1、曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：阳光怡茗工作室一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：（*）式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程概率公式部分1随机事件及其概率吸收律： 反演律： 2概率的定义及其计算若 对任意两个事件A, B, 有 加法公式：3条件概率 乘法公式全概率公式Bayes公式4随机变量及其分布分布函数计算5离散
2、型随机变量（1） 0 1 分布（2） 二项分布 若P （ A ） = p * Possion定理有 （3） Poisson 分布 6连续型随机变量（1） 均匀分布 （2） 指数分布 （3） 正态分布 N （m , s 2 ）* N （0,1） 标准正态分布7.多维随机变量及其分布二维随机变量（ X ,Y ）的分布函数边缘分布函数与边缘密度函数8. 连续型二维随机变量（1）区域G 上的均匀分布，U （ G ）（2）二维正态分布9.二维随机变量的 条件分布 10. 随机变量的数字特征数学期望随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩X 的 k 阶绝对原点矩X 的 k 阶中心矩X 的 方差X ,Y
3、的 k + l 阶混合原点矩X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩X ,Y 的 二阶混合原点矩X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差X ,Y 的相关系数X 的方差D （X ） = E （X - E（X）2） 协方差 相关系数线性代数部分 梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。 沟通：突出各部分内容间的联系。 充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。 大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算 或。 。转
4、置值不变逆值变 ，3阶矩阵有关乘法的基本运算 线性性质 ， 结合律 不一定成立！，与数的乘法的不同之处 不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性 一个矩阵的每个多项式可以因式分解，例如 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当时或 由和由时（无左消去律）特别的 设可逆，则有消去律。 左消去律： 右消去律： 如果列满秩，则有左消去律，即可逆矩阵的性质 i）当可逆时， 也可逆，且。 数，也可逆，。ii），是两个阶可逆矩阵也可逆，且。 推论：设，是两个阶矩阵，则 命题：初等矩阵都可逆，且 准对角矩阵可逆每个都可逆，记伴随矩阵的基本性质： 当可逆时， 得， （求逆矩阵的伴随矩阵法） 且得： 伴随矩阵的其他性质
5、 , , ， 。 时， 关于矩阵右上肩记号：，* i） 任何两个的次序可交换， 如， 等 ii） ， 但不一定成立！线性表示 有解 有解 有解，即可用A的列向量组表示 ， 则。 ，则存在矩阵，使得 线性表示关系有传递性 当， 则。 等价关系：如果与互相可表示 记作。线性相关阳光怡茗工作室 ，单个向量， 相关 ，相关对应分量成比例 相关 向量个数=维数，则线性相（无）关 ，有非零解 如果，则一定相关 的方程个数未知数个数 如果无关，则它的每一个部分组都无关 如果无关，而相关，则 证明：设不全为0，使得 则其中，否则不全为0，与条件无关矛盾。于是。 当时，表示方式唯一无关 （表示方式不唯一相关）
6、若，并且，则一定线性相关。 证明：记，则存在矩阵，使得 。 有个方程，个未知数，有非零解，。 则，即也是的非零解，从而线性相关。各性质的逆否形式 如果无关，则。 如果有相关的部分组，则它自己一定也相关。 如果无关，而，则无关。 如果，无关，则。 推论：若两个无关向量组与等价，则。极大无关组一个线性无关部分组，若等于秩，就一定是极大无关组 无关 另一种说法： 取的一个极大无关组 也是的极大无关组相关。 证明：相关。 可用唯一表示 矩阵的秩的简单性质 行满秩： 列满秩： 阶矩阵满秩： 满秩的行（列）向量组线性无关 可逆 只有零解，唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩 时， 可逆时， 弱
7、化条件：如果列满秩，则 证：下面证与同解。 是的解 是的解可逆时， 若，则（的列数，的行数） 列满秩时 行满秩时解的性质 1的解的性质。 如果是一组解，则它们的任意线性组合一定也是解。 2 如果是的一组解，则 也是的解 是的解 特别的： 当是的两个解时，是的解 如果是的解，则维向量也是的解是的解。解的情况判别 方程：，即 有解 无解 唯一解 无穷多解 方程个数： 当时，有解 当时，不会是唯一解 对于齐次线性方程组， 只有零解（即列满秩） （有非零解）特征值特征向量 是的特征值是的特征多项式的根。 两种特殊情形： （1）是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。 （2）时：的特征值
8、为特征值的性质 命题：阶矩阵的特征值的重数设的特征值为，则 设是的特征向量，特征值为，即，则 对于的每个多项式， 当可逆时， 的特征值为 可逆时，的特征值为 的特征值为 的特征值也是特征值的应用 求行列式 判别可逆性阳光怡茗工作室 是的特征值不可逆 可逆不是的特征值。 当时，如果，则可逆 若是的特征值，则是的特征值。 不是的特征值可逆。n阶矩阵的相似关系 当时，而时，。 相似关系有i）对称性： ，则 ii）有传递性：，则 ，则 命题 当时，和有许多相同的性质 ，的特征多项式相同，从而特征值完全一致。 与的特征向量的关系：是的属于的特征向量是的属于的特征向量。正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线
