大学数学公式总结大全Word文档格式.docx
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曲面积分:
高斯公式:
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
常数项级数:
级数审敛法:
绝对收敛与条件收敛:
幂级数:
函数展开成幂级数:
一些函数展开成幂级数:
欧拉公式:
三角级数:
傅立叶级数:
周期为的周期函数的傅立叶级数:
微分方程的相关概念:
阳光怡茗工作室
一阶线性微分方程:
全微分方程:
二阶微分方程:
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)式的通解
两个不相等实根
两个相等实根
一对共轭复根
二阶常系数非齐次线性微分方程
概率公式部分
1.随机事件及其概率
吸收律:
反演律:
2.概率的定义及其计算
若
对任意两个事件A,B,有
加法公式:
3.条件概率
乘法公式
全概率公式
Bayes公式
4.随机变量及其分布
分布函数计算
5.离散型随机变量
(1)0–1分布
(2)二项分布
若P(A)=p
*Possion定理
有
(3)Poisson分布
6.连续型随机变量
(1)均匀分布
(2)指数分布
(3)正态分布N(m,s2)
*N(0,1)—标准正态分布
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量(X,Y)的分布函数
边缘分布函数与边缘密度函数
8.连续型二维随机变量
(1) 区域G上的均匀分布,U(G)
(2)二维正态分布
9.二维随机变量的条件分布
10.随机变量的数字特征
数学期望
随机变量函数的数学期望
X的k阶原点矩
X的k阶绝对原点矩
X的k阶中心矩
X的方差
X,Y的k+l阶混合原点矩
X,Y的k+l阶混合中心矩
X,Y的二阶混合原点矩
X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差
X,Y的相关系数
X的方差
D(X)=E((X-E(X))2)
协方差
相关系数
线性代数部分
梳理:
条理化,给出一个系统的,有内在有机结构的理论体系。
沟通:
突出各部分内容间的联系。
充实提高:
围绕考试要求,介绍一些一般教材上没有的结果,教给大家常见问题的实用而简捷的方法。
大家要有这样的思想准备:
发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同,有的方法是你不知道的。
但是我相信,只要你对它们了解了,掌握了,会提高你的解题能力的。
基本运算
①
②
③
④
⑤或。
。
转置值不变
逆值变
,3阶矩阵
有关乘法的基本运算
线性性质,
结合律
不一定成立!
,
与数的乘法的不同之处
不一定成立!
无交换律因式分解障碍是交换性
一个矩阵的每个多项式可以因式分解,例如
无消去律(矩阵和矩阵相乘)
当时或
由和
由时(无左消去律)
特别的设可逆,则有消去律。
左消去律:
右消去律:
如果列满秩,则有左消去律,即
可逆矩阵的性质
i)当可逆时,
也可逆,且。
数,也可逆,。
ii),是两个阶可逆矩阵也可逆,且。
推论:
设,是两个阶矩阵,则
命题:
初等矩阵都可逆,且
准对角矩阵
可逆每个都可逆,记
伴随矩阵的基本性质:
当可逆时,得,(求逆矩阵的伴随矩阵法)
且得:
伴随矩阵的其他性质
①,
③,
④
⑤,
⑥。
时,
关于矩阵右上肩记号:
,,,*
i)任何两个的次序可交换,
如,
等
ii),
但不一定成立!
线性表示
有解
有解
有解,即可用A的列向量组表示
,,
则。
,
则存在矩阵,使得
线性表示关系有传递性当,
则。
等价关系:
如果与互相可表示
记作。
线性相关阳光怡茗工作室
,单个向量,相关
,相关对应分量成比例相关
①向量个数=维数,则线性相(无)关
,有非零解
如果,则一定相关
的方程个数未知数个数
②如果无关,则它的每一个部分组都无关
③如果无关,而相关,则
证明:
设不全为0,使得
则其中,否则不全为0,,与条件无关矛盾。
于是。
④当时,表示方式唯一无关
(表示方式不唯一相关)
⑤若,并且,则一定线性相关。
证明:
记,,
则存在矩阵,使得。
有个方程,个未知数,,有非零解,。
则,即也是的非零解,从而线性相关。
各性质的逆否形式
①如果无关,则。
②如果有相关的部分组,则它自己一定也相关。
③如果无关,而,则无关。
⑤如果,无关,则。
推论:
若两个无关向量组与等价,则。
极大无关组
一个线性无关部分组,若等于秩,就一定是极大无关组
①无关
另一种说法:
取的一个极大无关组
也是的极大无关组相关。
证明:
相关。
③可用唯一表示
⑤
矩阵的秩的简单性质
行满秩:
列满秩:
阶矩阵满秩:
满秩的行(列)向量组线性无关
可逆
只有零解,唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩
②时,
③
⑤可逆时,
弱化条件:
如果列满秩,则
证:
下面证与同解。
是的解
是的解
可逆时,
⑥若,则(的列数,的行数)
⑦列满秩时
行满秩时
⑧
解的性质
1.的解的性质。
如果是一组解,则它们的任意线性组合一定也是解。
2.
