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1、{1,3,5,7,9}如何用自然语言描述法表示?
2、用例举法表示集合
练习:
(1)已知集合M={a,b,c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边,那么此三角形一定不是()
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形
5.集合间的基本运算
并集(∪):
一般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,成为集合A与B的并集,记作A∪B,即:
韦恩图如下:
交集(∩):
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即:
韦恩图如下:
全集(U):
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就成这个集合为全集,记为U。
补集:
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作CUA,即
CUA={x|xÎ
U且xÏ
A},韦恩图如下:
A
U
CUA
1、若A={0,2,4},CUA={-1,2},CUB={-1,0,2},求B=。
2、设A={x|x>
-2},B={x|x<
0},求A∩B.
3、若A={x|x=4n,n∈Z},B={x|x=6n,n∈Z},求A∩B.
4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},分别求出满足下列条件的a的取值范围:
(1)A∩B=Æ
(2)A∩B=A
5、已知A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}求A∪B.
7、已知X={x|x2+px+q=0,p2-4q>
0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且
,试求p、q;
8、已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且1∈A,求实数a的值
9、已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},A∪B=A,求实数m的值组成的集合。
10、集合A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则CR(A∩B)等于()
A.RB.{x|x∈R,x≠0}C.{0}D.Φ(空集)
11、已知{a,b}A,且A为{a,b,c,d,e}的真子集,则满足条件的集合A的个数是()
12、记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M,函数g(x)=1-2x-1的定义域为集合N,求:
(1)集合M、N;
(2)集合m∩N,M∪N
13、已知集合A={x||x-a|≤1},B={x|x2-5x+4≥0},若A∩B=Φ,则实数a的取值范围是()
1.2函数
函数概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作:
y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
构成函数的三要素:
定义域、对应关系、值域
区间:
(1)、开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)、无穷区间;
区间的数轴表示
例1:
已知函数f(x)=+,求函数的定义域。
例2:
设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式,并写出定义域。
函数的定义域小结:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
例3:
下列函数中哪个与函数y=x相等?
(1)y=()2;
(2)y=();
(3)y=;
(4)y=x=-b±
b2-4ac2a
1.求下列函数的定义域
(1)y=12-|x|+x2-1
1-x2
(2)y=lg(|x|-x)
(3)已知f(x)的定义域为(-1,1),求函数F(x)=f(1-x)+f(1x)的定义域。
2.已知A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N*,x∈A,y∈B,f:
x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a,k,A,B。
a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,16,10}
映射:
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则,使对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应:
A→B为从集合A到集合B的一个映射.
记作“:
A→B”
说明:
(1)这两个集合有先后顺序,A到B的映射与B到A的映射是截然不同的,其中表示具体的对应法则,可以用多种形式表述.
(2)“都有唯一”包含两层意思:
一是必有一个;
二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思.
1.已知A={x,y},B={a,b,c},从集合A到集合B的所有不同的映射有()个。
2.已知A={x,y},B={a,b,c},从集合B到集合A的所有不同的映射有()个。
函数的表示方法:
解析法、列表法、图像法
1.已知f(x-2)=2x2-9x+13,求f(x)——配凑法
答案:
f(x)=2x2-x+3
2.已知f(x+1)=x+2x,求f(x+1),f(x2)——换元法
f(x+1)=x2+2x,(x≥0);
f(x2)=x4-1,(x≤-1或x≥1)
3.已知f(x)是一次函数,且有f[f(x)]=9x+8,求f(x)——待定系数法
f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4
4.设f(x)满足关系式f(x)+2f(1x)=3x,求f(x)——消元法
f(x)=2x-x,x∈{x|x∈R,x≠0}
6.已知x≠0,函数f(x)满足f(x-1x)=x2+1x2,则f(x)的表达式为()
A.f(x)=x+1xB.f(x)=x2+2C.f(x)=x2D.f(x)=(x-1x)2
7.已知函数f(x)=2x,(x﹤4)fx-1,(x≥4),那么f(5)的值为()
A.32B.16C.8D.64
8.若函数f(2x+1)x2-2x,则f(3)=()
9.已知函数f(x)=x21+x2,则f
(1)+f
(2)+f(12)+f(3)+f(13)+
f(4)+f(14)的值为()
10.已知f(2x+1)=lgx,求f(x)
11.已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)
12.定义在(-1,1)内的函数f(x)满足:
2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式.
1.3函数的基本性质
增函数:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。
注意:
(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;
当x1<
x2时,总有f(x1)<
f(x2).
减函数:
x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。
函数的单调性定义:
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
物理学中的玻意耳定律P=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强P将增大。
试用函数的单调性证明之。
(设V1>V2>0)
判断函数单调性的方法步骤:
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
①任取x1,x2∈D,且x1<
x2;
②作差f(x1)-f(x2);
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
1、用函数单调性的定义证明f(x)=x+2x在(2,+∞)上是增函数。
2、若3x-3-y≥5-x-5y成立,则()
A、x+y﹥0B、x+y﹤0C、x+y≥0D、x+y≤0
3、函数y=log1/2(4+3x-x2)的一个单调递增区间是()
A.(-∞,32)B.[32,+∞﹚C.(-1,32)D.[32,4﹚
4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()
A.y=-x+1B.y=xC.y=x2-4x+5D.y=2x
5.函数f(x)=11+x2(x∈R)的值域是()
A.(0,1)B,(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
6.已知函数f(x)ax2+2ax+1,x∈[-3,2]的最大值为4,求其最小值.
函数的奇偶性和周期性:
函数的奇偶性定义:
1.偶函数:
一般地,对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义.
2.奇函数:
一般地,对于函数的定义域的任意一个,都有,那么就叫做奇函数.
