全国初中数学联赛试题及答案修正版.docx
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全国初中数学联赛试题及答案修正版
2008年全国初中数学联赛试卷
(第一试)
一、选择题
1.设a2+1=3a,b2+1=3b,且a≠b,则代数式
1
1
a
2+2的值为(
)
b
(A)5.
(B)7.
(C)
9.
(D)
11.
2.如图,设AD,BE,CF为三角形
ABC的三条高,
若AB=6,BC=5,EF=3,则线段
BE的长为(
)
18
21
24
(A)5.
(B)4.
(C)5.
(D)5.
3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中依次取出两张,把第一张卡片上的数字作
为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍
数的概率是()
1321
(A)5.(B)10.(C)5.(D)2.
4.在△ABC中,∠ABC=12°,∠ACB=132°,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,
且点M,N分别在直线
AC和直线AB上,则(
)
(A)
BM>CN.
(B)
BM=CN.
(C)
BM<CN.
(D)
BM和CN的大小关系不确定.
5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价
10%或20%,若干天后,这5
种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为
r,则r
的最小值为(
)
9
3
9
4
9
5
9
(A)
(8)
.
(B)
(8).
(C)
(8)
.
(D)
8.
6.已知实数
x,y满足(x-
2
-2008
)(y-2
-
)=2008,则
3x2-2y2+3x-3y-2007
x
y
2008
的值为(
)
(A)
-2008.
(B)
2008.
(C)
-1.
(D)1.
二、填空题
5-1
a5+a4-2a3-a2-a+2
1.设a=
2
,则
a3-a
=_________.
2.如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上的两点,
且AM=
5,∠MAN=135°,则四边形AMCN的面积为___________.
1/5
3.已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为
m,n,且│m│+
│n│<1.设满足上述要求的
b的最大值和最小值分别为
p,q,则│p│+│q│=
__________.
4.依次将正整数1,2,3,⋯的平方数排成一串:
149162536496481100121144⋯,排在第1
个位置的数字是
1,排在第5个位置的数字是
6,排在第10个位置的数字是
4,排在第2008
个位置的数字是
___________.
第二试
一、已知a2+b2=1,对于满足条件0≤x≤1的一切实数x,不等式
a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0恒成立.当乘积ab取最小值时,求a,b的值.
二、如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且AB=BC.
(1)证明:
点O在圆D的圆周上.
(2)设△ABC的面积为S,求圆D的的半径r的最小值.
三、设a为质数,b为正整数,且9(2a+b)2=509(4a+511b)求a,b的值.
2/5
参考答案
第一试
选择题
1.B2.D3.C4.B5.B6.D
填空题.
1.-22.
5
3.
1
4.1
2
2
第二试
一、已知a2
b2
1,对于满足条件
0
x
1
的一切实数x,不等式
a(1x)(1xax)bx(bxbx)
0恒成立.当乘积ab取最小值时,求
a,b的值.
解:
设f(x)
a(1
x)(1
x
ax)
bx(b
x
bx),则
f(x)
a(1
x)2
a2x(1
x)
bx2
b2x(1x)
=a(1x)2
bx2
(a2
b2)x(1
x)=a(1x)2
bx2
x(1x)
当x
0时,f(0)
a
0,当x
1时,f
(1)
b
0,故a
0,b
0.
若a
0,则b
1,f(x)
2x2
x,不恒大于等于
0,故a
0,即a
0,同理b0.
当0
x1时,f(x)[a(1
x)
bx]2
(2ab1)x(1
x)
(1)
当
a(1
x)
bx,即x
a
(0,1)
时,
a
b
f(x)
(2
ab
1)x(1
x)
0,故2
ab
1
10,即ab.
4
(2)
当ab
1
2
ab
1
0
时,
,即
4
f(x)[
a(1
x)
bx]2
(2
ab
1)x(1
x)
0
6
2
6
2
综上所述,ab最小值是1
a
a
,此时
4
或
4
.
4
6
2
6
2
b
4
b
4
3/5
二、如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且ABBC.
(1)证明:
点O在圆D的圆周上.
(2)设△ABC的面积为S,求圆D的的半径r的最小值.
解:
(1)
连接OA,OB,OC,则OA
OB
OC,又
ABAC,故等腰
ABOBCO,
ABO
CBO.由于
BC为圆D的切线,
故弦切角
ABC所夹劣弧长为
OBC所夹劣弧长的2
倍,即半径BO所在直径通过弧
AB的中点,即点O在圆
D上.
(2)连接AD,BD,则
2r
AD
BDAB,
r
2
AB
2
ABAC,又
AB
AC
2S
,故
4r
2
2S
,即
r
2S
,且当
AB
为圆
故
4
2
D的直径时可以取等号,故
r的最小值是
2S
2
.
三、设a为质数,b为正整数,且9(2a
b)2
509(4a
511b)
求a,b的值.
解:
将原等式整理为关于
b的一元二次方程:
9b2
(36a
509
511)b
36a2
4
509a
0,由于b为正整数,则方程判别式
(36a
509511)2
49(36a2
4
509a)
5092(5112
72a)是完全平方
数,即5112
72a
为完全平方数,设
5112
72a
t2(t
N),则
5112
t2
72a,即(511
t)(511
t)
72a,由于(511
t)(511
t)
1022,故
(511t),(511t)同为奇数或者同为偶数,且不同是被
3整除.
当a
2时,检验得
5112
72
2不是完全平方数
当a
3
时,检验得5112
72
3不是完全平方数
当a
5
时,由上面分析可知
72a
2
36a
418a
2a
36
4a
18
共4种分解
方式可能满足条件.
当
511t
2
85
不是整数,当
511
t
4
时,a
509
t
时,a
3
511
t18a
不是整数,
511
36a
9
4/5
511
t
2a
511
t
36
17
29不是质数,
当
t
36
或
t
时,a493
511
511
2a
511
t
18
时,a
251是质数,此时只有
b
7满足条件,
当
t
4a
511
综上所述,a
251,b7.
5/5
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