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dt
a=\a\=+(Ty+a:
4、匀变速运动圆周运动
⑴匀变速运动:
其特点是刁=常矢量,而且有:
v=v0+at
分别为t=0时刻的速度和位置矢量。
⑶圆周运动:
角速度刃三一,单位为rad•s"
;
角加速度”三四,单位为rad•s「2
圆周运动线度量与角度量大小关系为:
v=COr
a=a3+ann=邛〒+arrn
。
了=邛为切向加速度,表示做圆周运动质点的速度大小变化快慢;
“=口2尸为法向加速度,表示速度方向变化的快慢。
5、相对运动
静坐标系中与动坐标系中的物理量关系为:
r=f0+r,v=vQ+v
这里的r0,v0,a0^j动坐标系原点相对静坐标系的物理量。
二、习题解答
1.1一物体从静止开始,
在2s内被匀加速到40m/s,物体的加速度为多少?
在2s内物体运动了多大距离?
解:
物体的加速度为:
vt-vn40-05/2
a===20m/s
t2
物体在2s内运动的距离为:
==40m
2x20
0。
A—
la
1.2质点在水平方向做直线运动,坐标与时间的变化关系为》=也-2尸(SI).试求:
⑴开始的2s内的平均速度和2s末的瞬时速度.⑵Is末到3s末的位移和平均速度.⑶Is末到3s末的平均加速度.⑷3s末的瞬时加速度.
⑴由题意知,物体在2s内的位移为:
x=4r-2r3=4x2—2x2’-
2s内的平均速度为:
_x-8
V——=-4/71/S
2s末的瞬时速度为:
v,=——=4—6r=4—6x2?
=—20m/s2dt
⑵Is末到3s末的位移为:
M=(4x3-2x3'
)-(4x1-2xf)=-44m
Is末到3s末平均速度为:
u,=—=―^-=-22m/s13Z3-1
(3)由运动方程求导,可得各时刻的瞬时速度为:
dx
v=—=
二4-6户
Is末的瞬时速度为:
V,=——=
1dt
二4一6户=4—6x1?
=—2m/s
3s末的瞬时速度为:
V3=竺:
3dt
Is末到3s末平均加速度为:
=4—6产=4—6x32=—50m/s
43=Q=7°
T—2)=_24*s2
13At3-1
3s末的瞬时加速度为:
112
a,———―y-=—2=-12x3=—36m/s2
dtdt
1.3质点以初速度』做直线运动,所受阻力与质点运动速度成正比.求当质点速度减
为业■时(n>
1),质点走过的距离与质点所能走的总距离之比.
n
质点运动过程中所受阻力为:
根据牛顿第二定律:
F=-kv
dv7
m——=—kv
dv7dxm——=—k—dtdt
dv=dx
m
当质点速度减为业■时(〃>
1),质点走过的距离为:
n
~mX1
IVo_vvokn
质点所能走的总距离为:
okX2
[dv=[dx
Jmn
%0
即:
x2n
1.4做直线运动的质点的加速度为a=4+3f(SI).初始条件为1=0时,x=5m,v=0.求质点在f=10s时的速度和位置.
由初始条件:
£
=0时,v=0,可得:
C]=0
3
即v=4t+-t2
2
dx=(4z+—
x=2厂H—尸+C,
22
t=0时,x=5,可得:
C2=5
即x=2t2+-t3+5
当f=10s时
33
v=4z+-r2=4xl0+-xl02=40+150=190m/522
s=2t2+-t3+5=2xl02+-x103+5=200+500+5=705m
1.5质点沿x轴做直线运动,加速度和位置的关系为。
=2+6子(SI).求质点在任
解:
dvdvdxdv_.2
a=―==v—=2+ox
dtdxdtdx
vdv=(2+6x2)dx
由上式两边积分
^dv=g(2+6x2)dxv2=4x+4x3+50x2
又因为va>
0,/.v>
0
v=a/4x+4x3+100
=2Ji+J+25
1.6质点沿半径为1农的圆周运动,运动方程为。
=2+3尸(SI).求:
(1)t=2s时,
质点的切向加速度和法向加速度.⑵当加速度的方向和半径成45°
角时,角位移是多少?
质点运动的角速度和角加速度分别为:
切向加速度:
d62a)=——=9rdt
dcoicoc=—=18,
aT=—=ra=lxl8t=lStTdt
法向加速度:
an=raf=1x(9户尸=81?
⑴当t=2s时
aT=1&
=18x2=36m/s1
%=81广=81x2’=1296m/$2
⑵加速度的方向和半径成45°
时,即aT=
此时角位移
8k4=18r
3=2+3t3=2+3x尸=2.67rad
1.7长为/的细杆绕通过其一端的水平轴在竖直平面内自由转动.当杆与竖直方向的
夹角为。
时,它的角加速度为1=楚7山。
.求:
⑴杆由静止。
=0转至e=-时,杆的角
212
速度.⑵杆的另一个端点的线速度大小.
