数学建模跳高问题.docx
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数学建模跳高问题
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。
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年月日
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2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
跳高运动中数学问题
摘要
跳高经过百余年的演变和发展,已经达到了非常高的水平。
在这种情况下,研究当前跳高项目的竞技能力特征及其主导因素对于更新我们的观念,准确把握跳高运动项目发展脉搏,制定跳高运动项目的规划,实施训练重点及促进跳高水平的快速提高将具有重要意义。
针对问题一和问题二,本文采用阻滞增长模型进行预测,根据logistic模型,对数据进行拟合,得到相应的函数,根据函数,预测出下一届奥运会的成绩。
其中得到男子的极限成绩为2.4024米,女子的为2.1173米。
下一届奥运会男子冠军的成绩为2.3845米,女子冠军成绩为2.0707米。
与已有30届奥运跳高冠军成绩男子2.38米,女子2.05米比较,男子数据相当吻合,当然影响比赛成绩的因数很多,实际成绩与预测成绩难免有差异,因为控制跳高的关键是人,而不是时间和数学模型。
所以预测成绩与女子冠军的实际成绩相差0.02米,已属于相当完美。
针对问题三,本文先对附表内容进行分析,建立各身体素质指标与跳高成绩的散点图,发现其符合线性关系,因此,采用多元线性回归模型对国际男子的身体素质进行了分析,此外,我们还用到了随机数法检验多元线性回归模型得到的成绩,利用rand函数产生一组随机数,对模型进行了检测,发现与真实数据非常吻合。
同样的,我们将国内男子的各项身体素质指标与跳高成绩建立了散点图,发现其不符合线性关系,所以我们采用了非线性回归模型对国内男子身体素质进行了分析,其中还用到了逐项回归模型,从逐项回归图中,我们可以清楚的看到跳高成绩与助跑摸高的相关性极强,与其他因素相关性则较弱。
在问题四中,我们以背越式为例,具体分析了运动学对背越式跳高的影响。
背越式主要步骤为助跑,起跳,过杆和落地,背越式技术可以更好的利用起跳的的功率,使身体重心腾起的更高,表现在运动员的助跑速度、起跳速度和过杆速度的提高,尤其重视摆动技术在提高起跳速度和过杆合理性方面的重要作用。
关键词:
极限预测、拟合、logistic模型、多元线性回归、随机数检测、非线性多元回归、逐项回归
一问题重述
随着科学技术的发展和竞技体育标准的不断提高,“数学模型”在我国体育领域中的应用研究越来越广泛。
通过建立数学模型,进行精度分析,可以为运动员的培养提供科学的训练依据。
不少颇有远见的高水平运动队,通过对运动员体能、技能、心理等竞技能力水平指标和训练方式、训练负荷、训练量等信息的收集分析,来进行辅助训练、决策并卓有成效。
跳高(HighJump)运动是田径运动的田赛项目,是一种由有节奏的助跑、单脚起跳、越过横杆落地等动作组成,以越过横杆上缘的高度来计算成绩的运动项目。
最初起源于英国,1864年,英国首先将跳高列入田赛比赛项目,英国运动员罗伯特·柯奇以“跨越式”创造了1.70米的第一个跳高世界纪录。
1895年美国人斯维尼发明了“剪式”跳高,并以这种姿势创造了1.97米的世界纪录。
滚式跳高亦源于美国,1912年,在美国斯坦福大学的运动会上霍林用“滚式”跳过了2.007米的横杆,成为世界上第一个突破2米大关的人。
俯卧式跳高起于20世纪20年代的苏联运动员伏洛佐夫,1936年美国运动员阿尔布里顿创造了2.07米的世界纪录后,才得到人们的认同和重视并开始被普遍采用。
现在,经过百余年的演变和发展,已达到相当高的水平。
尤其是背越式技术的出现,使跳高运动水平有了新的突破。
目前世界跳高运动总体水平正处于稳定发展时期,然而我国的跳高运动却出现了滑坡现象。
在这种形势下,我们对当代世界跳高运动发展特点进行研究。
对中国和世界的跳高成绩进行比较研究,分析影响跳高成绩的关键因素,能使我们更多地了解和掌握世界跳高的动态及发展趋势。
