难点突破:立体图形的外接球与内切球问题.docx
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2019届高三数学第一轮复习教学案18:
难点突破:
立体图形的外接球与内切球问题
一、基础知识与概念:
1.球的截面:
用一个平面去截球,截面是圆面;用一个平面去截球面,截面是圆.
大圆:
截面过球心,半径等于球半径(截面圆中最大);小圆:
截面不过球心.
2.球心和截面圆心的连线垂直于截面.
3.球心到截面的距离与球半径及截面圆半径的关系:
.
4.几何体的外接球:
几何体的顶点都在球面上;几何体的内切球:
球与几何体的各个面都相切.
二、多面体的外接球(球包体)
模型1:
球包直柱(直锥):
有垂直于底面的侧棱(有垂底侧边棱)
球包
直柱
球径公式:
,
(为底面外接圆半径)
球包正方体
球包长方体
球包四棱柱
球包三棱柱
球包直锥
三棱锥
四棱锥
速算
模型2:
“顶点连心”锥:
锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心(两心一顶连成线)
实例:
正棱锥
球径计算方程:
,
(为棱锥的高,为底面外接圆半径)
特别地,
(1)边长为正四面体的外接球半径:
______________.
(2)底面边长为,高为的正三棱锥的外接球半径:
__________.
(3)底面边长为,高为的正四棱锥的外接球半径:
__________.
例:
1.(2017年全国卷III第8题)已知圆柱的高为,它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
A. B. C. D.
【解析】模式辨识:
“球包体”中的“垂底侧边棱(母线)”类型,,,底面半径为,则由得:
,.
2.(2010年全国新课标卷第10题)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为
A. B. C. D.
【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型,,,,
所以该球的表面积.答案B.
3.(2014年全国大纲卷第8题)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为
A. B. C. D.
【解析】模式辨识:
“球包体”中的“顶点连心锥”,,,则,
所以,答案:
A.
4.(2013年全国卷I第6题)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6,如果不计容器的厚度,则球的体积为
A. B. C. D.
【解析】设水面与球的接触点(切点)为,球心为,则垂直于正方体的上表面,依题意到正方体上表面的距离为,球与正方体上表面相交圆的半径,有:
,
,所以球的体积.
三、定心大法:
球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上.
两圆定心法:
如下图,过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线,由两垂线的交点确定圆心.
例2:
1.已知边长为的棱形中,,现沿对角线折起,使得二面角为,此时点,,,在同一个球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
2.在矩形中,,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积为___________.
3.在边长为的菱形中,,沿对角线将菱形折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积为_____________.
四、正多面体的内切球(体中球)
锥体的内切球:
____________.
圆锥的内切球:
边长为的正方体:
等边圆柱(母线):
.
边长的正八面体:
五、正多面体的“切边球”(与所有的棱都相切的球)
正四面体边长为,球半径
正方体边长为,球半径
正四面体边长为,球半径
例3:
1.一个球的外切正方体的全面积为,则球的体积为_________.
2.某圆锥的截面为边长为的正三角形,则该圆锥的内切球的表面积为_______.
3.(2016年全国卷III第10题)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,若,,,,则的最大值是
A. B. C. D.
【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景,有,故当球半径为时球的体积最大为.答案B.
练习:
1.(2015年全国卷II第9题)已知,是球的球面上两点,,为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为
A. B. C. D.
2.(2016年福建漳州市5月质检)三棱锥中,平面,,是边长为的正三角形,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
3.(2014年湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()
A. B. C. D.
4.(2013年辽宁卷理10)已知三棱柱的个顶点都在球的球面上,若,,,,则球的半径为( )
A. B. C. D.
5.(2012年全国新课标卷第11题)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为
A. B. C. D.
6.在正三棱锥中,,侧棱与底面所成的角为,则该三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知底面边长为,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()
A. B. C. D.
8.(2017年福建省质检).空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E、F分别是AB、CD的中点,且,若,则该球的半径等于
A. B. C. D.
9.若三棱锥的最长的棱,且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接球的体积是__________.
10.(2008年高考浙江卷理14)已知球的面上四点、、、,平面,,,则球的体积为____________.
11.(2016年东北三省三校联考)三棱柱各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,,,,则这个球的表面积为____________.
12.在三棱柱中,侧棱垂直底面,,,,且三棱柱的体积为,则三棱柱的外接球表面积为_________.
13.在正三棱锥中,,分别是棱、的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是____________.
14.在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的表面积为__________.
15.(2017年天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为,则这个球的体积为______.
16.(2017年江苏卷)如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是_____________.
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