⑴由于
3g•aa=—svaO
21
迪=¥
成
dt21
a)da)=—sin0d6
由上式两边积分:
^(odco=『里sin小21
⑵杆的另一端的线速度大小为:
v=la>
=』3gl
1.8-长度为5所的直杆斜靠在墙上.初始时,顶端离地面4m,当顶端以2初/s的速度沿墙面匀速下滑时,求直杆下端沿地面的运动方程和速度.
令直杆的上端为A点,坐标为y、下端为B点,坐?
'
标为x。
而且有:
x2+/=52
由题意,有:
dy_,——Zdt
dy=-2dt
y=4-2t
杆的下端的运动方程和速度分别为:
x=^52-/=752-(4-2r)2=J9+16—4尸
dx_8-
dtJ9+I6—4户
1.9以初速度v0=15m/s竖直上抛一物体,在Is末又竖直上抛出第二个物体,后者
在h=llm高度处击中前者,求第二个物体的抛出速度;
若在1.3s末竖直上抛出第二个物体,它仍在h=Um高度处击中前者,求第二个物体的抛出速度.
⑴取g=10m/s2,取第一物体抛出的时间为0时刻,则有先后上抛的两个物体
的位置与时间的关系分别为:
Xi=15r—xlOx"
=]5r—5广12
x2=vQ—1)一;
xl0x(f-l)2=v(^-l)-5(?
-l)2
令X=15r--xlOxr2=15r-5r2=iL求得
f=1.276或1.724
由r=1.724,f=1.276代入X2=v(—1)-5。
—1)2=11分别求得:
v=18.8m/s,v=41.1m/s
(2)%,=15f—xl0x「2=]5r—
x2=v(z-1.3)-|xlOx(r-1.3)2=v(r-1.3)-5a-1.3)2
由于f=1.276<
1.3不可能满足题意;
由f=1.724代入x2=v。
一1.3)-5(r-1.3)2=11求得:
v=28m/5
1.10在离水面高度为力的岸边,有人用绳子拉船靠岸,收绳速率是恒定的%,当船离
岸边距离为s时,试求船的速率与加速度.
如图所示,斜边的绳长为/,有
l2=h2+s2
~dl八ds
2/—=0+2$—dtdt
2lvQ=2su
s
由u=-v0求导s
dlds27I
du_财75。
万_V°
Iv°
丁°
_调妒-尸站_(妒_/2性
1.11质点的运动方程为利,)3+4户j+正(SI).求质点的速度、加速度和轨道方程.
质点的速度为:
v(r)=
质点的加速度为:
"
空鱼=8j
质点的轨迹方程为:
x=l,y=4t~z=t
所以轨迹方程:
x=1
4z2=y
1.12在质点运动中,已知x=aekt,—=-bke~kt,y\n=b,其中a,b,k为常dt扃
量.求质点的加速度和轨道方程.
由x=aekt求导,得
dx-ktvY=——=kaexdt
dvx2kt=—-=kae
xdt
由^=-bke-kt积分,得dt
dy=-bke~ktdt
dy={~bkek,dt
因此
y=-be~k,
v=—=bke~kt
ydt
a=^^=bk2e~ktydt
所以a(t)=k2aektT+k2be-ktj
轨迹方程xy=ab
1.13靶子在离人水平距离50m.高13m处,一个人抛一个小球欲击中靶子.该小球最大的出手速率为v=25m/s,则他是否能击中靶子?
在这个距离上能击中的靶子的最大高度是多少?
⑴设可以击中速度方向与水平轴夹角为。
,则有:
vcos0
19
Vyt--gt2=13
vsin。
一—-xl0.(^—)2=13
vcosO2vcosS
m.u2500“
5QtgO—5x=13
v2cos2e
当v=25m/s,取最大值时,
50即--=13
cos"
3
ecic2013cos2^+20(cos2^+sin23)
cos26
5°
对=13+宙=
50对=33+20妒。
20妒。
—50孵+33=0
A=502-4x20x33=2500—2640=-140
A<
0,无解,所以不可以击中
⑵Vx=VCOS0
vy=vsin。
5050
12
h=vyt--gt~
501z50
令高度为力
/z=vsine(——一)2
vcosff2vcosO
5〃u2500
h=5Otg0-5—:
v2cos^2
当v=25m/s
h=5Otg0-^-cos6
cos20
顷八20(cos2^+sin20)h=5Qtg0-
h=50tg0-20-20tg20
10(5/6—2电2°
一2)
f=5tg0-2tg26-2
=-2(对-2
f<
-
8
—90…匚
h<
—m—11.25/71
1.14汽车以5m/s的速度由东向西行驶,司机看见雨滴垂直下落.当汽车速度增至10m/s时,看见雨滴与他前进方向成120°
角下落.求雨滴对地的速度.