请你们的团队从附表1给出的历届奥运会跳高冠军成绩,附表2、表3分别给出的某一时期国际、国内运动员训练素质与比赛成绩数据,以及国际田联(http:
//www.iaaf.org/statistics/toplists/index.html)1978年以来男、女跳高竞赛成绩,国际奥委会官方网站(http:
//www.olympic.org/athletics)等有关网站搜索相关资料和补充新的数据,解决如下问题:
1.通过国际田联、或国际奥委会官方网站提供数据,建立数学模型,分析
男、女跳高运动成绩极限状态;
2.预测即将到来的30届伦敦奥运会男、女跳高冠军成绩;
3.就附表1、表2数据,选择合适的方法,从身体素质角度分析影响跳高
运动员成绩的重要因素;
4.从运动学角度分析影响跳高运动员成绩的因素。
二、问题分析与建模求解
1)问题一、二
1.模型假设:
阻滞增长模型
我们假设运动员跳高成绩增长率
是跳高原成绩
的线性减函数,即随着跳高成绩的增加,跳高成绩增长速度会慢慢下降:
运动员跳高成绩最终会达到饱和,且趋于一个常数
,当
时,增长率为0:
由上面的关系式可得出:
把上式代进指数增长模型的方程中,并利用初始条件
,可以得到:
解得:
2.定义符号说明:
-----------------------------------运动员跳高成绩增长率
------------------------------------跳高原成绩
-------------------------------------跳高成绩的极限
3.模型建立与求解:
表1历届奥运会男、女跳高冠军成绩
届
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
年份
1896
1900
1904
1908
1912
1920
1924
1928
1932
1936
男子(米)
1.81
1.90
1.80
1.90
1.93
1.93
1.98
1.94
1.97
2.03
女子(米)
1.59
1.657
1.60
届
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
年份
1948
1952
1956
1960
1964
1968
1972
1976
1980
1984
男子(米)
1.98
2.04
2.12
2.16
2.18
2.24
2.23
2.25
2.36
2.35
女子(米)
1.68
1.67
1.76
1.85
1.90
1.82
1.92
1.93
1.97
2.02
届
24
25
26
27
28
29
年份
1988
1992
1996
2000
2004
2008
男子(米)
2.38
2.34
2.39
2.35
2.36
2.36
女子(米)
2.03
2.02
2.05
2.01
2.06
2.05
1)男性
利用初始条件
,可以得到:
解得:
同理,女性有
利用初始条件
,可以得到:
解得:
我们可以利用已有数据拟合求解得(程序见附件一):
可以预测第30届伦敦奥运会男、女冠军成绩分别为2.3845、2.0707。
如下图为男女冠军成绩增长曲线:
图1男女冠军成绩增长曲线
2)问题三
1、影响国际男子跳高成绩重要因素
多元线性回归模型:
一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化,在现实问题研究中,因变量的变化往往受几个重要因素的影响,此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化,这就是多元回归亦称多重回归。
当多个自变量与因变量之间是线性关系时,所进行的回归分析就是多元性回归。
一:
多元回归
1.1.多元回归模型(multipleregressionmodel)
称为多元线性回归模型
1.2.多元线性回归模型包含一个因变量与两个或两个以上自变量.
1.3.误差项ε为随机变量
1.4.
为模型的参数,称回归系数
1.5.误差项ε是一个期望值为0的随机变量,即E()=0.
1.6.误差项ε的方差都相等,即
1.7.误差项服从正态分布,即
称
为总体多元线性回归方程.表示当其他变量不变,而每变动一个单位时,E(y)相应的变值.
二、估计的多元回归的方程
2.1
2.2、参数的最小二乘估计
使因变量的观察值y与估计值之间的离差平方和达到
最小来求,即使
达到最小.称
为
的最小二乘估计.