①如果是的一组解,则
也是的解
是的解
特别的:
当是的两个解时,是的解
②如果是的解,则维向量也是的解是的解。
解的情况判别
方程:
,即
有解
无解
唯一解
无穷多解
方程个数:
①当时,,有解
②当时,,不会是唯一解
对于齐次线性方程组,
只有零解(即列满秩)
(有非零解)
特征值特征向量
是的特征值是的特征多项式的根。
两种特殊情形:
(1)是上(下)三角矩阵,对角矩阵时,特征值即对角线上的元素。
(2)时:
的特征值为
特征值的性质
命题:
阶矩阵的特征值的重数
设的特征值为,则
①
②
设是的特征向量,特征值为,即,则
①对于的每个多项式,
②当可逆时,,
①的特征值为
②可逆时,的特征值为
的特征值为
③的特征值也是
特征值的应用
①求行列式
②判别可逆性阳光怡茗工作室
是的特征值不可逆
可逆不是的特征值。
当时,如果,则可逆
若是的特征值,则是的特征值。
不是的特征值可逆。
n阶矩阵的相似关系
当时,,而时,。
相似关系有i)对称性:
,则
ii)有传递性:
,,则
,,则
命题当时,和有许多相同的性质
③,的特征多项式相同,从而特征值完全一致。
与的特征向量的关系:
是的属于的特征向量是的属于的特征向量。
正定二次型与正定矩阵性质与判别
可逆线性变换替换保持正定性
变为,则它们同时正定或同时不正定
,则,同时正定,同时不正定。
例如。
如果正定,则对每个
(可逆,,!
)
我们给出关于正定的以下性质
正定
存在实可逆矩阵,。
的正惯性指数。
的特征值全大于。
的每个顺序主子式全大于。
判断正定的三种方法:
①顺序主子式法。
②特征值法。
③定义法。
基本概念
对称矩阵。
反对称矩阵。
简单阶梯形矩阵:
台角位置的元素都为1,台角正上方的元素都为0。
如果是一个阶矩阵,是阶梯形矩阵是上三角矩阵,反之不一定
矩阵消元法:
(解的情况)
①写出增广矩阵,用初等行变换化为阶梯形矩阵。
②用判别解的情况。
i)如果最下面的非零行为,则无解,否则有解。
ii)如果有解,记是的非零行数,则
时唯一解。
时无穷多解。
iii)唯一解求解的方法(初等变换法)
去掉的零行,得,它是矩阵,是阶梯形矩阵,从而是上三角矩阵。
则都不为。
就是解。
一个阶行列式的值:
①是项的代数和
②每一项是个元素的乘积,它们共有项其中是的一个全排列。
③前面乘的应为的逆序数
代数余子式
为的余子式。
定理:
一个行列式的值等于它的某一行(列),各元素与各自代数余子式乘积之和。
一行(列)的元素乘上另一行(列)的相应元素代数余子式之和为。
范德蒙行列式
个
乘法相关
的位元素是的第行和的第列对应元素乘积之和。
乘积矩阵的列向量与行向量
(1)设矩阵,维列向量,则
矩阵乘法应用于方程组
方程组的矩阵形式
,
方程组的向量形式
(2)设,
的第个列向量是的列向量组的线性组合,组合系数是的第个列向量的各分量。
的第个行向量是的行向量组的线性组合,组合系数是的第个行向量的各分量。
矩阵分解
当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时,可把分解为与一个矩阵的乘积
特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题
对角矩阵从右侧乘一矩阵,即用对角线上的元素依次乘的各列向量
对角矩阵从左侧乘一矩阵,即用对角线上的元素依次乘的各行向量
于是,
,
两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘
对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂
对一个阶矩阵,规定为的对角线上元素之和称为的迹数。
