初二数学上册分解因式的常用方法Word文档下载推荐.docx
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①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;
③二项是异号。
(2)、完全平方公式:
①应是三项式;
②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍。
5、分组分解法:
(1)、分组分解法:
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
如:
(2)、概念内涵:
分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式。
(3)、注意:
分组时要注意符号的变化。
5、十字相乘法
有些二次三项式,可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积,然后借助画十字交叉线的方法,把二次三项式进行因式分解,这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是:
十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意:
十字相乘法不是适合所有二次三项式,只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用,这个特殊关系我们通过例题来说明:
分析:
第一步:
观察常数项-7和二次项系数1以及一次项系数6我们可以得出:
因为-7=7×
-1
所以把-7列竖式表示为7、-1,如上图;
二次项系数1=1×
1,所以列竖式1、1我们把它们交叉相乘然后相加得到7-1=6,我们发现刚好是一次项系数于是决定用十字相乘法。
这一步也是能不能使用十字相乘法的条件。
第二步:
我们把横着的第一排1、7用括号括起来写成(1x+7),1为x的系数,把第二排1、-1也用括号括起来(1x-1),最后把两个括号括起来的相乘就得到最终结果。
第三步:
写出分解结果得:
(1x+7)×
(1x-1)
我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。
我们在分解常数项和二次项系数时变化多端,目的是交叉相乘之和要等于一次项系数,如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。
十字相乘法在对系数分解时易出错,因此我们要小心;
分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。
易错点:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。
三、经验之谈:
通常,把一个多项式分解因式,应先提公因式,再应用公式法,或者其他方法。
进行多项式因式分解时,必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。
整式的除法
本节中我们要记住平方差公式、完全平方差公式,并且要会逆运算的运用,这点在因式分解中经常用到。
本节同学们要多看,不要忘记常见的公式。
本节有配套免费学习视频。
1、整式乘法
(1)、单项式除法单项式
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;
(2)、多项式除以单项式
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加,其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式,所得商的项数与原多项式的项数相同,另外还要特别注意符号。
2、平方差公式
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,即。
其结构特征是:
①公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数;
②公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。
3、完全平方公式
(1)、完全平方公式:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,即;
口诀:
首平方,尾平方,2倍乘积在中央;
(2)、结构特征:
①公式左边是二项式的完全平方;
②公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍。
(3)、在运用完全平方公式时,要注意公式右边中间项的符号,以及避免出现这样的错误。
添括号法则:
添正不变号,添负各项变号,去括号法则同样
4、同底数幂的除法
(1)、同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减,即(a≠0,m、n都是正数,且m>
n)。
(2)、在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即a0=1(a≠0),100=1,(-2.5)0=1.而00无意义
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即(a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;
当a>
0时,a-p的值一定是正的;
当a<
0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如
。
④运算要注意运算顺序。
5、分解因式
(1)、把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。
(2)、因式分解与整式乘法是互逆关系。
(3)、因式分解与整式乘法的区别和联系:
整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。
如何记住上面的公式呢,我们可以利用文字理解来帮助记忆。
平方差是先平方后作差:
;
完全平方差(和)是完全把差(和)平方了即:
,
整式的乘法
整式的乘法是整数运算的主要内容,是进一步学习因式分解、分式、方程以及其它数学内容的基础,学习过程中只要能理解并运用数学常用方法“整体代入”便可学好本节,本节同学们要多做练习,达到很多整式乘法都能口算为止。
本节有配套学习视频。
1、单项式乘法法则:
单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
①积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆;
②相同字母相乘,运用同底数的乘法法则;
③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
2、单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
①单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;
③在混合运算时,要注意运算顺序。
3、多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
①多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:
在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;
②多项式相乘的结果应注意合并同类项;
其实本节的难度并不大,很多同学出错是因为粗心,做本章节题目时我们一定要把眼睛放大看准了,数学可是非常了不起的学科哦,是唯一能全方位训练人体大脑的学科。
同学们从今往后也要做一个细心的人哦!
很多同学可能会说:
“我天生就粗心”,其实粗心和细心之间区别就在于“心”而不在于“先天、后天”.有个笑话:
刘备妈妈问刘备为什么没有考好,刘备答:
我笨。
刘备妈妈就问:
“笨是先天的呢还是后天的?