根据微积分中求极值的原理,应是下列正规方程组的解
表2国际男子跳高运动员各项素质指标
序号
跳高成绩
Y
30
行进跑X1
三级跳远
X2
助跑摸高(净高)
X3
助跑4—6步跳高
X4
后抛铅球
X5
深蹲杠铃
X6
杠铃半蹲系数
X7
100
X8
1
2.4
2.6
10.1
1.25
2.25
16
200
2.55
10.7
2
2.31
2.9
9.65
1.18
2.18
15
177.5
2.32
10.9
3
2.39
2.7
10.05
1.24
2.24
15.9
197.5
2.52
10.8
4
2.33
2.9
9.75
1.19
2.19
15.3
182.5
2.37
10.9
5
2.37
2.8
9.95
1.22
2.22
15.7
192.5
2.47
10.8
6
2.27
3
9.45
1.16
2.15
14.2
170
2.2
11
7
2.35
2.8
9.85
1.2
2.2
15.5
187.5
2.42
10.8
8
2.34
2.9
9.8
1.19
2.2
15.4
185
2.39
10.9
9
2.28
3
9.5
1.16
2.16
14.4
170
2.24
11
10
2.32
2.9
9.7
1.18
2.18
15.2
180
2.34
10.9
11
2.36
2.8
9.9
1.21
2.21
15.6
190
2.45
10.8
12
2.3
3
9.6
1.17
2.17
14.8
175
2.29
10.9
13
2.29
3
9.55
1.17
2.16
14.6
172.5
2.26
10.9
14
2.26
3
9.4
1.15
2.14
14
176.5
2.18
11
15
2.38
2.7
10
1.23
2.23
15.8
195
2.5
10.8
三.逐项回归
我们根据表中所给数据,分析得到各个影响跳高成绩的身体素质指标与跳高成绩的相关性。
画出Xii=1,2,,,8;与Y的散点图,判断X与Y的线性相关性。
由图得知X1,X8,即3行进跑,100m跑的成绩与跳高成绩Y没有相关性,至少没有其他因素与跳高成绩的相关性强,所以在拟合回归方程时对30m行进跑,100m跑的成绩不予考虑。
以下为国际男子跳高运动员各项素质指标与跳高成绩的散点分布图:
图2三十米行进跑与跳高成绩的关联性
图3三级跳远与跳高成绩的相关性
图4助跑摸高与跳高成绩的相关性
图5助跑4—6跳高与跳高成绩的相关性
图6后抛铅球与跳高成绩的相关性
图7深蹲杠铃与跳高成绩的相关性
图8杠铃半蹲系数与跳高成绩的相关性
图9100m跑与跳高成绩的相关性
图10残差分析图
注释:
黑色直线点可是为异常点
3.1拟合系数B(原程序见附件二)
b=
0.380000000000056
0.199********9989
0.000000000000094
-0.000000000000037
0.000000000000002
-0.000000000000000
-0.000000000000001
b相应的置信区间
bint=
0.3799999999996300.380000000000482
0.199********99030.200000000000074
-0.0000000000000700.000000000000259
-0.0000000000002170.000000000000143
-0.0000000000000080.000000000000012
-0.0000000000000000.000000000000000
-0.0000000000001390.000000000000137
3.2残差
r=
1.0e-014*
-0.044408920985006
0.044408920985006
0.044408920985006
0.044408920985006
0.133********50190
.0888********
0.044408920985006
0.044408920985006
0.044408920985006
0.044408920985006
-0.044408920985006
0.044408920985006
0.044408920985006
残差置信区间
rint=
1.0e-014*
-0.1748278768184590.086010034848446
.0756********
-0.1027926362233760.191610478193389
-0.1117248234783310.200542665448343
0.0060064507179470.260447075192090
-0.1133479756662370.113347975666237
-0.0346886698798020.212324353819827
.0378********
-0.0430716190760010.131********6013
-0.1004434577352740.189********5287
-0.150********96030.150********9603
-0.1242592096302900.213077051600302
-0.177********41250.088966602754112
0.0444089209850060.044408920985006
-0.1185162131057560.207334055075769
残差置信区间包含0点,说明回归模型
y^=0.38+0.19999*x2
能较好地符合原始数据
3.3相关系数平方R;假设统计变量F;及F对应的频率
stats=
17.88760373475343e+0271.22480195141135e-1105.91645678915759e-031
R^2为1说明自变量与因变量有较好的相关性。
得到回归方程:
y^=0.38+0.19999*x2
表3原始数据与预测数据的比较
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
原始成绩Y(m)
2.4
2.31
2.39
2.33
2.37
2.27
2.35
2.34
2.28
预测成绩y^(m)
2.400
2.310
2.390
2.330
2.369
2.270
2.349
2.339
2.279
序号
10
11
12
13
14
15
原始成绩Y(m)
2.32
2.36
2.3
2.29
2.26
2.38
预测成绩y^(m)
2.319
2.360
2.2999
2.290
2.259
2.379
四.产生随机数进行模型检测
4.1算跳高运动员的各项身体素质指标是符合均匀随机分布的,我们可以利用产随机数的方法来检测我们得到的多元回归方程。
4.2随机数的产生方法:
首先利用rand函数产生一组0-1分布的均匀随机数R要产生在(N,M)上的均匀随机数,
Y=N+R*(M-N)
即可产生.
