•162+16b=12b8+8b=2b3+2b2.
令y=2b3+2b2,则y′=6b2+4b>0,
∴函数在如图,已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点o,离心率为32,以椭圆E的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为8,直线l:
y=x+与y轴交于点,与椭圆E交于不同两点A,B.
求椭圆E的标准方程;
若A→=-3B→,求2的取值范围.
由于椭圆E的焦点在y轴上,可设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1.
由椭圆E的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为4a,得4a=8,即a=2.
∵离心率e=ca=32,∴c=3.
∴b2=a2-c2=1.
∴椭圆E的标准方程为y24+x2=1.
根据已知得,设A,B,
由y=x+,x2+y24=1得x2+2x+2-4=0,
则Δ=422-4>0,即2-2+4>0.
由根与系数的关系可知,x1+x2=-24+2,x1x2=2-44+2.
由A→=-3B→,得-x1=3x2,即x1=-3x2.
由32+4x1x2=0得12222+42+42-42+4=0,即22+2-2-4=0.
当2=1时,22+2-2-4=0不成立,
∴2≠1,
∴2=4-22-1.
∵2-2+4>0,
∴4-22-1-2+4>0,即4-222-1>0.
∴1<2<4,
∴2的取值范围为.
2.
已知中心在原点o,焦点在x轴上的椭圆的一个顶点坐标为,离心率为32.
求椭圆的方程;
若A,设,N是椭圆上异于点A的任意两点,且A⊥AN,线段N的中垂线l与x轴的交点为,求的取值范围.
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,可得a=2,e=ca=32,解得c=3,b=a2-c2=1,故椭圆的方程为x24+y2=1.
设,N,线段N的中点的横坐标为x1+x22.
设直线N:
y=x+t,将其代入椭圆方程x2+4y2=4,可得•x2+8tx+4t2-4=0,
则Δ=642t2-16>0,即1+42>t2.
则x1+x2=-8t1+42,x1x2=4t2-41+42,
故线段N的中点坐标为-4t1+42,t1+42.
则中垂线l的方程为y-t1+42=-1x+4t1+42,令y=0,可得x==-3t1+42.
由A⊥AN,可得y1-1x1•y2-1x2=-1,即x1x2+2+=0,化为+2+=0,解得t=1或-35.
当t=1时直线N过A点,不合题意,故舍去.
当t=-35时,=951+42.
当>0时,=951+42=954+1≤920;
当<0时,=-95-4+1-≥-920;
当=0时,线段N的中垂线为y轴,此时=0.
综上,的取值范围是-920,920.
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