秋高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ本章复习学案设计 新人教A版必修1.docx
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秋高中数学第二章基本初等函数Ⅰ本章复习学案设计新人教A版必修1
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
本章复习
学习目标
①复习巩固指数、对数的运算性质,进一步熟练地运用指数函数、对数函数及幂函数的性质解决一些问题;
②在学生对教材知识掌握的基础上,引导学生利用所学的知识解决问题,提高学生分析问题与解决问题的能力.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
1.n次方根的定义:
n次方根:
如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.n次方根的性质
(1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,记为 ;
(2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,记为 ;
(3)负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.
3.
4.有理数指数幂的运算性质
an=(n∈N*);a0=1(a≠0);a-n=(a≠0,n∈N*).
(1)am·an=am+n(m,n∈Q);
(2)(am)n=amn(m,n∈Q);
(3)(ab)n=an·bn(n∈Q).
其中am÷an=am·a-n=am-n,()n=(a·b-1)n=an·b-n=.
5.对数:
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 .其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当a>0,且a≠1时,ax=N⇔x=logaN(符号功能)——熟练转化;
常用对数:
以10为底log10N写成 ;
自然对数:
以e为底logeN写成 (e=2.71828…).
6.对数的性质
(1)在对数式中N=ax>0(负数和零没有对数);
(2)loga1=0,logaa=1(1的对数等于0,底数的对数等于1);
(3)如果把ab=N中的b写成 ,则有=N(对数恒等式).
7.对数的运算性质:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(M·N)= ;
(2)loga= ;
(3)logaMn= ;
(4)logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)(换底公式);
(5)logab= ;
(6)lobn= .
8.指数函数的性质
函数名称
指数函数
定义
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数
图象
a>1
0 定义域 值域 过定点 图象过定点 ,即x=0时,y=1 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是 函数 在R上是 函数 函数值的 变化情况 y>1(x>0),y=1(x=0),0 y>1(x<0),y=1(x=0),0 a变化对 图象的 影响 在第一象限内,a越大图象越高,越靠近y轴; 在第二象限内,a越大图象越低,越靠近x轴 在第二象限内,a越小图象越高,越靠近y轴; 在第一象限内,a越小图象越低,越靠近x轴 9.对数函数的性质 函数名称 对数函数 定义 函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数 图象 a>1 0 定义域 值域 过定点 图象过定点 ,即x=1时,y=0 奇偶性 单调性 在(0,+∞)上是 函数 在(0,+∞)上是 函数 函数值的 变化情况 logax>0(x>1) logax=0(x=1) logax<0(0 logax<0(x>1) logax=0(x=1) logax>0(0 a变化对 图象的 影响 在第一象限内,a越大图象越低,越靠近x轴, 在第四象限内,a越大图象越高,越靠近y轴 在第一象限内,a越小图象越低,越靠近y轴, 在第四象限内,a越小图象越高,越靠近x轴 10.反函数 (1)反函数概念 函数y=ax(x∈R)与对数函数y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数. (2)反函数的性质 互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 11.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①图象分布: 幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限; ②过定点: 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1); ③单调性: 如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果α<0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴; ④奇偶性: 当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当α=(其中p,q互质,p和q∈Z),若p为奇数q为奇数时,则y=是奇函数,若p为奇数q为偶数时,则y=是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则y=是非奇非偶函数; ⑤图象特征: 幂函数y=xα,x∈(0,+∞),当α>1时,若0 二、典例分析,性质应用 1.指数、对数运算 熟练掌握指数的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则.公式是指数、对数函数及其一切运算赖以施行的基础. 【例1】计算下列各式的值. (1)(0.027-()-2+(2-(-1)0; (2)lg5(lg8+lg1000)+(lg)2+lg+lg0.06. 【例2】设4a=5b=100,求2()的值. 【例3】(选讲)已知f(x)=,且0 (1)求f(a)+f(1-a)的值; (2)求f()+f()+f()+…+f()的值. 说明: 如果函数f(x)=,则函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=1. 2.指数函数、对数函数、幂函数的图象 熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是熟练求解指、对、幂问题的关键. 【例4】已知c<0,下列不等式中成立的一个是( ) A.c>2cB.c>()cC.2c<()cD.2c>()c 【例5】方程2x-x2=2x+1的解的个数为 . 【例6】0.32,log20.3,20.3这三个数之间的大小顺序是( ) A.0.32<20.3 C.log20.3<0.32<20.3D.log20.3<20.3<0.32 【例7】方程log3x+x=3的解所在的区间是( ) A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞) 【例8】函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( ) 3.