于是
其他形式方阵的高次幂也有规律
例如:
初等矩阵及其在乘法中的作用阳光怡茗工作室
(1):
交换的第两行或交换的第两列
(2):
用数乘的第行或第列
(3):
把的第行的倍加到第行上,或把的第列的倍加到第列上。
初等矩阵从左(右)侧乘一个矩阵等同于对作一次相当的初等行(列)变换
乘法的分块法则
一般法则:
在计算两个矩阵和的乘积时,可以先把和用纵横线分割成若干小矩阵来进行,要求的纵向分割与的横向分割一致。
两种常用的情况
(1)都分成4块
,
其中的列数和的行数相等,的列数和的行数相关。
(2)准对角矩阵
矩阵方程与可逆矩阵
两类基本的矩阵方程(都需求是方阵,且)
(I)的解法:
(II)的解法,先化为。
。
通过逆求解:
可逆矩阵及其逆矩阵
定义:
设是阶矩阵,如果存在阶矩阵,使得,且,则称是可逆矩阵,称是的逆矩阵,证作。
定理:
阶矩阵可逆
求的方程(初等变换法)
伴随矩阵
线性表示
可以用线性表示,即可以表示为的线性组合,
也就是存在使得
记号:
线性相关性
线性相关:
存在向量可用其它向量线性表示。
线性无关:
每个向量都不能用其它向量线性表示
定义:
如果存在不全为的,使得则称线性相关,否则称线性无关。
即:
线性相(无)关有(无)非零解
有(无)非零解
极大无关组和秩
定义:
的一个部分组称为它的一个极大无关组,如果满足:
i)线性无关。
ii)再扩大就相关。
规定的秩。
如果每个元素都是零向量,则规定其秩为。
有相同线性关系的向量组
定义:
两个向量若有相同个数的向量:
,并且向量方程
与同解,则称它们有相同的线性关系。
①对应的部分组有一致的相关性。
的对应部分组,
若相关,有不全为的使得
,
即是的解,
从而也是的解,则有
也相关。
②极大无关组相对应,从而秩相等。
③有一致的内在线表示关系。
设:
即,
即。
与有相同的线性关系即与同解。
反之,当与同解时,和的列向量组有相同的线性关系。
矩阵的秩
矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩
规定行(列)向量组的秩。
的计算:
用初等变换化为阶梯形矩阵,则的非零行数即。
的非零子式阶数的最大值。
方程组的表达形式
1.
2.是解
3.有解
基础解系和通解
1.有非零解时的基础解系
是的基础解系的条件:
①每个都是的解
②线性无关
③的每个解
③/
通解
①如果是的一个基础解系,则的通解为
,任意
②如果是的一个解,是的基础解系,则的通解为
特征向量与特征值
如果,并且与线性相关,则称是的一个特征向量。
此时,有数,使得,称为的特征值。
设是数量矩阵,则对每个维列向量,,于是,任何非零列向量都是的特征向量,特征值都是。
①特征值有限特征向量无穷多
若,
②每个特征向量有唯一特征值,而有许多特征向量有相同的特征值。
③计算时先求特征值,后求特征向量。
特征向量与特征值计算
是的非零解
①是的特征值
②是属于的特征向量是的非零解
称多项式为的特征多项式。
的重数:
作为的根的重数。
阶矩阵的特征值有个:
,可能其中有的不是实数,有的是多重的。
计算步骤:
①求出特征多项式。
②求的根,得特征值。
③对每个特征值,求的非零解,得属于的特征向量。
设,是两个阶矩阵。
如果存在阶可逆矩阵,使得,则称与相似,记作。
n阶矩阵的对角化
基本定理可对角化有个线性无关的特征向量。
设可逆矩阵,则
,
判别法则
可对角化对于的每个特征值,的重数。
计算:
对每个特征值,求出的一个基础解系,把它们合在一起,得到个线性无关的特征向量,。
令,则
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