第22单元++函数综合应用王海港.docx
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第22单元++函数综合应用王海港
第22单元函数综合应用
联想融通:
初三数学研究了哪三类函数?
这些函数能包容你学过的哪些数学知识?
请想想这些综合题的类型是什么样的?
①函数关系式一般由图象、数据、几何图形、实际背景四种的方式确定,其中前两种要用待定系数法,后两种要找图形与实际问题中的数量关系;②问最大最小、变化趋势时要用函数性质,求一个数值时需转化为方程,求几种方案、或最优方案、或一个范围时要转化为不等式.
一、根据信息判定函数与应用类[9]
解法归一:
法一:
数据差的比值一定的是一次函数、每组数据积一定的是反比例函数、其他是二次函数;法二:
画图,直线一次、双曲线反比例、抛物线二次.
感慨:
分析数据,根据数据描出图象判定出函数类型,然后再利用得到的函数模型解决实际问题”是真正用数学、是最贴近实际的应用题,最符合课标要求的,但恰恰是我们做的少,最不习惯、最不熟悉的,所以把它放在函数综合的最前面。
例22-1某款燃气灶旋钮位置从0度到90度(如图22-1-1),燃气关闭时,燃气灶旋钮的位置为0度,旋钮角度越大,燃气流量越大,燃气开到最大时,旋钮角度为90度.为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量,在相同条件下,选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时,其火力不能够将水烧开,故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90),记录相关数据得到下表:
旋钮角度(度)
20
50
70
80
90
所用燃气量(升)
73
67
83
97
115
(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?
说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式;
(2)当旋钮角度为多少时,烧开一壶水所用燃气量最少?
最少是多少?
(3)某家庭使用此款燃气灶,以前习惯把燃气开到最大,现采用最节省燃气的旋钮角度,每月平均能节约燃气10立方米,求该家庭以前每月的平均燃气用量.
体验与感悟22-1
1.某汽车在刹车后行驶的距离S(单位:
米)与时间t(单位:
秒)之间的关系得部分数据如下表:
时间t(秒)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
…
行驶距离s(米)
0
2.8
5.2
7.2
8.8
10
10.8
…
(1)根据这些数据在图22-1-2的坐标系中画出相应的点;
(2)选择适当的函数表示S与t之间的关系,求出相应的函数解析式;
(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?
②当t分别为t1,t2(t1<t2)时,对应S的值分别为S1,S2,请比较
与
的大小,并解释比较结果的实际意义.
2.某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现,此商品的日销售单价x(单位:
元)与日销售数量y(单位:
张)之间有如下关系:
销售单价x(元)
3
4
5
6
日销售量y(元)
20
15
12
10
(1)根据表中数据在平面直角坐标系中描出实数对(x,y)的对应点;
(2)确定y与x之间的函数关系式,并画出图象;
(3)设销售此贺卡的日纯利润为w元,试求出w与x之间的函数关系式.若物价局规定该贺卡售价最高不超过10元/张,请你求出日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润?
-
3.某公司销售一种进价为20元/个的计算机,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表:
价格x(元/个)
…
30
40
50
60
…
销售量y(万个)
…
5
4
3
2
…
同时,销售过程中的其他开支(不含造价)总计40万元.
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式.
(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万个)与销售价格x(元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少?
(3)该公司要求净得利润不能低于40万元,请写出销售价格x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元?
二、“每每型”问题[9]
说明:
所谓“每每题”即内容有“每降低*元,就多销**件”的题目.是典型的利润最大化、成本最低化问题,也有人称之为“二次函数最优化方案问题”。
解法归一:
找到“参照量”,即“跟谁比降了升了,跟谁比多了少了”,多用一次函数表示“单价”
再用教量关系“总利润=单利×数量,或总利润=总收入一各种成本”得到一个二次函再来确定最大值或最小值.
例22-2-1某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
交流:
括号内提供的信息原来如此重要!
实际问题中二次函数最值不一定都是在它的顶点取!
例22-2-2恩施州绿色、富晒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在该州收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇每天需支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式.
(2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?
体验与感悟22-2
1.今年,6月12日为端午节.在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题.
2.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每 辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.
(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为元(用含x的代数式表示);
(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?
最大是多少元?
(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
交流分享:
别忘了小括号内的要求、注意x表示的是什么?
问题是什么?
