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0xx?
0x
错误∵limsin不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
8、limxsin
9、lim?
e.
错误∵lim?
e
x
10、点x?
0是函数y?
的无穷间断点.
xx
1错误lim?
,lim?
1x?
0?
∴点x?
的第一类间断点.
11、函数f?
必在闭区间?
a,b?
内取得最大值、最小值.
错误∵根据连续函数在闭区间上的性质,f?
∴函数f?
在x?
0处不连续x
在闭区间?
内不一定取得最大值、最小值x
二、填空题:
1、设y?
的定义域是?
0,1?
,则
(2)f?
sinx?
的定义域是(
(1)fex的定义域是((?
0));
(3)f?
lgx?
的定义域是((1,10)).答案:
(1)∵0?
e?
1
(2)∵0?
(3)∵0?
2x
;
xx?
k,?
(?
k)Z)
0的定义域是(?
2,4?
)2、函数f?
x2?
30?
4?
3、设f?
sinx2,?
1,则f?
(sinx2?
1).
=(x).
xxsinsin
x∵limnsin?
lim
xnn?
nnx?
5、设f?
cos,limf?
(0).?
1,则limf?
(2)
02?
∵limf?
lim(1?
x)?
2,limf?
4、limnsin
6、设f?
x2,如果f?
0处连续,则a?
().
a
cosx11?
cosx1
a?
∵lim,如果在处连续,则fx22x?
022xx
7、设x0是初等函数f?
定义区间内的点,则limf?
(f?
x0?
).
∵初等函数f?
在定义区间内连续,∴limf?
x0x?
x0
8、函数y?
∵lim
12
当x?
(1)时为无穷大,当x?
(?
)时为无穷小.
,lim
9、若lim
∵
).2
ax?
b?
0,则a?
(1),b?
a2?
2ab?
b2?
x2?
lim2x?
bx?
欲使上式成立,令
上式化简为
0,∴a?
1,
b
a∴1
a?
1,1?
0,b?
10、函数f?
的间断点是(x?
0,x?
11?
xx2?
11、f?
2的连续区间是(?
1?
?
1,3?
3,?
).
4x?
3ax?
2sinx
2,则a?
(2)12、若lim.
x∴aax?
2sinxsinx?
13、lim
sinx
(0)is,limxn
(1),x
kx
k
(e).?
(e?
1)
sin1
∵lim
sinx11
0limxsin?
xxx?
1x1
1)?
1lim?
(1?
)x?
ek
14、x?
limsin(arctanx)?
(不存在)iclarcont(is),m
(0)
三、选择填空:
1、如果limxn?
a,则数列xn是(b)
a.单调递增数列b.有界数列c.发散数列
3
2、函数f?
logax?
1是(a)
a.奇函数b.偶函数c.非奇非偶函数∵
loga?
x)2
log1a
3、当x?
0时,ex
1是x的(c)
a.高阶无穷小b.低阶无穷小c.等价无穷小
4、如果函数f?
在x0点的某个邻域内恒有f?
M(M是正数),则函数f?
在该邻域内(a.极限存在b.连续c.有界
5、函数f?
在(c)条件下趋于?
.a.x?
1b.x?
0c.x?
6、设函数f?
,则limx?
0f?
(c)
a.1b.-1c.不存在∵sinx
xlim
sinxsinx?
xlim?
limsinxsinx0x?
根据极限存在定理知:
不存在。
7、如果函数f?
x0时极限存在,则函数f?
在x0点(c)a.有定义?
b.无定义c.不一定有定义
∵f?
x当x?
x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。
8、数列1,1,
12,2,13,3,…,1
,n,…当n?
时为(c)a.无穷大?
b.无穷小c?
.发散但不是无穷大
9、函数fx?
在x0点有极限是函数f?
x在x0点连续的(b)
a.充分条件b.必要条件c.充分必要条件10、点x?
0是函数arctan
的(b)a.连续点b.第一类间断点c.第二类间断点∵1xlim?
arctan
21?
0arctanx?
根据左右极限存在的点为第一类间断点。
11、点x?
0是函数sin
的(c)a.连续点b.第一类间断点c.第二类间断点四、计算下列极限:
nn
1、lim?
3n
解
limn?
3n?
(13?
1(?
1)n13?
n)?
4
c)
2、lim
tan3x
0sin2x
tanx33x3li?
(∵x?