指数函数、对数函数的性质 【例9】比较下列每组中两个数的大小. (1)2.10.3 2.10.4; (2)()1.3 ()1.6;(3)2.10.3 ()-1.3;(4)log51.9 log52;(5)log0.70.2 log0.52;(6)log42 log34. 【例10】求下列函数的定义域. (1)y=; (2)y=;(3)y=lo(3x-2);(4)y=. 【例11】求下列函数的值域. (1)y=1-2x,x∈[1,4]; (2)y=3+log2x,x∈[1,+∞). 【例12】解下列不等式. (1)<2x-1<4; (2)log0.7(2x) 变式: 设函数f(x)=若f(x0)<2,求x0的取值范围. 4.指数、对数型复合函数的单调性 指数、对数函数的单调性应用十分广泛,可以用来比较数或式的大小,求函数的定义域、值域、最大值、最小值,求字母参数的取值范围等. 对复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在(c,d)上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数.可推广为下表(简记为同增异减): u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 【例13】如果函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,求实数a的取值范围. 【例14】求下列函数的单调区间. (1)f(x)=(; (2)y=log5(x2-2x-3). 变式: 求下列函数的单调区间. (1)y=; (2)y=log0.1(2x2-5x-3). 【例15】函数y=loga(x-4)的单调增区间是(4,+∞),求实数a的取值范围. 【例16】(选讲)求函数y=4x+2x+1+3在区间[0,1]上的最大值与最小值. 【例17】求函数y=2lox-lox2+1(≤x≤4)的值域. 5.探究问题 【例18】课本P75习题2.2B组第5题. (1)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗? (2)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗? 三、作业精选,巩固提高 1.计算下列各式的值. (1)lo(3+2); (2)lg25+lg2×lg50; (3)log6[log4(log381). 2.求下列函数的定义域. (1)y=; (2)y=;(3)y=;(4)y=loga(x-1)2(0 3.求下列函数的值域: (1)y=()x+2,x∈[-1,2]; (2)y=log2(x2-4x-5). 4.求函数y=log2·log2(x∈[1,8])的最大值和最小值. 5.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求实数a的值. 6.求下列函数的单调区间. (1)f(x)=; (2)f(x)=log4(2x+3-x2); (3)f(x)=(0 7. (1)y=lox是减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围; (3)已知函数f(x)=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围; (4)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,求实数a的取值范围. 8.求不等式loga(2x+7)>loga(4x-1)(a>0,且a≠1)中x的取值范围. 9.已知f(x6)=log2x,求f(8). 10.判断函数f(x)=lg(-x)的奇偶性. 11.已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求不等式f(x)>0的解集. 参考答案 一、复习回顾,承上启下 2. (1)- (2)± 5.x=logaN lgN lnN 6.(3)logaN 7. (1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)nlogaM (5) (6)logab 8.R (0,+∞) (0,1) 增 减 9.(0,+∞) R (1,0) 非奇非偶 增 减 10. (2)y=x 11. (1)y=xα 二、典例分析,性质应用 【例1】 (1)-45; (2)1. 【例2】2. 【例3】 (1)1; (2)500. 【例4】解析: 在同一坐标系中分别作出y=x,y=()x,y=2x的图象(如图),显然x<0时,x<2x<()x,即c<0时,c<2c<()c,故选C. 答案: C 【例5】解析: 原方程即2x=x2+2x+1,在同一坐标系中画出y=2x,y=x2+2x+1的图象,由图象可知有3个交点. 答案: 3 【例6】解析: 如图,在同一坐标系中作出函数y=2x,y=x2及y=log2x的图象.观察图象知当x=0.3时,log20.3<0.32<20.3.选C. 答案: C 【例7】解析: 直接解方程是无法实现的,而借助数形结合思想作出图象,则问题易于解决. 设y1=log3x,y2=-x+3,在同一坐标系中画出它们的图象(如图),观察可排除A,D.其交点P的横坐标应在(1,3)内.又x=2时,y1=log32<1,而y2=-x+3=1,且知y1是增函数,y2是减函数,所以交点P的横坐标应在(2,3)内,故选C. 答案: C 【例8】解析: f(x)的图象过点(1,1),g(x)的图象过点(0,2),只有C符合,故选C. 答案: C 【例9】 (1)<; (2)>;(3)<;(4)<;(5)>;(6)<. 【例10】 (1)(-∞,)∪(,+∞); (2)[0,+∞);(3)(,+∞);(4)(5,6]. 【例11】 (1)[-15,-1]; (2)[3,+∞). 【例12】 (1)(0,3); (2)(1,+∞). 变式: (-1,1) 【例13】(-,-1)∪(1,) 【例14】 (1)减区间: (3,+∞),增区间: (-∞,3); (2)增区间: (3,+∞),减区间: (-∞,-1). 变式: (1)增区间: (1,+∞),减区间: (-∞,1); (2)减区间: (,3),增区间: (-). 【例15】(1,+∞) 【例16】最大值为11,最小值为6. 【例17】解: 令lox=u,∵≤x≤4,∴-2≤u≤2, 函数变为y=2u2-2u+1=2(u-)2+(-2≤u≤2). ∴当u=时,ymin=;当u=-2时,ymax=13. 由u=得,x=,由u=-2得,x=4. ∴x=时,函数取最小值,x=4时,函数取最大值13,∴函数的值域为[,13]. 【例18】 (1)y=log2x,y=log0.3x; (2)y=3x,y=0.1x. 三、作业精选,巩固提高 1. (1)2; (2)1;(3)0. 2. (1)(-∞,0]; (2)(-,-];(3)(1,4)∪(4,+∞);(4)(-∞,1)∪(1,+∞);(5)(-1,0)∪(0,2). 3. (1)[,5]; (2)R. 4.ymin=-,ymax=2. 5. 6. (1)减区间: (1,+∞),增区间: (-∞,1); (2)增区间: (-1,1),减区间: (1,3);(3)a>1时,增区间: (-1,+∞),减区间: (-∞,-1);a<1时,增区间: (-∞,-1),减区间: (-1,+∞). 7. (1)(-,-1)∪(1,); (2)(-4,4];(3)(1,2);(4)(). 8.a>1时,x的取值范围为(,4);0 9. 10.奇函数 11. (1)(-1,1);
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