刘备顿时醒悟,然则考上北大,当然帝王。
同底数幂的乘法
理解幂的乘方和积的乘方法则是至关重要的,知识点很好理解,考察的时候经常和其他知识点结合命题,有时也单独命题,但基本都很容易,一般是选择题、填空题,同学们要牢牢掌握本节涉及的公式。
本节有学习视频.
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则是整式乘法的基础,也是整式乘法的主要依据。
所以要求每个学生都能掌握三个运算法则的数学表达式:
(“m、n都为正整数)”,文字表述为“同底数幂相乘,底数不变,指数相加,幂的乘方,底数不变,指数相乘,积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方”。
次函数
本节的知识相当重要,同学们要引起重视,如果给出一个式子让其判断是不是一次函数,判断方法我们要掌握。
关于一次函数的解析式的几种求法我们要会,特别是最常用的“待定系数法”。
1、一次函数:
形如y=kx+b(k≠0,k,b为常数)的函数。
(1)要使y=kx+b是一次函数,必须k≠0.如果k=0,则kx=0,y=kx+b就不是一次函数;
(2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。
2、图象:
一次函数的图象是一条直线。
【重点】
(1)两个常有的特殊点:
与y轴交于(0,b);
与x轴交于(-b/k,0)
(2)由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线:
y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质:
【重点】
(1)图象的位置:
(2)增减性
k>
0时,y随x增大而增大
k<
0时,y随x增大而减小
4.求一次函数解析式的方法【重点】
(1)由已知函数推导或推证
(2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
(3)用待定系数法求函数解析式。
(最常用)
“待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况:
①利用一次函数的定义
x的系数不为0,x的最高次数为1,构造方程组。
②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标,即由b来定点;
直线y=kx+b平行于y=kx,即由k来定方向.
③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
④利用题目已知条件直接构造方程.
1、判断一个式子是不是一次函数,首先看“k”是否等于零,其次看最高次项是否等于1次。
2、给出一个一次函数,我们要能迅速的画出图像,一看朝向,如果k>
0,图像“向上爬”,k<
0,图像“向下滑”;
二看截距,截距就是|b|,如果b>
0,图像和y轴的焦点在y的正半轴,如果b<
0,则在y的负半轴。
一次函数的图像是一条直线,因此我们只要定出两点即可,两点确定一条直线。
3、一次函数的增减性很简单,当函数图像“向上爬”时,y随x的增大而增大;
当函数图象“向下滑”时,y随x的增大而减小。
函数
本节开始我们接触函数知识,这里我们要理解函数的概念、函数的表示方法、作图方法。
希望同学们多动手画图,多思考,多做练习题。
1、变量:
在一个变化过程中可以取不同数值的量,函数中用x表示。
常量:
在一个变化过程中只能取同一数值的量,往往用c来表示。
2、函数:
一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。
注:
函数是一种变化关系,这里我们举个例子来帮助理解,比如:
我们由上海到北京可以选择坐飞机或者火车,如果选择坐飞机,相应会省时间,如果选择坐火车,相应会省钱。
这种变化关系就可以说是函数关系,因变量y总是随着自变量x的变化而变化,x变了,y就会有唯一的一个值来回应x的变化。
x变了,y就会有唯一的一个值与之对应。
比如:
x2=y,当x=±
2时y都等于4,x可以是多个值,而y与之对应变化的只有一个值,简称“多对一”.判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应
例:
判断下列的图像不是表示函数的是:
上面四个图,看似都差不多,到底那一个图表示的不是函数呢,我们根据:
看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应,再看下面的分析图。
只要在x轴上找到一个x值使得函数有2个以上的值与之对应,那么这个图就不是函数的图,如下图A.
