人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结资料Word文档格式.docx
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例题解析
例1:
在△ABC中,∠BAC=60°
,∠C=40°
,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+A。
Q
证明:
如图
(1),
过O作OD∥BC交AB于D,
∴∠ADO∠=ABC=18°
0-60°
-40°
=80°
,
又∵∠AQO∠=C+∠QBC=8°
0,
∴∠ADO∠=AQO,
又∵∠DAO∠=QAO,OA=A,O
∴△ADO≌△AQO,
∴OD=O,QAD=AQ,
又∵OD∥BP,
∴∠PBO=∠DOB,
又∵∠PBO=∠DBO,
∴∠DBO=∠DOB,
∴BD=O,D
又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°
,∠BOP=∠OBA+∠BAO=7°
0,∴∠BOP=∠BPO,∴BP=OB,
∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=A。
Q+BQ
解题后的思考:
(1)本题也可以在AB上截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形,即“截长法”
(2)本题利用“平行法”的解法也较多,举例如下:
①如图
(2),过O作OD∥BC交AC于D,则△ADO≌△ABO从而得以解决。
④如图(5),过P作PD∥BQ交AC于D,则△ABP≌△ADP从而得以解决。
小结:
通过一题的多种辅助线添加方法,体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。
而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的,体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。
从变换的观点可以看到,不论是作平行线还是倍长中线,实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。
例2:
如图所示,在ABC中,AD是BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一
点,试比较PBPC与ABAC的大小,并说明理由.
PBPCABAC,理由如下.
如图所示,在AB的延长线上截取AEAC,连接PE.因为AD是BAC的外角平分线,
故在
CAPEAP.
ACP和AEP中,ACAE,CAPEAP,AP公用,ACP≌AEP,
从而PCPE.
在BPE中,PBPEBE,
而BEBAAEABAC,
故PBPCABAC.
P是AD上任意一点.
例3:
在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分线.
求证:
ABACPBPC.
在AB上截取AEAC,连结EP,根据SAS证得AEP≌ACP,∴PEPC,AEAC又BEP中,BEPBPE,BEABAC,∴ABACPBPC类型三:
等腰直角三角形模型
1、在斜边上任取一点的旋转全等:
操作过程:
(1)将△ABD逆时针旋转90°
,使△ACM≌△ABD,从而推出△ADM为等腰直角三角形.(但是写辅助线时不能这样写)
(2)过点C作MC⊥BC,连AM导出上述结论.
2、定点是斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等:
连AD.
(1).使BF=AE(AF=CE),导出△BDF≌△ADE.
(2).使∠EDF+∠BAC=180°
,导出△BDF≌△ADE.例题解析
两个全等的含30°
,60°
的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD得中点M,连接ME,MC,试判断△EMC的形状,并证明。
连接AM,证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.
已知:
如图所示,Rt△ABC中,AB=AC,BAC90,O为BC中点,若M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN=CM.
(1)是判断△OMN的形状,并证明你的结论.
(2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时,四边形AMON的面积如何变化?
思路:
两种方法:
由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导由△ABE≌△BCD导出
ED=AE-CD出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD
例1:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,BAC90,D为AC中点,AF⊥BD于E,交BC于F,连接DF。
∠ADB=∠CDF.
方法一:
过点C作MC⊥AC交AF的延长线于点M.先证△ABD≌△CAM,再证△CDF≌△CMF即可.
方法二:
过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证△ABH≌△CAF,再证△CDF≌△ADH即可.
方法三:
过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt△AMF≌Rt△BMH,得出HF∥AC.由M、D分别为线段AC、BC的中点,可得MD为△ABC的中位线从而推出MD∥AB,又由于BAC90,故而MD⊥AC,MD⊥HF,所以MD为线段HF的中垂线.所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2,则∠ADB=∠CDF.
类型五:
手拉手模型
1.△ABE和△ACF均为等边三角形
结论:
(1).△ABF≌△AEC
(2).∠BOE=BAE=60°
(“八字模型证明”)
(3).OA平分∠EOF
拓展:
条件:
△ABC和△CDE均为等边三角形
(1)、AD=BE
(2)、∠ACB=∠AOB(3)、△PCQ为等边三角形
(4)、PQ∥AE(5)、AP=BQ(6)、CO平分∠AOE(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD((7),(8)需构造等边三角形证明)
2.△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
(1)、BE=CD
(2)BE⊥CD
3.ABEF和ACHD均为正方形
(1)、BD⊥CF
(2)、BD=CF
四、半角模型
1
且+=180,两边相等.
1、补短(旋转)
辅助线:
①延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°
得△ABF,注意:
旋转需证F、B、M
点共线
(1)MN=BM+DN;
2)CCMN=2AB;
3)AM、AN分别平分∠BMN、∠MND.
2、翻折(对称)
①作AP⊥MN交MN于点P
②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折,但一定要证明M、P、N三点共线.
例1、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM+
DN,求证:
(1)∠MAN=45°
;
3)AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.
变式:
在正方形ABCD中,已∠知MAN=45°
,若M、N分别在边CB、DC的延长线
上移动,
AH⊥MN,垂足为H,
(1)试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系;
(2)求证:
AB=AH
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