数学建模课后习题作业Word格式文档下载.docx
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代表人的状态,人在该左岸或船上取值为1,否则为0;
代表猫的状态,猫在该左岸或船上取值为1,否则为0;
代表鸡的状态,鸡在该左岸或船上取值为1,否则为0;
代表米的状态,米在该左岸或船上取值为1,否则为0;
状态向量,代表时刻K左岸的状态;
决策向量,代表时刻K船上的状态;
限制条件:
初始状态:
目标:
确定有效状态集合,使得在有限步内左岸状态由
根据乘法原理,四维向量共有种情况,根据限制条件可以排除三种情况,其余13种情况可以归入两个集合进行匹配,易知可行决策集仅有五个元素:
状态集有8个元素,将其进行匹配,共有两种运送方案:
方案一:
人先带鸡过河,然后人再回左岸,把米带过右岸,人再把鸡运回左岸,人再把猫带过右岸,最后人回来把鸡带去右岸(状态见表1);
方案二:
人先带鸡过河,然后人再回左岸,把猫带过右岸,人再把鸡运回左岸,人再把米带过右岸,最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)。
表1:
方案一的状态与决策
时刻
左岸状态
船上
(1,1,1,1)
(0,0,0,0)
(0,1,0,1)
(1,0,1,0)
(1,1,0,1)
(1,0,0,0)
(0,1,0,0)
(1,0,0,1)
(1,1,1,0)
(0,0,1,0)
(1,1,0,0)
表2:
方案二的状态与决策
(0,0,0,1)
(1,0,1,1)
3、报童每天清晨从报社购进报纸零售,晚上将没有卖完的报纸退回。
设每份报纸的购进价为,零售价为,退回价为,应该自然地假设。
这就是说,报童售出一份报纸赚,退回一份报纸赔。
报童如果每天购进的报纸太少,不够卖的,会少赚钱;
如果购进太多,卖不完,将要赔钱。
请你为报童筹划一下,他应该如何确定每天购进报纸的数量,以获得最大的收入。
报纸具有时效性每份报纸进价b元,卖出价a元,卖不完退回份报纸c元。
设每日的订购量为n,如果订购的多了,报纸剩下会造成浪费,甚至陪钱。
订的少了,报纸不够卖,又会少赚钱。
为了获得最大效益,现在要确定最优订购量n。
n的意义。
n是每天购进报纸的数量,确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入,另一方面也可以让报社确定每日的印刷量,避免纸张浪费。
所以,笔者认为n的意义是双重的。
本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。
1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同,所以要确定每日的订购量n。
2、假设报纸每日的需求量是r,但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟,毫无经验,无法掌握需求量r的分布函数,只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。
3、假设每日的定购量是n。
4、报童的目的是尽可能的多赚钱。
应该根据需求量r确定需求量n,而需求量r是随机的,所以这是一个风险决策问题。
而报童却因为自身的局限,无法掌握每日需求量的分布规律,已确定优化模型的目标函数。
但是要得到n值,我们可以从卖报纸的结果入手,结合r与n的量化关系,从实际出发最终确定n值。
由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。
现在用简单的数学式表示这三种结果。
1、赚钱。
赚钱又可分为两种情况:
①r>
n,则最终收益为(a-b)n
(1)
②r<
n,则最终收益为(a-b)r-(b-c)(n-r)>
0
整理得:
r/n>
(b-c)/(a-c)
(2)
2、由
(2)式容易得出不赚钱不赔钱。
r/n=(b-c)/(a-c)
(3)
3、赔钱。
r/n<
(4)
首先由
(1)式可以看出n与最终的收益呈正相关。
收益越多,n的取值越大。
但同时订购量n又由需求量r约束,不可能无限的增大。
所以求n问题就转化成研究r与n的之间的约束关系。
然后分析(3)、(4)两式。
因为(3)、(4)分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况,而我们确定n值是为了获得最大收益,所以可以预见由(3)、(4)两式确立出的n值不是我们需要的结果,所以在这里可以排除,不予以讨论。
最后重点分析
(2)式。
显然式中r表需求量,n表订购量,(b-c)表示退回一份儿报纸赔的钱。
因为(a-c)无法表示一个显而易见的意义,所以现在把它放入不等式中做研究。
由a>
b>
c,可得a-c>
a-b,而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。
然后采用放缩法,把
(2)式中的(a-c)换成(a-b),得到
(b-c)/(a-b)
(5)
不等式依然成立。
由(5)式再结合
(1)式可知收益与n正相关,所以要想使订购数n的份数越多,报童每份报纸赔钱(b-c)与赚钱(a-b)的比值就应越小。
