北京林业大学线性代数期末试题04-10.doc
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北京林业大学2004--2005学年第一学期考试试卷解答
一、填空题(每空3分,共30分)
1、设都是5阶矩阵,且,则
2、
3、二次型对应的矩阵为.
4、若二次型正定,则的取值范围是.
5、设,,,,,,则=2;=3;=0;=
二、(8分)计算阶行列式
解:
=
三、(8分)解矩阵方程
求
解:
令
则
四、(10分)求a,b为何值时,方程组有唯一解、无解或有无穷多解?
在有解时,求其通解.
无解
,无穷多解.
五、(8分)求向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解:
六、(10分)
证明:
是的一个标准正交基,所以有:
(2)、过渡矩因为
所以为正交矩阵
(3)、因为在基下的坐标是,所以下的坐标是
七、(12分)设实对称矩阵,问是否能与对角阵相似?
若能与对角阵相似,求对角阵及可逆阵,使得,并求(为正整数).
解:
的特征值为。
对应的特征向量为
对应的特征向量为
因为有四个线性无关的特征向量,所以可以对角化。
令,则=,
八、(10分)用非退化线性变换将二次型化为标准型.
解:
,,∴.
有基础解系,,正交化、单位化得,;
有基础解系,取。
令,X=TY,则.
九、(6分)设实对称矩阵和是相似矩阵,证明:
存在正交矩阵,使得.
证:
设为的特征值,因为,所以和有相同的特征值,因此的特征值也是,又因为为实对称矩阵,故存在正交矩阵,使得
令,则为正交矩阵,且。
附:
各章试题分值所占比例
Ch1Ch2Ch3Ch4Ch5Ch6
16分18分18分16分16分16分
北京林业大学 2006–2007 学年第2学期试卷(A)解答
试卷名称:
线性代数Ⅱ课程所在院系:
理学院
考试班级:
学号:
姓名:
成绩:
一、填空题(将正确答案填在题中横线上)(每空3分,共计30分)
1、
2.设α=(2,-1,5),β=(-1,1,1),则α+β=,3α-2β=
3、如果一个向量组线性无关,那么它的任意一个部分组线性__无_关。
4、设三阶可逆矩阵的特征值是、、,则的特征值为1、、,且
5、设A是3阶方阵,且,则=25
6、设,则等于
7、设三阶方阵,其中均是三维列向量,则
8、设矩阵,,,,
则的秩等于__3_____。
二、计算行列式(本大题8分)
三、解答题(本大题6分)
取何值时,矩阵的秩是2.
四、解答题(本大题10分)
五、解答题(本题8分)
求齐次线性方程组的一个基础解系.
解:
对系数矩阵作初等变换:
得同解方程组,取
得一个基础解系:
六、解答题(本题10分)
当k取何值时,方程组有解,并求出此时的通解.
解:
当时,方程组有解且有无穷多解
此时,
七、证明题(本题6分)
八、证明题(本题8分)
.
证明:
根据得
所以当n为奇数时得.
九、解答题(本题14分)
设,
(1)求的特征值和特征向量
(2)求正交矩阵,使为对角阵,并写出对角阵。
解:
(1)的特征值为,
当时,,
对应于的特征的向量为
当时,,
对应于的特征向量为,,
(2)将单位化
,
令,则是正交阵,且
北京林业大学2005-2006学年第一学期考试试卷B
试卷名称:
线性代数课程所在院系:
考试班级学号姓名成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
得分
阅卷人
一、填空题(每空3分,共24分)
1、已知,则
答案:
2、,已知矩阵A的秩r(A)=2,则
答案:
3、设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于
答案:
4、从的基到基的过渡矩阵为 。
答案:
5、在基,,下的坐标是_________。
答案:
6、设为阶矩阵,若,则必有一特征值为__________________.