9、性变换替换保持正定性变为，则它们同时正定或同时不正定 ，则，同时正定，同时不正定。 例如。如果正定，则对每个 （可逆，！） 我们给出关于正定的以下性质 正定 存在实可逆矩阵，。 的正惯性指数。 的特征值全大于。 的每个顺序主子式全大于。 判断正定的三种方法： 顺序主子式法。 特征值法。 定义法。基本概念 对称矩阵。 反对称矩阵。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。 如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况） 写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。 用判别解的情况。 i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。 ii）如果有解
10、，记是的非零行数，则 时唯一解。 时无穷多解。 iii）唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。 则都不为。 就是解。一个阶行列式的值： 是项的代数和 每一项是个元素的乘积，它们共有项 其中是的一个全排列。 前面乘的应为 的逆序数代数余子式 为的余子式。 定理：一个行列式的值等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。 一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为。 范德蒙行列式 个 乘法相关 的位元素是的第行和的第列对应元素乘积之和。 乘积矩阵的列向量与行向量 （1）设矩阵，维列向量，则 矩阵乘法应用于方程组 方程组的
11、矩阵形式 ， 方程组的向量形式 （2）设， 的第个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。 的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。 矩阵分解 当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时，可把分解为与一个矩阵的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题 对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量 于是， ， 两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂 对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。 于是 其他形式方阵的
12、高次幂也有规律 例如：初等矩阵及其在乘法中的作用阳光怡茗工作室 （1）：交换的第两行或交换的第两列 （2）：用数乘的第行或第列 （3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。 初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵等同于对作一次相当的初等行（列）变换 乘法的分块法则 一般法则：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求的纵向分割与的横向分割一致。 两种常用的情况 （1）都分成4块 ， 其中的列数和的行数相等，的列数和的行数相关。 （2）准对角矩阵矩阵方程与可逆矩阵 两类基本的矩阵方程 （都需求是方阵，且） （I）的解法： （II）的解法，先化为。 。 通过逆求
13、解： 可逆矩阵及其逆矩阵 定义：设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，且，则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，证作。 定理：阶矩阵可逆 求的方程（初等变换法） 伴随矩阵 线性表示 可以用线性表示，即可以表示为的线性组合，也就是存在使得 记号： 线性相关性 线性相关：存在向量可用其它向量线性表示。 线性无关：每个向量都不能用其它向量线性表示 定义：如果存在不全为的，使得则称线性相关，否则称线性无关。 即：线性相（无）关有（无）非零解 有（无）非零解 极大无关组和秩定义：的一个部分组称为它的一个极大无关组，如果满足： i）线性无关。 ii）再扩大就相关。 规定的秩。如果每个元素都是零向量，则规定其秩为。 有
14、相同线性关系的向量组 定义：两个向量若有相同个数的向量：，并且向量方程 与同解，则称它们有相同的线性关系。 对应的部分组有一致的相关性。 的对应部分组， 若相关，有不全为的使得 ， 即是的解， 从而也是的解，则有 也相关。 极大无关组相对应，从而秩相等。 有一致的内在线表示关系。 设： 即 ， 即 。 与有相同的线性关系即与同解。 反之，当与同解时，和的列向量组有相同的线性关系。 矩阵的秩矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩 规定行（列）向量组的秩。 的计算：用初等变换化为阶梯形矩阵，则的非零行数即。的非零子式阶数的最大值。方程组的表达形式 1 2 是解 3 有解基础解系和通解 1有非零解时的基础
15、解系 是的基础解系的条件： 每个都是的解 线性无关 的每个解 / 通解 如果是的一个基础解系，则的通解为 ，任意 如果是的一个解，是的基础解系，则的通解为特征向量与特征值如果，并且与线性相关，则称是的一个特征向量。此时，有数，使得，称为的特征值。 设是数量矩阵，则对每个维列向量，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。 特征值有限特征向量无穷多 若， 每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 计算时先求特征值，后求特征向量。特征向量与特征值计算 是的非零解是的特征值 是属于的特征向量是的非零解 称多项式为的特征多项式。 的重数：作为的根的重数。 阶矩阵的特征值有个：，可能其中有的不是实数，有的是多重的。 计算步骤： 求出特征多项式。 求的根，得特征值。 对每个特征值，求的非零解，得属于的特征向量。 设，是两个阶矩阵。如果存在阶可逆矩阵，使得，则称与相似，记作。n阶矩阵的对角化 基本定理 可对角化有个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵，则 ， 判别法则 可对角化对于的每个特征值，的重数。 计算：对每个特征值，求出的一个基础解系，把它们合在一起，得到个线性无关的特征向量，。令，则