4.3利用产生随机数的方法,在带入到我们的回归方程利用MATLAB软件得到一组运动员的跳高成绩如下:
(程序见附件三)
表4利用产生随机数的方法得到的跳高成绩
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
成绩
2.365
2.295
2.3308
2.357
2.38
2.394
2.336
2.279
序号
9
10
11
12
13
14
15
成绩
2.280
2.296
2.377
2.295
2.373
2.294
2.390
2、影响国内男子跳高成绩重要因素
一:
问题分析
1.1利用MATLAB画图工具画出影响运动员跳高成绩的各项身体素质指标与运动员跳高成绩的X—Y散点图如下图。
由图可以直观的得出结论:
跳高成绩与运动员身体素质指标没有很明显的线性相关性。
所以我们不能利用线性回归方程来给出预测模型。
1.2同时我们利用MATLAB软件逐项回归函数,也可以得出相同的结果,又图8可知,在影响运动员跳高成绩的各项身体素质指标中只有X3即助跑摸高与跳高成绩有线性相关性。
所以对于国内男子跳高成绩,我们可以用非线性回归的方法来预测。
二:
非线性回归方程
2.1非线性回归是在影响因变量的多个自变量与因变量线性相关性不强的时候,采用的一种函数拟合预测方法。
我们可以利用MATLAB自带函数来给出预测。
(程序见附件四)
2.2回归可以用以下两个命令之一:
(1):
确定回归系数的命令:
【betra,r,j】=nlinfit(X,Y,’model’,betr0)其中,输入数据X,Y分别是[n,m]矩阵和n维列向量;betr0是回归系数的初值。
Betra是估计出来的回归系数,r(残差),J是估计预测误差需要的数据。
(2)非线性回归命令:
nlintool(X,Y,’model’,beta0,aplha)
其中各参数含义同上,alpha为显著性水平,缺省时为0.05.命令产生一个交互式的画面,画面中有拟合的曲线和Y的置信区间。
对某些非线性回归也可以化为线性回归来预测。
表5国内男子跳高运动员各项素质指标
序号
跳高成绩
立定跳远
原地纵跳
助跑摸高
深蹲杠铃
半蹲杠铃
100跑
30
行进跑
11
2.19
3.15
90
3.6
155
320
11.4
3.7
2
2.21
2.9
80
3.6
165
320
10.76
3.45
3
2.18
3.2
90
3.5
145
260
11.2
3.56
4
2.2
3.11
86
3.43
110
260
10.75
3.44
5
2.39
3.11
94
3.71
125
200
10.9
3.43
6
2.12
2.95
75
3.52
140
220
11.8
3.65
7
2.2
3
80
3.52
110
300
11.5
3.7
8
2.18
3.2
95
3.43
165
310
11.5
3.7
9
2.12
2.86
84
3.4
140
290
12.1
4
10
2.08
2.9
85
3.35
130
280
11
3.6
11
2
3.2
90
3.25
150
305
11.3
3.6
表6非线性回归模型产生的预测成绩
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
原始成绩
2.19
2.21
2.18
2.2
2.39
2.12
2.2
2.18
预测成绩
2.2313
2.1923
2.1741
2.1686
2.3982
2.1257
2.2023
2.1485
序号
9
10
11
原始成绩
2.12
2.08
2
预测成绩
2.1041
2.1046
2.0198
影响运动员跳高成绩的各项身体素质指标散点图:
图11深蹲杠铃与国内男子跳高成绩的相关性
图12半蹲杠铃与国内男子跳高成绩的相关性
图13100米跑与国内男子跳高成绩的相关性
图1430米跑与国内男子跳高成绩的相关性
逐步回归图
图15国内男子各项素质指标与跳高成绩的逐步回归图
图16国内男子预测成绩与真实成绩对比图
3、结果分析与总结
研究主要结论如下:
通过散点图以及多元线性模型分析,国际男子的各项素质指标主要与三级跳远、助跑摸高(净高)、助跑4—6步跳高、后抛铅球、深蹲杠铃、杠铃半蹲系数有关。
我国男子的各项素质指标主要与助跑摸高有极大地相关性,而与跳高、立定跳远、原地纵跳、深蹲杠铃、原地杠铃、100m跑、30m跑的相关
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- 数学 建模 跳高 问题