数学:第2章《不等式》学案(沪教版高一上)Word文档格式.doc
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C.ac>
bd D.
解析:
∵a>
d,∴a+c>
b+D.
答案:
A.
例3:
(2005•福建)不等式的解集是()
A. B.
C. D.
不等式的解是x>
或x<
.
【常见误区】
1.不等式的“运算”只有加法法则和乘法法则,没有减法法则和除法法则,再利用数的性质进行转化时往往出错;
2.在运用不等式的性质是对不等式进行了非同解变形.
【基础演练】
1.(2004•北京)已知a、b、c满足,且,那么下列选项中不一定成立的是
()
A. B. C. D.
2.(2004•湖北)若,则下列不等式①;
②③;
④中,正确的不等式有 ()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2004•辽宁)对于,给出下列四个不等式 ()
① ②
③ ④
其中成立的是 ()
A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④
4.对“、、是不全相等的正数”,给出下列判断:
①;
②>与<及≠中至少有一个成立;
③≠,≠,≠不能同时成立.其中判断正确的个数为 ()
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.二次函数的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
6
-4
-6
则不等式的解集是_________________.
6.若不等式有且只有一个解,则实数 .
7.比较大小:
与(且).
8.已知,求证.
9.定义在上的函数满足:
如果对任意x1,x2∈R,都有
≤
则称函数是上的凹函数.
已知二次函数求证:
当时,函数是凹函数.
1.2算术平均数与几何平均数
1.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.
1.以二元均值不等式的考查最为常见,命题形式往往在选择题或填空题中,如例1,例2,例3.
2.在解答题中常与最值问题结合在一起以及函数的值域等知识一起考查,试题解法突出常规方法,淡化特殊技巧,一般以求最值的形式来问如练习题9.
例1:
(2005•全国1)当时,函数的最小值为()
A.2 B. C.4 D.
,当且仅当,即时,取“”,∵,∴存在使,这时,
C.
(2005•福建)下列结论正确的是()
A.当 B.
C.的最小值为2 D.当无最大值
A中lgx不满足大于零,C中的最小值为2的x值取不到,D当x=2时有最大值,选B.
B
(2005•重庆)若是正数,则的最小值是()
A.3B.C.4D.
当且仅当得时.
C
1.在运用均值不等式时,对等号成立的条件不注意往往出错;
2.不注意各种不等式成立的条件,误用公式,特别是非负性的考虑.
1.(2006•陕西)已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为
A.2 B.4 C.6 D.8
2.(2004•全国)的最小值为 ()
A.- B.- C.-- D.+
3.已知函数的反函数为则的最小值为
A.1 B. C. D.
4.函数的最大值是 ()
A. B. C. D.
5.(2005全国3)已知在△ABC中,∠ACB=90°
,BC=3,AC=4,P是AB上的点,则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是.
6.已知正数则满足不等式的实数的取值范围是 .
7.是否存在常数,使得不等式对任意正实数、恒成立?
证明你的结论.
8.已知,且,求:
(1)的最小值;
(2)若直线与轴,轴分别交于,求面积的最小值.
9.在交通拥挤地段,为了确保交通安全,规定机动车相互之间的距离d(米)与车速v(千米/
小时)需遵循的关系是d≥(其中a(米)是车身长,a为常量),同时规定d≥.
(1)当d=时,求机动车车速的变化范围;
(2)设机动车每小时流量Q=,应规定怎样的车速,使机动车每小时流量Q最大?
1.3不等式的证明
【考点透视】
1.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;
2.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
1.不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握,如例1.
2.考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力,如例2,例3.
例1:
(2004•江苏)已知函数满足下列条件:
对任意的实数x1,x2都有
和,其中是大于0的常数.设实数a0,a,b满足和.
(1)证明:
,并且不存在,使得;
(2)证明:
;
(3)证明:
(1)任取
和②
可知,
从而.假设有①式知
∴不存在
(2)由③
可知④
由①式,得⑤
由和②式知,⑥
由⑤、⑥代入④式,得
.
(3)由③式可知
(用②式)
(用①式)
(2003•北京)设是定义在区间上的函数,且满足条件:
①
②对任意的
对任意的
(3)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数,且使得
若存在,请举一例:
若不存在,请说明理由.
(1)由题设条件可知,当时,有
即
(2)对任意的
当不妨设则
所以,
综上可知,对任意的都有
由
(1)可得,当时,
当
所以,当因此,对任意的
当时,当时,有
且
所以
(3)满足所述条件的函数不存在.
理由如下,假设存在函数满足条件,则由
得又所以①
又因为为奇数,所以由条件
得②①与②矛盾,所以假设不成立,即这样的函数不存在.