答案:
7、实对称阵的所有特征值为,则对应二次型的标准形为________________。
答案:
8、二次型的规范形是_____________________。
答案:
二、(10分)计算阶行列式
答案:
三、(8分)解矩阵方程
求
答案:
令
则
四、(10分)求向量组
的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
答案:
一个极大线性无关组为
五、(10分)求常数值,使方程组
答案:
无解
六、(10分)设,
1.求一个与都正交的向量。
2.利用施密特正交化方法,把向量组化为标准正交基
解:
(1)设,由
由于,可解得,为任意常数。
——4分
(2)与都正交,只需正交化。
——9分
七、(10分)设3阶矩阵A的特征值,对应的特征向量为
,求及
解:
令,则,———2分
,———6分
———8分
八、(10分),求可逆矩阵,使为对角矩阵,并给出
解:
特征根为:
———4分
当时,
当时,———8分
故———10分
九、(8分)取何值时,二次型正定?
解:
对应的实对称矩阵,———2分
由,,—6分
可解得,此时正定。
———8分
北京林业大学2007-2008学年第一学期考试试卷A
试卷名称:
线性代数Ⅰ课程所在院系:
考试班级学号姓名成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
阅卷人
试卷说明:
1.考试时间为120分钟,请掌握好答题时间;
2.答题之前,请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚;
3.本试卷所有试题答案写在试卷上;(特殊要求请详细说明)
4.答题完毕,请将试卷和答题纸正面向外对叠交回,不得带出考场;
一、填空题(每空3分,共计33分)
1、设为3阶方阵,且则行列式2.
2、设均为4维列向量,且矩阵,,
如果,则行列式.
3、若,则齐次线性方程组基础解系中解向量的个数为__1___.
4、设是矩阵,则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是r(A,b)=r(A)=n,有无穷多解的充分必要条件是r(A,b)=r(A) 5、设向量与向量都正交,则0,-1. 6、实对称矩阵的特征值都是实数. 7、已知3阶矩阵的特征值是,则的三个特征值为. 8、若二次型是正定的, 则的取值范围是. 9、存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得A=PBQ.这是矩阵A与B等价(相抵) 的充要条件. 二、(8分)计算n阶行列式 解: 三、(10分)解矩阵方程 已知求矩阵. 解: 四、(12分)已知方程组,当为何值时方程组无解? 当为何值时方程组有解? 并求解. 解: 所以 (1)时无解; (2)时有解, 通解为 五、(8分)已知向量组 试证明向量组线性相关;并求向量组的一个极大线性无关组; 将其余向量表示成此极大线性无关组的线性组合. 证: ,则向量组线性相关;是向量组的一个极大线性无关组,且 六、(10分)已知和是线性空间的两组基,其中 (1)求由基到基的过渡矩阵. (2)设向量在基下的坐标为,求在基下的坐标. 解: (1)设 (2)设向量在基下的坐标为X=,在基下的坐标为Y,则 七、(14分)求正交变换,将二次型 化为标准形,并写出正交矩阵. 解: 解: ,,∴. 有基础解系,,正交化、单位化得,; 有基础解系,取。 令,X=TY,则. 八、(5分)设为实对称矩阵,,且.求的迹. 解: 设为A的特征值,为对应的特征向量 又,所以知为重特征值,为重特征值,故。 北京林业大学2008--2009学年第一学期试卷A 试卷名称: 线性代数(56学时)课程所在院系: 理学院 考试班级学号姓名成绩 试卷说明: 1.本次考试为闭卷考试。 认真审题,请勿漏答; 2.考试时间为120分钟,请掌握好答题时间; 3.本试卷所有试题答案写在试卷纸上,其它无效; 4.答题完毕,请将试卷纸正面向外对叠交回,不得带出考场; 一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”) (每小题3分,共12分) 1、若方程组含有自由未知量,则方程组将有无穷多解.