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个,则也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
3.具有奇偶性的函数的图象的特征:
偶函数的图象关于轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
1.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=
2.已知f(x)是定义在R上的偶函数.且在[0,+∞﹚上为增函数,若
f(a)≥f
(2),则实数a的取值范围是:
3.函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=1f(x),若f
(1)=-5,则
f(f(5))=
第二章基本初等函数
2.1指数函数
一、指数和指数幂的运算
1、n次方根的含义
一般地,若,则x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*
2、n次方根的写法
零的n次方根为零,记为
小结:
正数的偶次方根有两个,并且互为相反数;
负数没有偶次方根;
零的任何次方根为零。
【例1】写出下列数的n次方根
(1)16的四次方根;
(2)-27的五次方根;
(3)9的六次方根
(1)
(2)
(3)
3、n次方根的性质
归纳:
n次方根的运算性质为
(2)n为奇数,
n为偶数,
【例2】求下列各式的值
(1)(a>
b)
=-8;
= =10;
=;
=.
[随堂练习]
1.求出下列各式的值
(a>
1)
(1);
(2)
(3)3a-3
【例3】:
求值:
分析:
(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;
2.若。
3.计算
-9+
第二节
1、分数指数幂
规定:
(1)、正数的正分数指数幂的意义为:
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即:
(2)、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
2、分数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质,对于分数指数幂同样适用,即:
(1)
(3))
3、无理指数幂
思考:
若>0,P是一个无理数,则该如何理解?
自主学习:
学生阅读教材第62页中的相关内容
归纳得出:
的不足近似值,从由小于的方向逼近,的过剩近似值从大于的方向逼近。
所以,当不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,(如课本图所示)所以,是一个确定的实数.
总结:
一般来说,无理数指数幂是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.这样幂的性质就推广到了实数范围
[轻松过关]
1、下列式子中计算正确的是( D )
ABCD
2下列式子中计算正确的有( A )
(1);
(2) (3)
A0B1C2D3
3、的值是( B)
A 2 B C D 8
4、下列说法正确的是( C )
A无意义 B C D
5、用计算器算0.0128;
(保留4个有效数字)
6、已知,则= 7 ;
7、计算的值
原式=
[适度拓展]
8、化简:
(e=2.718¼
)
原式=+=2
9、已知求的值
解原式=,提示:
)
[综合提高]
10、已知:
,,
求的值.
由,
又1<
a<
b,∴,从而得,
∴原式==
=.
二、指数函数及其性质
-
x
y
y=2x
定义:
一般地,函数(>0且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R.
当>1时,函数的图象为:
当0<<1时,函数的图象为:
图象特征
函数性质
>1
0<<1
向轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
=1
自左向右,
图象逐渐上升
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
象纵坐标都小于1
>0,>1
>0,<1
在第二象限内的图
<0,<1
<0,>1
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在(>0且≠1)值域是
(2)若
(3)对于指数函数(>0且≠1),总有
(4)当>1时,若<,则<;
1、函数
2、当(-,1)
2.2对数函数
对数与对数运算
对数:
一般地,若,那么数叫做以a为底N的对数,记作
叫做对数的底数,N叫做真数.
2、对数式与指数式的互化
在对数的概念中,要注意:
(1)底数的限制>0,且≠1
指数式对数式
幂底数←→对数底数
指数←→对数
幂←N→真数
恒等式:
=N
负数和零没有对数。
Loga1=0;
logaa=1
两类对数:
①以10为底的对数称为常用对数,常记为.
②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数,常记为.
求下列各式中x的值
(1)
(2)(3)(4)
将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
(3)
(4),所以
对数的运算
运算性质:
如果,且,,,那么:
·
+;
-;
.
换底公式
(,且;
,且;
).
证明:
设ax=b,所以logcax=logcb,因为logcax=xlogca;
所以
X=logcax/logca=logcb/logca=logab
换底公式推论
(2).
对数函数的图象
(1)
(2)
(3)
(4)
图象特征
函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点(1,1)
自左向右看,
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
2.3幂函数
一般地,形如(R)的函数称为幂孙函数,其中是自变量,是常数.
如等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.
五种基本幂函数:
y=x3
y=x-1
定义域
R
奇偶性
奇
非奇非偶
在第Ⅰ象限单调增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
定点
(1,1)
幂函数性质:
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:
);
(2)>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).
特别地,当>1,>1时,∈(0,1),的图象都在图象的下方,形状向下凸越大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?
当∠α<1时,∈(0,1),的图象都在的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大(你能说出原因吗?
(3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
在第一家限内,当向原点靠近时,图象在轴的右方无限逼近轴正半轴,当慢慢地变大时,图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
例题:
证明幂函数上是增函数
证:
任取<则
=
因<0,>0
所以,即上是增函数.
第三章函数的应用
3.1函数与方程
零点定义:
对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点.
函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标.
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
函数零点的求法:
求函数的零点:
①(代数法)求方程的实数根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
二次函数的零点:
二次函数
.
(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
零点存在性的探索:
(Ⅰ)观察二次函数的图象:
①在区间上有零点______;
_______,_______,
·
_____0(<或>=).
②在区间上有零点______;
____0(<或>=).
(Ⅱ)观察下面函数的图象
①在区间上______(有/无)零点;
②在区间上______(有/无)零点;
③在区间上______(有/无)零点;
3.2二分法
概念:
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·
f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
求二分法步骤:
1.确定区间[a,b],验证f(a)·
f(b)<0,给定精确度ε;
2.求区间(a,b)的中点c;
3.计算f(c);
(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;
(2)若f(a)·
f(b)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
(3)若f(c)·
f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b));
4.判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);
否则重复2到4.
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