正项数列满足.
(1)求及;
(2) 试确定一个正整数N,使当时,不等式
>
成立;
(3)求证:
(1+)<
.
(1)(-1)(+1)=0,
又∵,故=,,
==,=,=,…,=.
(2)由==-(),
=1+(-)+(-)+…+(-)=2-
从而有2->
∴<
即n!
121.
∵5!
=120,6!
=720,∴n>
5取N=5,n>
N时,原不等式成立.
(3)(1+)展开式通项:
T=C·
()=·
·
…·
<
(r=0,1,2,3,…,n)
(1+)<
++++…+=.
1.不注意挖掘隐含条件从而导致错误;
2.例用均值不等式时不注意非负性导致错误;
3.特别是在运用放缩法时可能会出现过大或过小的情形.
1.若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则 ()
A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q
2.若x>
0,y>
0,且恒成立,则a的最小值是 ()
A.2 B. C.2 D.1
3.已知则一定有 ()
A. B.
C. D.
4.已知,则 ()
A. B. C. D.
5.给出下列3个命题:
①若,则;
②若,则;
③若
且,则,其中真命题的序号为______________.
6.已知两个正数满足,则使不等式≥恒成立的实数m的取值范围
是.
7.
(1)求证;
(2)求证
8.已知函数的最大值不大于,又当
(1)求a的值;
(2)设
9.数列由下列条件确定:
对于,
对于.
1.4不等式的解法.
1.掌握简单不等式的解法.
1.主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的转化方法;
如例1,例2;
2.考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法.如例3.
(2005•重庆)不等式组的解集为()
A. B. C. D.
∵的解集为,的解集为
∴不等式的解集为
(2005•辽宁)若,则a的取值范围是( )
法一:
代特殊值验证
法二:
①当,即时,无解;
②当,即时,.
答案:
(2005•江西)已知函数(a,b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设,解关于x的不等式;
(1)将,得
(2)不等式即为,
①当
②当
③.
1.解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误;
2.解含参数不等式时对字母讨论不全面.
1.(2004•天津)不等式的解集为 ()
A. B.
C. D.
2.不等式的解集为则实数a的取值集合为 ()
A. B.{1} C.{a|a>
1} D.
3.(2005•辽宁)在R上定义运算:
.若不等式对
任意实数x成立,则 ()
4.设函数,则使得的自变量的取值范围为()
A. B.
C. D.
5.已知则不等式≤5的解集是.
6.(2004•全国)设函数则实数a的取值范围是.
7.实系数方程的一根大于0且小于1,另一个根大于1且小于2,求的
取值范围.
8.解关于x的不等式<0(a∈R).
9.记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<
1)的定义域为B.
(1)求A;
(2)若BA,求实数a的取值范围.
1.5含有绝对值的不等式
1.掌握绝对值不等式的概念及其性质.
2.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│.
1.含绝对值不等式的解法主要出现在选择题、填空题中;
2.证明主要出现在解答题中对能力要求较高.如例3.
(2004•辽宁)设全集U=R解关于x的不等式.
由
当时,解集是R;
当时,解集是
例2:
(2005•山东),下列不等式一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
∵0<
a<
1,∴1+a>
1,0<
1-a<
1,,
∴.
A.
(2005•浙江)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2=2x.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xq,yq关于原点的对称点(x,y),
则即∵点在函数的图象上,
∴故.
(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0.
当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解;
当x<
1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤.
因此,原不等式的解集为[-1,].
1.运用不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│时出现错误;
2.对绝对值的意义理解有误,分类不全面导致错误.
1.不等式的解集是 ()
A. B.
C. D.
2.不等式的解集是 ()
A. B.
C. D.
3.若不等式的解集为(-1,2),则实数a等于 ()
A.8 B.2 C.-4 D.-8
4.若,∈R,则不等式≥的解集为R的充要条件是 ( )
A. B.C.且≤ D.且≥
5.不等式|x+2|≥|x|的解集是.
6.不等式的解集.
7.解不等式.
8.设且求证:
9.某段城铁线路上依次有A、B、C三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上,规定列车8时整从A站发车,8时07分到达B站并停车1分钟,8时12分到达C站.在实际运行中,假设列车从A站正点发车,在B站停留1分钟,并在行驶时以同一速度匀速行驶,列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
(1)分别写出列车在B、C两站的运行误差;
(2)若要求列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟,求的取值范围.
1.6不等式的应用
1.考查运用不等式在几何、函数,以及实际生活中的运用
1.常结合函数、数列考查不等式的运用,特别是均值不等式的运用如例1,例2,例3.
(2004•广西卷)某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。
在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道,沿前侧内墙保留3宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时?