当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小,订购数就应越多。
5、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船,分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。
各种艇虽大小不同,但形状相似。
现在考虑八人艇分重量级组(桨手体重不超过86kg)和轻量级组(桨手体重不超过73kg),建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%。
符号
意义
艇长
艇宽
总功率
艇排水体积
艇与浆手总重
赛艇净重
重量级浆手重量
轻量级浆手总重
艇的浸没面积
重量级艇速
轻量级艇速
艇前进时受到的阻力
重量级赛艇成绩(时间)
轻量级赛艇成绩(时间)
比例常数
1.为常数,赛艇净重与浆手数目成正比,即;
2.赛艇前进时收到阻力与成正比;
3.每个浆手比赛时划桨功率保持不变,且功率与体重成正比。
克服阻力做功功率为,因此总功率满足,且,我们用量纲法进行建模:
对于重量级八人赛艇:
(1)
(2)
(3)
由上述各式有:
,因此(4)
且已知(5)
又赛艇总重;
由于假设2可知:
(为常数),因此有。
我们如下定义:
(6)
从而(7)
根据阿基米德定律,根据(7)式:
(8)
将(8)式代入(5)式中有:
(9)
将(9)式代入(4)式中有:
(10)
因为V与t成反比,有:
(11)
同理,对于轻量级快艇,我们有:
(12)
结合(11)与(12)式,我们可以知道两种快艇成绩比值的关系:
(13)
根据(13)式,我们有重量级八人赛艇比轻量级八人赛艇的成绩领先率为:
我们令W1=86kg,W2=73kg
在十分接近1时,;
在的情况下,。
模型求解的结果表明86kg重量级8人赛艇的成绩至少可以73kg比轻量级赛艇成绩好5.6%,成绩提升的上限约为13%。
这个模求解结果表明,各个参赛选手训练,配合水平相近的情况下,对于浆手数量相同的赛艇比赛,有以下途径提升成绩:
在竞赛许可范围内增加运动员体重;
尽可能减少赛艇重量;
这也说明了为什么赛艇项目是西方发达国家的传统强项,因为这些国家普遍生活水平高,远动员身体素质较好,体重较大;
而且这些国家科技比较发达,对于制作赛艇的新材料研制走在了世界前列,其赛艇重量比一般国家要轻。
7、假定人口的增长服从这样的规律:
时刻的人口为,单位时间内人口的增量与成正比(其中为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.
现考察某地区的人口数,记时刻的人口数为(一般是很大的整数),且设为连续可微函数.又设.任给时刻及时间增量,因为单位时间内人口增长量与成正比,假设其比例系数为常数.则到内人口的增量为:
.
两边除以,并令,得到
解为
8、一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求,生产的A1,A2全部能售出,且每公斤A1获利24元,每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天工人总的劳动时间为480小时,并且设备甲每天至多能加工100公斤A1,设备乙的加工能力没有限制。
(1)试为该厂制订一个生产计划,使每天获利最大。
(2)33元可买到1桶牛奶,买吗?
(3)若买,每天最多买多少?
(4)可聘用临时工人,付出的工资最多是每小时几元?
(5)A1的获利增加到30元/公斤,应否改变生产计划?
每天生产将x桶牛奶加工成A1,y桶牛奶加工成A2,所获得的收益为Z元。
加工每桶牛奶的信息表:
产品
A1
A2
所需时间
12小时
8小时
产量
3公斤
4公斤
获利/公斤
24元
16元
x+y<
=50
Z=24*3x+16*4y=72x+64y
解得,当x=20,y=30时,Zmax=3360元
则此时,生产生产计划为20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产A2。
(2)设:
纯利润为W元。
W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>
则,牛奶33元/桶可以买。
(3)若不限定牛奶的供应量,则其优化条件变为:
W=39x+31y
解得,当x=0,y=60时,Wmax=1860元
则最多购买60桶牛奶。
(4)若将全部的利润用来支付工人工资,设工资最高为n元。
n=Wmax/480=3.875(元)
(5)若A1的获利为30元,则其优化条件不变。
Z1=90x+64y
解得,当x=0,y=60时,Z1max=3840(元)
因此,不必改变生产计划。
9、建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数,销售速率为常数,.在每个生产周期T内,开始的一段时间一边生产一边销售,后来的一段时间只销售不生产,画出贮存量的图形.设每次生产准备费为,单位时间每件产品贮存费为,以总费用最小为目标确定最优生产周期,讨论和的情况.
