平面几何四大神奇定理Word文件下载.docx
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【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。
则CD=DA=AB,AC=BD。
由托勒密定理,AC·
BD=AD·
BC+CD·
AB。
【评注】托勒密定理
3.已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
(第21届全苏数学竞赛)
4.△ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P,作PE⊥AB于E,延长ED交AC延长线于F。
BC·
EF=BF·
CE+BE·
CF。
【评注】西姆松定理(西姆松线)
5.
正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比为AM:
AC=CN:
CE=k,且B、M、N共线。
求k。
(23-IMO-5)
【评注】面积法
6.
O为△ABC内一点,分别以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距离,以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距离。
(1)a·
Ra≥b·
db+c·
dc;
(2)a·
Ra≥c·
db+b·
(3)Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。
7.△ABC中,H、G、O分别为垂心、重心、外心。
H、G、O三点共线,且HG=2GO。
(欧拉线)
【评注】同一法
8.△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,BM、BN三等分∠ABC,与AD相交于M、N,延长CM交AB于E。
MB//NE。
【评注】对称变换
9.
G是△ABC的重心,以AG为弦作圆切BG于G,延长CG交圆于D。
AG2=GC·
GD。
【评注】平移变换
10.
C是直径AB=2的⊙O上一点,P在△ABC内,若PA+PB+PC的最小值是
,求此时△ABC的面积S。
【评注】旋转变换
费马点
:
已知O是△ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°
;
P是△ABC内任一点,求证:
PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
(O为费马点)
【分析】将C
C'
,O
O'
,P
P'
,连结OO'
、PP'
则△BOO'
、△BPP'
都是正三角形。
∴OO'
=OB,PP'
=PB。
显然△BO'
≌△BOC,△BP'
≌△BPC。
由于∠BO'
=∠BOC=120°
=180°
-∠BO'
O,∴A、O、O'
、C'
四点共线。
∴AP+PP'
+P'
≥AC'
=AO+OO'
+O'
,即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
14.(95全国竞赛)菱形ABCD的内切圆O与各边分别交于E、F、G、H,在弧EF和弧GH上分别作⊙O的切线交AB、BC、CD、DA分别于M、N、P、Q。
MQ//NP。
【分析】由AB∥CD知:
要证MQ∥NP,只需证∠AMQ=∠CPN,
结合∠A=∠C知,只需证
△AMQ∽△CPN
←
,AM·
CN=AQ·
CP。
连结AC、BD,其交点为内切圆心O。
设MN与⊙O切于K,连结OE、OM、OK、ON、OF。
记∠ABO=φ,∠MOK=α,∠KON=β,则
∠EOM=α,∠FON=β,∠EOF=2α+2β=180°
-2φ。
∴∠BON=90°
-∠NOF-∠COF=90°
-β-φ=α
∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM
又∠OCN=∠MAO,∴△OCN∽△MAO,于是
,
∴AM·
CN=AO·
CO
同理,AQ·
CP=AO·
CO。
【评注】
15.(96全国竞赛)⊙O1和⊙O2与ΔABC的三边所在直线都相切,E、F、G、H为切点,EG、FH的延长线交于P。
PA⊥BC。
16.(99全国竞赛)如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD。
在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G。
∠GAC=∠EAC。
证明:
连结BD交AC于H。
对△BCD用塞瓦定理,可得
因为AH是∠BAD的角平分线,由角平分线定理,
可得
,故
过C作AB的平行线交AG的延长线于I,过C作AD的平行线交AE的延长线于J。
则
所以
,从而CI=CJ。
又因为CI//AB,CJ//AD,故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。
因此,△ACI≌△ACJ,从而∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC。
已知AB=AD,BC=DC,AC与BD交于O,过O的任意两条直线EF和GH与四边形ABCD的四边交于E、F、G、H。
连结GF、EH,分别交BD于M、N。
OM=ON。
(5届CMO)
作△EOH
△E'
OH'
,则只需证E'
、M、H'
共线,即E'
H'
、BO、GF三线共点。
记∠BOG=α,∠GOE'
=β。
连结E'
F交BO于K。
只需证
=1(Ceva逆定理)。
=
=1
注:
筝形:
一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。
对应于99联赛2:
∠E'
OB=∠FOB,且E'
、GF、BO三线共点。
∠GOB=∠H'
OB。
事实上,上述条件是充要条件,且M在OB延长线上时结论仍然成立。
证明方法为:
同一法。
蝴蝶定理:
P是⊙O的弦AB的中点,过P点引⊙O的两弦CD、EF,连结DE交AB于M,连结CF交AB于N。
MP=NP。
【分析】设GH为过P的直径,F
F'
F,显然'
∈⊙O。
又P∈GH,∴PF'
=PF。
∵PF
PF'
,PA
PB,∴∠FPN=∠F'
PM,PF=PF'
又FF'
⊥GH,AN⊥GH,∴FF'
∥AB。
∴∠F'
PM+∠MDF'
=∠FPN+∠EDF'
=∠EFF'
+∠EDF'
,∴P、M、D、F'
四点共圆。
∴∠PF'
M=∠PDE=∠PFN。
∴△PFN≌△PF'
M,PN=PM。
【评注】一般结论为:
已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P,过P作两条相交弦CD、EF,连CF、ED交AB于M、N,已知OP=r,P到AB中点的距离为a,则
(解析法证明:
利用二次曲线系知识)
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- 平面几何 四大 神奇 定理