蔬菜的种植面积最大。
最大种植面积是多少?
设矩形温室的左侧边长为am,后侧边长为bm,则ab=800.
图5-6-1
蔬菜的种植面积
所以
答:
当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为648m2.
(2004•上海)某单位用木料制作如图5-6-1所示的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位:
m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m2.问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?
由题意得xy+x2=8,∴y==(0<
x<
4).
于是,框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥=4.
当(+)x=,即x=8-4时等号成立.
此时,x≈2.343,y=2≈2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时,用料最省.
某厂家拟在2004年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元()(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件。
已知2004年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2004年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2004年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
(1)由题意可知当
每件产品的销售价格为,
∴2004年的利润
.
(2),
(万元) .
1.不能正确建立函数模型从而导致错误;
2.对实际情况考虑不够会产生多解或漏解
1.王先生购买了一部手机,欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网,经调查其收费
标准见下表:
(注:
本地话费以分为计费单位,长途话费以秒为计费单位.)
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲:
联通130
12元
0.36元/分
0.06元/秒
乙:
移动“神州行”
0.60元/分
0.07元/秒
若王先生每月拨打本地电的时间是拨打长途电话时间的5倍,若要用联通130应最少打多
长时间的电话才合算 ( )
A.300秒 B.400秒 C.500秒 D.600秒
2.一批物品要用11辆汽车从甲地运到360外的乙地.若车速为/时,且车的距离不能少于,则运完这批物品至少需要 ()
A.11小时 B.10小时 C.13小时 D.12小时
3.现有一块长轴为10分米,短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子,欲从此镜子中划出一块面积尽可能大的矩形镜子,则可划出的矩形镜子的最大面积为 ()
A.10平方分米 B.20平方分米 C.40平方分米 D.平方分米
4.一种容积规定为500的圆柱形罐头盒,要使制造罐头盒所用的金属薄板材料最少,这种圆柱的高和半径的比应为 ()
A.1∶1 B.2∶1 C.3∶1 D.3∶2
5.用一张边长为30的正方形纸在它的四个角上剪去一个同样大小的正方形不用,做一个无盖的长方体纸盒,(剪贴处的厚度和损耗不计)则这个纸盒体积的最大值是.
6.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2的倒置的正四棱锥形有盖容器,设容器高为,盖子边长为.记容器的容积为,当=m时,有最大.
7.某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值);
(3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种:
(i)当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;
(ii)当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算?
请说明你的理由.
8.随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员
(140<
420,且为偶数),每人每年可创利万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利万元,但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
a
d
l
9.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度
a成正比,与它的厚度d的平方成正比,与它的长度l的平
方成反比.
(1)枕木翻转90°
(即宽度变为了厚度),枕木的安全负荷
变大吗?
为什么?
(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的木材,
用它来截取成长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全
负荷最大?
本章测试题
一、选择题:
(本题每小题5分,共60分.)
1.已知实数、、满足,,则、、的大小关系是
()
A.≥> B.>≥ C.>> D.>>
2.若0<
b且a+b=1,则四个数,b,2ab,a2+b2中最大的是 ()
A. B.b C.2ab D.a2+b2
3.不等式的解集为 ()
A. B.
4.设实数满足,则的最小值为 ()
A. B.4 C.2 D.8
5.若不等式的解集为,则 ()
A.-10 B.-14 C.10 D.146.关于x的方程9x+(a+4)·
3x+4=0有解,则实数a的取值范围是 ()
A.(-∞,-8)∪[0,+∞] B.(-∞,-4)
C.[-8,4] D.(-∞,-8)
7.若,则函数 ()
A.有最大值—6 B.有最小值6 C.有最大值—2 D.有最小值2
8.不等式的解集是 ()
9.已知,(a>
2),则 ()
A.p>
q B.p<
q C.p≥q D.p≤q
10.设适合不等式,若,,,且,则()
A. B.
C. D.
11.若不等式对任意实数均成立,则实数的取值范围是
()
12.已知定义在上的函数满足下列三个条件:
①对任意的都有;
②对于任意的0≤≤2,都有;
③的图象关于y轴对称,则下列结论中,正确的是 ()
A. B.
C. D.
二、填空题:
(本题每小题4分,共16分.)
13.若不等式的解集为或,则.
14.已知集合,,若,则实数的值为.
15.已知正数满足,则最大值是.
16.已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长,C为斜边,若点在直线上,则的最小值是.
三、解答题:
(本题共74分)
17.(本小题满分12分)已知a、b为不等式的正数,且,试将四个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
18.(本小题满分12分)已知.
(1)若,求的最小值;
(2)若不等式对于一切恒成立,求实数
的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知a≠0,求证:
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