3、定义域:
一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
5、函数的解析式:
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
6、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:
列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:
描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
第三步:
连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
画出函数y=2x的图像
取点,(一般情况下,取以0为中心的点)
描点,(根据坐标知识准确标出上面取的点)
连线,(用平滑的线连接起来)
8、函数的表示方法
(1)列表法:
一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
(2)解析式法:
简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
(3)图象法:
形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
1、如果给出一组图,我们要能正确的判断是否是函数的图,精髓在于“唯一”二字。
2、其次我们要懂得画函数图象的步骤和技巧。
3、给出一个函数关系式我们要保证这个关系有意义,以此来快速求出定义域(x的取值范围)。
实数的分类
本节本身并不难,同学们只要明白无理数、实数、绝对值的概念,再做适当练习题就能完全掌握。
我们要注意理解绝对值的几何意义。
1、无理数
(1)无限不循环小数的小数叫做无理数;
注意:
它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段,无理数的表现形式主要包含下列几种:
(1)特殊意义的数,如:
圆周率以及含有圆周率的一些数;
(2)开方开不尽的数,如:
根号2,根号3等;
(3)特殊结构的数:
2.01001000100001…(两个1之间依次多1个0)等。
应当特别注意的是:
带根号的数不一定是无理数,如:
根号9等;
无理数也不一定带根号,如:
圆周率
2、有理数与无理数的区别:
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
3、实数
(1)有理数与无理数统称为实数。
在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;
绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1.
(2)实数的性质:
实数a的相反数是-a;
实数a的倒数是1/a(a≠0);
实数a的绝对值
它的几何意义是:
在数轴上的点到原点的距离。
绝对值的几何意义是:
在数轴上的点到原点的距离,比如|5|表示的是数轴上到原点距离为5的所有点,即有两个:
-5,5,这两点到原点的距离都为5,所以|±
5|=5.
(3)实数的大小比较法则:
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:
即正数大于0,0大于负数;
正数大于负数;
两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。
(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。
对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
(4)实数的运算:
在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一致。
本节考得最多的是无理数的概念和绝对值的几何意义。
无理数常见的几种表现方式我们要熟悉,注意:
无限循环小数是有理数。
其次我们要正确的理解绝对值的几何意义,它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离,我们都知道数轴分为正负两半,那么不管怎样总有两个数字相等符号相反的两个数到原点的距离相等。
平方根和立方根
一、本节学习指导
平方根是实数章节的基础知识,也是以后学习一元二次方程等知识的必备基础,中考的必考内容之一,此节我们要掌握平方根和立方根的概念。
二、知识要点
3、立方根
(1)如果x的立方等于a,那么,就称x是a的立方根,或者三次方根。
读作,3次根号a.注意:
这里的3表示的是开根的次数。
一般的,平方根可以省略不写根的次数,但是,当根的次数在两次以上的时候,则不能省略。
(2)平方根与立方根:
每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;
但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。
三、经验之谈:
实数是整个数学学科的基础,对于初学者来讲,有些概念比较抽象、难懂,没关系,慢慢来,对于平方根和立方根的基础题型我们要会做,本节题目在后面变化多端,多做练习相信一定能理解的。
等腰三角形
本节中我们要掌握等腰三角形、等边三角形的性质和特征。
这一节的知识在后面用得非常多,当然也不用刻意去做练习增强这部分记忆,后面我们在做题中用多了也就理解记忆了,慢慢的就把这部分知识当成一种习惯了。
1、等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图:
相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边。
两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质【重点】
性质1:
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等。
(3)在全等三角形中,相等的边对应的角相等,反之也成立。
3、等腰三角形的判定定理、
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)。
4、等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形。
5、等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°
6、等边三角形的判定方法
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形。
7、常用结论【重点】
(1)在直角三角形中,30°
角所对的边是斜边的一半。
(2)三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离相等,即为三角形的内心。
(3)等边三角形中三个边的中垂线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
上图中一一用图形展现了上面的结论,希望能帮助同学们理解这些里结论。
下面对应解释一下。
(1)直角三角形ACB中,∠B=30°
,所对的边AC=(1/2)AB
(2)三角形ABC中,三个内角平分线交与点O,则有OE=OF=OD.适用于任何三角形。
(3)在等边三角形中,三边的中垂线AD、BE、CF交于一点,并且三个顶点ABC到交点的距离相等。
本节的知识还算比较简单,不过同学们要善于观察图形,总结经验。
这里提醒一下,很多同学在做几何题的时候喜欢“猜”,比如:
题目中并没有告诉他一条线是一个角的角平分线,他就当成角平分线来用了,这是不对的哦!
如果是已经证明的真理我们直接可以拿过来用,否则千万不要乱“猜”!
当然在考试中,如果遇到实在不会做的,也是下下策。
轴对称图形的变换
本节知识相对还是比较好学,同学们多动动手和观察,本节配套免费学习视频。
1、轴对称变换:
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
注:
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到。
2、轴对称变换的性质
(1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
(2)经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴
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