且有kABC三邸B'
C'
即ZACB=60°
AC=BC=10
cos60°
而对地=10m/s
1.15甲船以10km/h的速度向东,乙船以5km/h的速度向南同时出发航行.从乙船
看,甲船的速度是多少?
方向如何?
又如果从甲船看,乙船的速度是多少?
方向如何?
V=v-v
大小为:
v=V102+52=545kmIs
方向:
南偏西方向arcfg2
1.16设河面宽1饥2,河水以2m/s的速度由北向南流动,小船相对于河水以1.5m/s
的速率从东岸划向西岸.⑴当船头与正北方向夹角为15°
求船到达对岸的时间以及船到达对岸的地点•⑵要使船到达对岸的时间最短,求船头与河岸的夹角、最短时间以及船到达对岸的地点.⑶要使船相对于河岸的走过的路程最短,求船头与河岸的夹角、所用时间以及船到达对岸的地点.
d=\km
1.5m/s———
2m/s
解(°
"
船地='
水地+"
船水
v=2j+1.5sinl5°
F-1.5cosl5°
j=1.5sinl5°
F+(2-1.5cosl5°
)j
v,=1.5sin15°
=0.39
v、.=2—1.5cos15°
=0.55
d1000
-n-2564s
Vv1.5sin15°
y=3=(2—1.5cos15。
)1°
°
=1410m
l71.5sin15°
⑵要使船到达对岸的时间最短(即船头向正西方向行驶,即船头与岸的夹角为90。
d1000“「'
min=——=——=666.Is
V船L5
y2=Vyt^=2x666.7=1333.4m
⑶要使船到达对岸大的距离最短,设船头以正北方向夹角为。
vx=1.5sin。
%=2-1.5cos。
c,u小10001000(2-1.5cos6>
y=vyt=(2-1.5cos=
1.5sin。
1.5
sin。
令理=0,得:
cos。
-10075
d_1000_1000
vr1.5sin01仁V7l.5x——
4
y=vyt=(2-1.5cos0)t-881m
1.17电梯以1.2m/s2的加速度下降,某人在电梯开始下降后0.5s在离电梯底面1.5m.
高处释放一小球.求此小球落到底面所需的时间和它对地面下落的距离.
释放小球时,小球与电梯速度相同,两者的速度大小为:
v0=atx=1.2m/sx0.5s=0.6m/s2
小球释放后,初始时,小球相对电梯的速度为v;
=0;
小球相对电梯的加速度为:
a=g—a=10-1.2=8.8m/s2h=—af
小球对地的下落距离为:
1,1,
H—vot+—gt^=0.6x0.58+—x10x0.58"
=2.03m
1.18火车以5m/s的速度沿x轴正方向行驶,站台上一人竖直上抛出一小球,相对
1,
于站台小球的运动方程为x=0,y=v0t--gt2(v0)g是常量)•⑴求火车中的观测者看到的小球的运动方程.假设运动坐标系和静止坐标系x轴同向且重合,y轴平行,当^=0时,两个坐标系的原点重合.⑵求在运动坐标系中,小球的运动轨道.⑶在两个坐标系中的观测者看到的小球的加速度各是多少?
⑴小球在动坐标系中的运动方程为:
x=—5t
1,y^vot--gt
(2)在动坐标系中,小球的运动轨道方程为:
小球运动轨道为抛物线。
⑶在两个坐标系中的观测者看到的小球的加速度相同,均大小等于g,方向竖直向
下。
第2章质点和质点系动力学
1、牛顿三定律几种常见的力
⑴惯性定律(即牛顿第一定律):
任何物体都保持静止或匀速直线运动状态,直到有外力迫使其改变这种状态为止。
-dP-
⑵牛顿第二定律:
F=——,P=mv,当〃?
