高考椭圆大题专题分类Word文档格式.doc
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b×
b=5b=16,所以b=5,所以椭圆方程为20+5=1.55
二、求动点的轨迹方程41.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.5
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
4
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.5解
(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),
P
?
x=x,由已知得?
5y=y,?
4
5?
∵P在圆上,∴x2+?
y?
2=25,?
4?
即C的方程为+=1.251644
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),554x2?
x-3?
2将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得+=1,52525即x2-3x-8=0.∴x1=3-413+41,x2=.22
x2
y2
∴线段AB的长度为|AB|=?
x1-x2?
2+?
y1-y2?
2==16?
1+?
225?
4141×
41=.255
三、求椭圆的焦距以及方程x2y21.设F1,F2分别为椭圆C:
0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°
,F1到直线l的距离为23.
(1)求椭圆C的焦距;
→=2F→
(2)如果AF22B,求椭圆C的方程.解
(1)设椭圆C的焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离3c=23,故c=2.
所以椭圆C的焦距为4.→=2F→
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由AF,知y1<
0,y2>
0,22B及l的倾斜角为60°
直线l的方程为y=3(x-2).
y=3?
x-2?
,?
x2y22+2=1?
ab
消去x,
整理得(3a2+b2)y2+43b2y-3b4=0.-3b2?
2+2a?
-3b2?
2-2a?
解得y1=,y2=.3a2+b23a2+b2→=2F→因为AF22B,所以-y1=2y2,即3b2?
=2·
,解得a=3.3a2+b23a2+b2
而a2-b2=4,所以b2=5.x2y2故椭圆C的方程为9+5=1.
四、求椭圆方程及定点在椭圆上
x2y231.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
0)的离心率为2,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:
点T在椭圆C上.
(1)解由题意知,b=2=2.2?
c?
11-?
a?
2=2.?
c3b因为离心率e=a=2,所以a=所以a=22.x2y2所以椭圆C的方程为8+2=1.
(2)证明
由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),①②
y0-1则直线PM的方程为y=xx+1,0直线QN的方程为y=法一y0-2x+2.-x03y0-4x0,y=,2y0-32y0-3
联立①②解得x=
3y0-4?
x2?
x0y2002,?
.由+=1,可得x2即T?
0=8-4y0.822y-32y-3?
00?
221?
x0?
21?
2x0+4?
=因为8?
2y-3?
+2?
8?
2y0-3?
2?
0?
228-4y232y20+4?
0-96y0+728?
====1,8?
28?
2
所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.法二设T(x,y),联立①②解得x0=3y-4x,y0=.2y-32y-3
2x21?
x?
1?
3y-4?
20y0?
=1.因为8+2=1,所以8?
2y-3?
2+2?
2x2?
整理得8+2=(2y-3)2,
x29y2x2y22所以8+2-12y+8=4y-12y+9,即8+2=1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.
五、求椭圆的离心率及椭圆与直线的关系
1.如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.解x2y2
(1)如图,设所求椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).
因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,c因此|OA|=|OB2|,得b=2.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,c2故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=a=55.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,1c故S△AB1B2=2·
|B1B2|·
|OA|=|OB2|·
|OA|=2·
b=b2.由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,从而a2=5b2=20.x2y2因此所求椭圆的标准方程为:
20+4=1.
(2)由
(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,
4m16因此y1+y2=2,y1·
y2=-2,m+5m+5→→又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2),→→所以BB2P·
2Q=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+1616?
m2+1?
16m216m2-64=--2+16=-2,m2+5m+5m+5→→由PB2⊥QB2,得BB2P·
2Q=0,即16m2-64=0,解得m=±
2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.
浙江省历年高考曲线椭圆大题总汇(题目及答案)90
y2x2;
1已知椭圆C1:
2?
1(a?
b?
0)的右顶点;
ab;
弦长为1;
(I)求椭圆C1的方程;
;
(II)设点P在抛物线C2:
y?
x2?
h(h?
R;
x2x2;
2.设A、B分别为椭圆2?
1(a,b?