建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数,销售速率为常数,.在每个生产周期T内,开始的一段时间一边生产一边销售,后来的一段时间只销售不生产,画出贮存量的图形.设每次生产准备费为,单位时间每件产品贮存费为
由题意可得贮存量的图形如下:
O
贮存费为
又
贮存费变为
于是不允许缺货的情况下,生产销售的总费用(单位时间内)为
.
得
易得函数取得最小值,即最优周期为:
.相当于不考虑生产的情况.
.此时产量与销量相抵消,无法形成贮存量.
10、在考虑最优价格问题时设销售期为T,由于商品的损耗,成本随时间增长,设,.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段,每段的价格固定,记作.求的最优值,使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为,再求的最优值.
按分段价格,单位时间内的销售量为
又.于是总利润为
=
得到最优价格为:
在销售期T内的总销量为
于是得到如下极值问题:
利用拉格朗日乘数法,解得:
即为的最优值.
11、某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克,原料5千克;
一件乙产品用原料2千克,原料4千克.现有原料20千克,原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大?
设安排生产甲产品x件,乙产品y件,相应的利润为S
则此问题的数学模型为:
maxS=20x+30y
s.t.
这是一个整线性规划问题,现用图解法进行求解
可行域为:
由直线:
x+2y=20,:
5x+4y=70
y
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线:
20x+30y=c在可行域内
平行移动.
易知:
当过与的交点时,x
S取最大值.
由解得
此时=20=350(元)
12某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、重量以及可获利润如下表:
货物
体积
(立方米/箱)
重量
(百斤/箱)
利润
(百元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米,重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱,使得所获利润最大,并求出最大利润.
设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,,所获利润为则问题的数学模型可表示
【模型求解】
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为:
由直线
及组成
直线在此凸四边形区域内平行移动.
易知:
当过与的交点时,取最大值
由解得
.
13、在5.3节正规战争模型(3)中,设乙方与甲方战斗有效系数之比为
初始兵力相同.
(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
现求
(1)的解:
(1)的系数矩阵为
.
再由初始条件,得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到.
(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援.则
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为
14、在6.1节捕鱼模型中,如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律,而单位时间捕捞量为常数h.
(1)分别就,,这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况.
(2)如何获得最大持续产量,其结果与6.1节的产量模型有何不同.
设时刻t的渔场中鱼的数量为,则由题设条件知:
变化规律的数学模型为
记
(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性:
由,得.
即
,
(1)的解为:
①当,,
(1)无实根,此时无平衡点;
②当,,
(1)有两个相等的实根,平衡点为.
,不能断定其稳定性.
但及均有,即.不稳定;
③当,时,得到两个平衡点:
,
易知:
,,,
平衡点不稳定,平衡点稳定
x
(2)最大持续产量的数学模型为
即,
易得此时,
但这个平衡点不稳定.这是与6.1节的产量模型不同之处.
要获得最大持续产量,应使渔场鱼量,且尽量接近,但不能等于.
16、对于7.1节蛛网模型讨论下列问题:
(1)因为一个时段上市的商品不能立即售完,其数量也会影响到下一时段的价格,所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定,如果仍设仍只取决于,给出稳定平衡的条件,并与7.1节的结果进行比较.
(2)若除了由和决定之外,也由前两个时段的价格和确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.
(1)由题设条件可得需求函数、供应函数分别为:
在点附近用直线来近似曲线,得到
由
(2)得
(1)代入(3)得
对应齐次方程的特征方程为
特征根为
当时,则有特征根在单位圆外,设,则
即平衡稳定的条件为与的结果一致.
(2)此时需求函数、供应函数在处附近的直线近似表达式分别为:
由(5)得,
将(4)代入(6),得
对应齐次方程的特征方程为
代数方程(7)无正实根,且不是(7)的根.设(7)的三个非零根分别为,则
对(7)作变换:
则
其中
用卡丹公式:
其中
求出,从而得到,于是得到所有特征根的条件.
18、在节传送带效率模型中,设工人数固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数,比如增加一倍,其它条件不变.另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子,其它条件不变,于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子,只要其中一只是空的,他就可以挂上产品,这种办法用的钩子数量与第一种办法一样.试推导这种情况下传送带效率的公式,从数量关系上说明这种办法比第一种办法好.
两种情况的钩子数均为.第一种办法是个位置,单钩放置个钩子;
第二种办法是个位置,成对放置个钩子.
①由节的传送带效率
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