为常量时,F=ma
⑶牛顿第三定律:
物体间的作用力总是成对出现,称为作用力和反作用力,它们大小相等,方向相反,且作用于同一条直线上。
瓦2=-政
说明:
①作用力和反作用力不是一对平衡力(因为分别作用于两个相互作用的物体上);
2作用力和反作用力总是成对出现,即同时出现,同时变化,同时消失;
3作用力和反作用力属于相同性质的力。
⑷力学中常见的几种力:
重力:
G-mg
万有引力:
户=—G。
竺1*7
r
弹性力(通常称为弹力):
F=-kx(这里的不是坐标,而是指物体的形变量)。
摩擦力:
分滑动摩擦力和静摩擦力。
滑动摩擦力大小为:
f=jU0N
静摩擦力大小为:
fk=jUkN,(fk为最大静摩擦力。
2、质点的动量定理质点系的动量定理和动量守恒定律
⑴冲量:
/=£
Fdt,冲量为一个矢量,冲量是力的时间积累。
⑵质点的动量定理:
(其讨论的对象是指单个质点)质点在运动过程中所受合外力的冲量,等于该质点物体的动量增量。
用平均力表不==/nv-mv0,&
为力作用于质点上的时间。
⑶质点系的动量定理:
(讨论的对象为由多个质点组成的质点系)
仅弓力=源-源。
*T
\i7ii
即质点系总动量的增量等于作用于质点系上的合外力的冲量。
质点系中内力的作用只是在质点系内交换各质点的动量,对质点系的总动量的改变没有页献。
⑷动量守恒定律:
当£
E=o时,有:
i
AP=O,即P=P0
若但是£
瓦=°
,则有△》。
0,而M=°
,即RF
ii
3、动能定理功和功率保守力的功
⑴功:
dA=Fdr,A=JFdr=^Fxdx+Fydy+Fzdz^1*2—1010
⑵动能定理:
A=IFdr—Ek2—Eki=—mvf—mvf
』22
即,动能定理是外力所做的功等于物体动能的增量。
⑶功率:
P=一,P=Fv
⑷保守力的功:
常见的保守力有重力、万有引力、弹性力等。
重力的功Aah=£
Gzdz=-mgdz=~(.mgzb-mgza)
万有引力的功A*=fF•dr=一『G竺#dr=—[(—G—)—(一G—)]
*如广rbra
弹性力的功Ab-fFdx=-f'
kxdx--(—kxb~-—kx~)Ja妃22
保守力做功的特点:
①保守力做功仅由物体的始末位置决定,而与中间路径无关;
②保守力
沿任意一条闭合路径做功之和为零,即
=0
L
4、势能机械能守恒定律
⑴势能:
重力势能Ep=mgz
mM
万有引力势能E=-G——r
弹性势能E=-kx2
p2
⑵机械能守恒定律:
当质点不存在外力做功和非保内力做功时,有
E=Ep+Ek=常量
5、惯性力
⑴加速平动系中的惯性力户'
三-1吨
⑵匀速转动系中的静止物体所受的惯性力(也称惯性离心力)F'
=-man=marR7
6、碰撞问题
恢复系数e=—~—
Hof
1当e=O,则v2=V],即两球碰撞后以相同的速度运动,称为完全非弹性碰撞
2当e=l,则分离速度等于接近速度,此时碰撞前后总动能守恒,故是弹性碰撞.
碰撞后两物体的速度分别为:
_(l+e)m2(v10-v20)
V1_V1O■
m{+m2
、,_、,Jl+eWviof)
V2—V20'
mx+m2
2.1一斜面的倾角为。
,质量为徂的物体正好沿斜面匀速下滑.当斜面的倾角增大
为J3时,求物体从高为h处由静止下滑到底部所需的时间.
y
设斜面摩擦系数为#。
当倾角为。
时,■
\
fi-mgsin«
=O'
、n,f
Nx-mgcosa=0f\="
N\
求得:
ju=tga
当斜面倾角为贞角时,设物块的下滑加速度为。
N2-mgcos”=0
mgsin0-j\=ma
f2=奶2=Njga
a=gsm/3-gcos/3tga
物体从斜面下滑所需要的时间为:
2/?
cosa
2h
asin”NgsinjSsin(g-a)
2.2用力f推地面上的一个质量为m的木箱,力的方向沿前下方,且与水平面成。
角.木箱与地面之间的静摩擦系数为〃0,动摩擦系数为以广求:
⑴要推动木箱,/■最小为多少?
使木箱做匀速运动,f为多少?
⑵证明当。
大于某值时,无论f为何值都不能推动木箱,并求。
值.
⑴当f的水平分力克服最大静摩擦力时,木箱可以运动,即
fcosoc>
fl0(mg+fsincr)
cos<
z-//0sintz
jUQmg
Jmin♦
cos6tf-//0sina
使木箱做匀速运动,则
fcosoc=p,k(mg+/sina)cosa-//ksincr
⑵由能推动木箱的条件:
/costz>
/z0(mg+fsin«
fcosa-jUQfsina>
/LL^mg
若/cos6r-//0/sincr<
0时,上式不可能成立,即不可能推动木箱的条件为:
11
tga>
——,a>
arctg——
AoAo
2.3质量为5000kg的直升飞机吊起1500kg的物体,以0.6m/s2的
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