(×) 2、一个阶矩阵为非奇异的,当且仅当相抵于(是单位矩阵.(√) 3、任何两个迹相同的阶矩阵是相似的.(×) 4、设是矩阵,则.(√) 二、单项选择题(在每小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内) (每题3分,共15分) 1、已知() ;;;, 2、均为阶方阵,且,则(C). 均为零矩阵;至少有一个矩阵为奇异矩阵; 至少有一个为零矩阵;均为奇异矩阵. 3、是维向量组线性相关的(A)条件. 充分;必要;充分必要;必要而不充分的; 4、设为齐次线性方程组的解,为非齐次线性方程组的解,则(C). 为的解;为的解; 为的解;为的解. 5、设是正交矩阵,是的第列,则与的内积等于() ;;; 三、填空(将正确答案填在题中横线上,每题3分,共21分) 1、设A为三阶方阵,且,则 1/16 2、设都是维行向量,且行列式 ,则__16_____. 3、设是阶矩阵,若齐次线性方程组的基础解系中含有一个解向量, 则O 4、设矩阵,若、可逆,则也可逆且 5、若方程组有解,则7 6、设,则当k= 1/4 时,线性相关。 7、满足时,二次型是正定的. 四、设,且,求.(8分) 五、设 求已知的向量组的一个含有的极大线性无关组,并将其余向量用它线性表示。 (8分) 向量组的一个含有的极大线性无关组为, 六、求方程组的基础解系,并用它表示出方程组的通解.(10分) 解: 对系数矩阵作初等变换: 基础解系是 通解为(为任意常数〕 七、已知是的一组基,设,(8分) 1、求由基到基的过渡矩阵. 2、求在基下的坐标. 解: 由基到基的过渡矩阵为 所以由基到基的过渡矩阵为 故向量在基下的坐标为: 八、用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换。 (12分) 解: 正交矩阵经正交变换,化为标准形: 九、设为矩阵,证明: 如果,那么秩+秩.(6分) 证明: 将分块为: ,因为已知 所以 是方程组的解 取出方程组的一个基础解系: ,其中 所以可由线性表出 故秩秩秩 秩+秩 北京林业大学2009--2010学年第一学期试卷 试卷名称: 线性代数(56学时A卷)课程所在院系: 理学院 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、行列式。 2、设为三阶方阵,已知,则9。 3、方程的解为。 4、设三阶矩阵的三个特征值为,则21。 5、设,,则8,3。 6、设矩阵的秩为2,则常数1。 7、设,则。 8、已知向量组线性相关,则1。 9、已知实向量空间有两组基;, 则由基到基的过渡矩阵。 10、二次型不是(是、不是)正定的。 二、单选题(每小题3分,共15分) 1、如果,则(B)。 2、下列命题成立的是(B)。 若,则;若,则; 若,则;若,则或。 3、向量组线性无关的充要条件是(D)。 均不为零向量; 中有一个部分向量组线性无关; 中任意两个向量的对应分量不成比例; 中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示。 4、设非齐次线性方程组中,系数矩阵且,则(C)。 当时,方程组有惟一解; 当时,方程组有惟一解; 当时,方程组有解; 当时,方程组有无穷多解。 5、设阶矩阵可逆,则(D)。 必有个不同的特征值;必有个线性无关的特征向量; 必相似于一可逆的对角矩阵;特征值必不为零。 三、(10分)解矩阵方程,其中。 解: 四、(10分)验证向量组, 的线性相关性,若线性相关,试求其中一个向量由其余向量线性表出的表达式。 解: 向量组线性相关, ,或, 或,或。 五、(10分)求非齐次线性方程组的一般解。 解: , 六、(8分)求一个正交变换,化二次型为标准形。 解: ; 特征值对应特征向量, 二重特征值对应特征向量,满足, 取两正交向量和。 单位化后得,, 做正交变换,得标准型。 七、(10分)设线性无关,,,,证明线性无关。 证明: 设, , 已知线性无关,得, 系数行列式,齐次线性方程组只有零解,线性无关。 八、(7分)证明: 设为()阶正交矩阵,且,则是的一个特征值。 证明: ,,是的一个特征值。 27
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- 北京林业大学 线性代数 期末 试题 04 10