0)的;
且x?
4为它的右准线;
(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点;
3.)己知⊙O:
x2+y2=6,P为⊙O上动点,;
上一点,且;
uuurrPM
y2x2
0)的右顶点A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的
ab
弦长为1。
(I)求椭圆C1的方程;
(II)设点P在抛物线C2:
R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N。
当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值。
x2x2
2.设A、B分别为椭圆2?
0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,...ab
4为它的右准线。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内。
3.)己知⊙O:
x2+y2=6,P为⊙O上动点,过P作PM⊥x轴于M,N为PM
上一点,且
uuurrPM?
.
(I)求点N的轨迹C的方程;
(II)若A(2,1),B(3,0),过B的直线与曲线C相交于D、E两点,则kAD+kAE是否为定值?
若是,求出该值;
若不是,说明理由.
4.如图圆O1与圆O2的半径都等于1,O1O2?
4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线
PM、PN(M、N分别为切点)
,使得PM?
.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.
5.已知椭圆C1:
0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦
长为1.
(II)设点P在抛物线C2:
R)上,C2在点P处
的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.
m2x2
0,椭圆C:
y2?
1,F1,F2分别为椭圆C的左、6.已知m?
1,直线l:
x?
my?
2m
右焦点.
(I)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;
(II)设直线l与椭圆C交于A,B两点,?
AF1F2,?
BF1F2的重心分别为G,H.若原
点
O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
7.已知抛物线C1:
x=y,圆C2:
(y?
4)2?
1的圆心为点M。
(Ⅰ)求点M到抛物线C1的准线的距离;
(Ⅱ)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂足于AB,求直线l的方程.
1x2y2
8.如图,椭圆C:
0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离
2ab
O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。
....(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求△APB面积取最大值时直线l的方程。
x2y2
9.是椭圆C1:
0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:
4的直
径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)求?
ABD面积取最大值时直线l1的方程.
10.如图,已知A1,A2,B1,B2分别是椭圆C:
0)的四个顶点,△
A1B1B2是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆M.
(1)求椭圆C及圆M的方程;
(2)若点D是圆M劣弧?
,直线B1D分别交线A1B2上一动点(点D异于端点A1,B2)
段A1B2,椭圆C于点E,G,直线B2G与A1B1交于点F.(i)求
GB1
的最大值;
EB1
(ii)试问:
E,F两点的横坐标之和是否为定值?
若是,求出该定值;
若不是,
说明理由.
11.本小题15分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,且过点(2,1).(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)与圆x2?
1)2?
1相切的直线l:
kx?
t交抛物线于不同
的两点M,N若抛物线上一点C满足OC?
(OM?
ON),(?
0)求?
的取值范围.
12.如图,已知直线l1:
2x?
m(m?
0)与抛物线C1:
ax2(a?
0)和圆
C2:
5都相切,F是C1的焦点.
(1)求m与a的值;
(2)设A是C1上的一动点,以A为切点作抛物线C1的切线l,直线l交y轴于点B,以
FA,FB为邻边作平行四边形FAMB,证明:
点M在一条定直线上;
13.已知椭圆C?
1的左、右焦点分别为F1,F2,O为原点.
(I)如图①,点M为椭圆C上的一点,N是MF1的中点,且NF2丄MF1,求点M到y轴的距离;
(II)如图②,直线l:
:
y=k+m与椭圆C上相交于P,G两点,若在椭圆C上存在点R,使OPRQ为平行四边形,求m的取值范围
.
12
1.(I)由题意得?
b2,?
所求的椭圆方程为?
1,
4?
1?
1
a
(II)不妨设M(xt2,?
t1,y1),N(x2,y2),P(则h),抛物线C2在点P处的切线斜率为
t
2t,直线MN的方程为y?
2tx?
t2?
h,将上式代入椭圆C1的方程中,得
h)2?
,因为直线04x2?
(2tx?
0,即4?
4t(t2?
h)x?
(t
422
t?
2(h?
2)t?
h?
MN与椭圆C1有两个不同的交点,所以有?