3.有一种葡萄:
从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周,如果放在冷藏室,可以延长保鲜时间,但每天仍有一定数量的葡萄变质,假设保鲜期内的重量基本保持不变,现有一位个体户,按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内,此时市场价为每千克2元,据测算,此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元,但是,存放一天需各种费用20元,平均每天还有1千克葡萄变质丢弃.
(1)设x天后每千克鲜葡萄的市场价为P元,写出P关于x的函数关系式;
(2)若存放x天后将鲜葡萄一次性出售,设鲜葡萄的销售金额为y元,写出y关于x的函数关系式;
(3)问个体户将这批葡萄存放多少天后出售,可获得最大利润Q?
最大利润Q是多少?
(本题不要求写出自变量x的取值范围)
交流分享:
有烂掉、死掉的利润题,用“总利润=总销售额—总成本”就不会出错.
4.某科技开发公司研制出一种新型的产品,每件产品的成本为2400元,销售单价定为3000元,在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)该公司的销售人员发现:
当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获得的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,公司所获得的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?
(其它销售条件不变)
交流分享:
把价格定为获得最大利润时的单价,就不会出现随着销量增大利润反而减少的现象了.
提醒:
解答本部分顺利吗?
哪道题的哪一问有点意思?
共性是什么?
应注意什么?
三、与图象、表格结合的函数综合类[9]
解法归一:
识图确定函数类型、确定坐标,从表中读出关键信息。
注意:
①见拐点就分类;②计算要准确,③最值不一定在顶点处.
例22-3张经理到老王的果园里一次性采购一种水果,他俩商定:
张经理的采购价y(元/吨)与采购量x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A,但包含端点C).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)已知老王种植水果的成本是2 800元/吨,那么张经理的采购量为多少时,老王在这次买卖中所获的利润w最大?
最大利润是多少?
体验与感悟22-3
1.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历从亏损到盈利的过程,图22-3-2中的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润y(万元)与销售时间x(月)之间的关系(即前x个月的利润之和y与x之间的关系).
(1)根据图上标注的已知点坐标,求累积利润y(万元)与销售时间x(月)的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元?
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
2.某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:
cm)在5~50之间,每张薄板的成本价(单位:
元)与它的面积(单位:
)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:
元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例,在营销过程中得到了表格中的数据.
薄板的边长(cm)
20
30
出厂价(元/张)
50
70
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式;
(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润是26元(利润=出厂价-成本价).
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式;
②当边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?
最大利润是多少?
3.某年长江中下游地区发生了特大旱情,为抗旱保丰收,某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法,其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
型号
金额
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
投资金额
(万元)
5
2
4
补贴金额
(万元)
2
2.4
3.2
(1)分别求
和
的函数解析式;
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
4.一列火车自A城驶往B城,沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B),该列火车挂有一节邮政车厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个.
例如,当列车停靠在第x个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的(x-1)个车站发给该站的邮包共(x-1)个,还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个车站的邮包共(n-x)个.
(1)根据题意,完成下表:
车站序号
在第x个车站起程时邮政车厢邮包总数
1
n-1
2
(n-1)-1+(n-2)=2(n-2)
3
2(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)
4
5
…
…
n
(2)根据上表,写出列车在第x车站启程时,邮政车厢上共有邮包的个数y(用x、n表示);
(3)当n=18时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多?
5.
(1)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图22-3-3①所示.请说明图中①、②两段函数图象的实际意义;
(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的函数关系式;在图22-3-4②的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果;
(3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图22-3-3③所示,该经销商拟每日售出60kg以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大.
6.某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图22-3-4①中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系;图22-3-4②中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.
(1)试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式;
(2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大?
最大利润是多少万元?
提醒:
回忆解答图象信息的关键是什么?
四、函数与统计类[9]
解法归一:
用统计结果作为下面计算的依据,或从统计结果中发现函数关系,或用统计或概率公式作为建立函数条件,别的与其他函数题没有区别.
例22-4某地区适宜种植A品种苹果。
(1)图22-4是甲地果树科研人员对每亩种植55棵的实验田内A品种苹果树的地块进行抽样后所作的单株盛产期的产量统计图
请你根据这个统计图,直接写出A品种苹果盛产期的单株产量的中位数、众数,求出它的平均单株产量;
(2)甲地的果树科研人员经综合实验研究还发现:
在每亩55棵苹果树的情况下,随着每亩种植苹果树数量的增加,单株的平均产量开始减产,每亩增加的苹果棵树x(株)与平均每棵梨树的产量m(千克)之间的关系如下表所示:
增加的棵树x(棵)
…
10
15
20
…
每棵梨树的产量m(千克)
…
130
120
110
…
①上表数据中m是x的一次函数,请你直接写出来:
;
②在①的条件下,求A品牌的苹果的亩产量y(千克)与x的函数关系式;
③在①的条件下,求每亩种植A品牌苹果树多少棵时,它的平均亩产量最多?
最多是多少千克?
体验与感悟22-4
1.某公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下条形统计图22-5.
未来40天内,前20天每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为
(1≤t≤20,且t为整数),后20天每天的价格30元/件 (21≤t≤40,且t为整数).下面我们就来研究销售这种商品的有关问题:
(1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式;
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程.公司通过销售记录发现,前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大,求a的取值范围.
五、较难函数综合题[9]
解法归一:
函数背景的压轴题,它所用的知识并不难,只是阅读量一般都较大,“读进去”是前提,读懂它关键、计算准是必须.
例22-5某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.
若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=
x+150,
成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).
若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为
常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳
x2 元的附加费,设月利润为w外(元)(利润 = 销售额-成本-附加费).
(1)当x = 1000时,y =元/件,w内 =元;
(2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?
若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?
体验与感悟22-5
1.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:
第一年的年产量为
(吨)时,所需的全部费用
(万元)与
满足关系式
,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价
,
(万元)均与
满足一次函数关系.(注:
年利润=年销售额-全部费用)
(1)成果表明,在甲地生产并销售
吨时,
,请你用含
的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润
(万元)与
之间的函数关系式;
(2)成果表明,在乙地生产并销售
吨时,
(
为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定
的值;
(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据
(1),
(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?
2.启明公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x(万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且
,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费:
(1)试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大,最大年利润是多少万元?
(2)把
(1)中的最大利润留出3万元作广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:
项目
A
B
C
D
E
F
每股(万元)
5
2
6
4
6
8
收益(万元)
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
1
如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元,问有几种符合要求的投资方式?
写出每种投资方式所选的项目.
次数n
2
1
速度x
40
60
指数Q
420
100
3.某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:
一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.
(1)用含x和n的式子表示Q;
(2)当x=70,Q=450时,求n的值;
(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值;
(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)
同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420,若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
4.为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为:
.
(年获利=年销售收入-生产成本-投资成本)
(1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件?
(2)求该公司第一年的年获利W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?
若盈利,最大利润是多少?
若亏损,最小亏损是多少?
(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:
一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,请你确定此时销售单价的范围。
5.连接上海市区到浦东国际机场的磁悬浮轨道全长约为30km,列车走完全程包含启动加速、匀速运行、制动减速三个阶段.已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速动行共需200秒,在这段时间内记录下下列数据:
时间t(秒)
0
50
100
150
200
速度v(米/秒)
0
30
60
90
120
路程x(米)
0
750
3000
6750
12000
(1)请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段(0≤t≤200)速度v与时间t的函数关系、路程s与时间t的函数关系.
(2)最新研究表明,此种列车的稳定动行速度可达180米/秒,为了检测稳定运行时各项指标,在列车达到这一速度后至少要运行100秒,才能收集全相关数据.若在加速过程中路程、速度随时间的变化关系仍然满足
(1)中的函数关系式,并且制作减速所需路程与启动加速的路程相同.根据以上要求,至少还要再建多长轨道就能满足试验检测要求?
(3)若减速过程与加速过程完全相反.根据对问题
(2)的研究,直接写出列车在试验检测过程中从启动到停车这段时间内,列车离开起点的距离y(米)与时间t(秒)的函数关系式.(不需要写出过程)
六、掷球、涵洞类[9]
解法归一:
在初中,“掷出的球、打出的炮”所运行的轨迹就是“抛物线”,按二次函数的方法解之即可.这类题目对人们正确理解二次函数有着非常重要的作用.属基础性题目,我们必须熟悉它.
例22-6-1如图22-6-1,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).
(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内?
(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内?
交流分享:
根据题知找出坐标(如果无坐标系先建立直角坐标系),正确求得二次函数关系式,再根据问题找解决途径.
体验与感悟22-6
1.如图22-6-2,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式
.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.
(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?
球会不会出界?
请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.
2.某
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