16?
0,
x1?
x2t(t2?
h)
设线段MN的中点的横坐标是x3,则x3?
22(1?
t)
设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4?
12,由题意得x3?
x4,即有t?
(1?
h)t?
0,2
其中的?
0,?
1或h?
3;
422?
当h?
3时有h?
0,4?
h2?
0,因此不等式?
0不
成立;
因此h?
1,当h?
1时代入方程t2?
0得t?
1,将h?
1,t?
1代入不
等式?
0成立,因此h的最小值为1.
2c
2.(Ⅰ)依题意得?
a2解得?
从而b?
c?
c
1故椭圆方程为43
(Ⅱ)解法1:
由(Ⅰ)得A(?
2,0),B(2,0),设M(x0,y0)
322
(4?
x0)①又M点异于顶点A、B,?
x0?
M点在椭圆上,?
y0
6y06y0
由P、A、M三点共线可得P(4,)从而BM?
(x0?
2,y0),BP?
(2,)
2x0?
6y0222
∴BM?
BP?
3y0)②
5
将①式代入②式化简得BM?
MP?
(2?
x0)
BM?
0.于是?
MBP为锐角,从而?
MBN为钝角,
故点B在以MN为直径的圆内。
解法二:
2,0),B(2,0).设P(4,?
)(?
0),M(x1,y1),N(x2,y2),则直线AP的方程为y?
6
(x1?
2),直线BP的方程为y?
(x?
2).
点M、N分别在直线AP、BP上,
y1?
2),y2?
(x2?
2).从而y1y2?
2)(x2?
2)③
2)?
62222
y联立?
2消去得(27?
)x?
4(?
27)=02
3?
27)2(27?
2)?
x1,?
2是方程的两根,?
(?
即x1?
④22
27?
27
又BM?
BN?
2,y1)?
2,y2)?
y1y2⑤
5?
2)于是由③、④式代入⑤式化简可得BM?
272
0,?
N点在椭圆上,且异于顶点A、B,?
0又?
从而BM?
故?
MBN为钝角,即点B在以MN为直径的圆内。
解法3:
2,0),B(2,0),设M(x1,y1),N(x2,y2)则?
2,?
2.又MN的中点Q的坐标为?
x2y1?
?
,
BQ?
xy?
y2211222
MN?
(12?
2)2?
(1)?
x)?
y)1212?
4224
122
化简得BQ?
y1y2⑥
直线AP的方程为y?
y1y
2),直线BP的方程为y?
2(x?
2)x1?
2x2?
点P在准线x?
4上,
6y12y23(x2?
2)y1
,即y2?
⑦?
2x1?
3x12y12
1,即y12?
x12)⑧又M点在椭圆上,?
443
于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得BQ?
从而B在以MN为直径的圆内。
152
x1)(x2?
044
3.(Ⅰ)设N?
x,y?
P?
x0,y0?
则M?
x0,0?
PM?
0,y0?
NM?
x,?
0?
由PM,得?
3分
y0?
2y?
2y
由于点P在圆O:
6上,则有x?
6,即?
1.
63
1.?
6分?
点N的轨迹C的方程为?
(Ⅱ)设D?
x1,y1?
E?
x2,y2?
过点B的直线DE的方程为y?
k?
由?
x2消去y得:
2k2?
1x2?
12k2x?
18k2?
6?
0,其中?
0y2
63?
12k218k2?
2,x1x2?
;
8分2
2k?
12k?
kAD?
kAE?
1y2?
1kx1?
3k?
kx2?
2kx1x2?
5k?
4k?
10分
x1x2?
612k22k?
2
18k?
612k2
42
4k2?
22
kAE是定值?
2.?
13分
4.解:
如图,以直线O1O2为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
则两圆心分别为O1(?
2,0),O2(2,0).设P(x,y),则PM2?
O1P2?
O1M2?
1,同理PN2?
1.
∵PM?
∴(x?
2[(x?
1],即(x?
6)2?
33.
所以动点P的轨迹方程为(x?
33.(或x2?
12x?
0)
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