0,sin2x~2x,tan3x~3x)解x?
sinx2x?
02x2
3、lim?
2lim
4、lim
n2?
limn2?
n2
12?
2n?
111n2?
nn?
nnn
5、lim
x2x
sinxx?
sinxx
xsin
x1
sinx21?
6、lim
xsinx?
5
1x2
篇二:
高等数学习题详解-第2章极限与连续
习题2-1
1.观察下列数列的变化趋势,写出其极限:
;
n1(3)xn?
3?
1);
n1
解:
(1)此数列为x1?
x2?
(1)xn?
(2)xn?
1)n;
(4)xn?
1.n2
234n,x3?
x4?
xn?
所以limxn?
1。
345n?
(2)x1?
3,x2?
1,x3?
3,x4?
1,?
1)n,?
所以原数列极限不存在。
(3)x1?
1,x2?
所以limxn?
3。
1111
x3?
234n
(4)x1?
1,x4?
4916n
2.下列说法是否正确:
(1)收敛数列一定有界;
(2)有界数列一定收敛;
(3)无界数列一定发散;
(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0.解:
(1)正确。
(2)错误例如数列(-1)有界,但它不收敛。
(3)正确。
(4)错误例如数列?
xn?
*
极限为1,极限大于零,但是x1?
1小于零。
n?
3.用数列极限的精确定义证明下列极限:
1)n?
1;
(1)lim
1;
(2)lim2
(3)lim
5?
2n2
3n3
111
,只要n?
即可,所以可证:
(1)对于任给的正数ε,要使xn?
取正整数N?
.
,所以因此,?
0,?
N?
,当n?
N时,总有
1.
(2)对于任给的正数ε,当n?
3时,
32n22
要使xn?
即可,所
1n?
以可取正整数N?
max?
3?
N时,总有2
1.n?
25?
2n21762
(3)对于任给的正数ε,要使xn?
)?
,
31?
3n33(3n?
1)3n?
1221
只要n?
即可,所以可取正整数N?
33?
2n2?
21?
3n3?
习题2-2lim
1;
1.利用函数图像,观察变化趋势,写出下列极限:
(2)lime;
-?
(3)lime
+?
(4)limarccotx;
(5)lim2;
(6)lim(x?
-2
(7)lim(lnx?
(8)lim(cosx?
(1)lim
0;
(2)lime?
0;
(4)limarccotx?
0;
(5)lim2?
2;
5;
2.函数f?
在点x0处有定义,是当x?
x0时f?
有极限的(D)
(A)必要条件(C)充要条件(B)充分条件(D)无关条件
由函数极限的定义可知,研究f?
x0的极限时,我们关心的是x无限趋近x0时f?
的变化趋势,而不关心f?
x0处有无定义,大小如何。
3.f?
与f?
都存在是函数f?
在点x0处有极限的(A)(A)必要条件(C)充要条件
(B)充分条件(D)无关条件
若函数f?
在点x0处有极限则f?
一定都存在。
0,
4.设f?
作出f?
的图像;
求lim判别limf?
与limf?
x;
0,?
是否存在?
limf?
0,limf?
lim(x2?
1,故limf?
?
5.设f?
当x?
0时,分别求f?
与?
的左、右极限,问limf?
0xx
与lim?
由题意可知f?
,则limf?
lim1?
1,limf?
1,因此
由题意可知?
1,lim?
lim(?
6.用极限的精确定义证明下列极限:
-2;
(2)lim
-1x+1
(3)limxsin
0.x
x222
,只要x?
1即可.1?
x1?
证:
(1)?
0,要使f?
所以,?
X?
1,当x?
X时,都有f?
,故lim
1x2?
2x?
(2)对于任给的正数ε,要使f?
只要
1x?
2)?
成立.x?
.所以?
0,?
当0?
时,都有不等式
-2.故lim
(3)对于任给的正数ε,要使f
只要x?
.所以
1x
时,都有不等式xsin?
成立.故limxsin?
0.
习题2-3
1.下列函数在什么情况下为无穷小?
在什么情况下为无穷大?
(1)
(2)lnx;
(3)2.x?
为无穷小,?
0,故x?
2时
(1)因为lim
因为lim
为无穷大。
,故x?
1时
(2)因为limlnx?
1时lnx为无穷小,
0因为lim,,故和x?
时lnx都为无穷大。
lnx?
limlnx?
(3)因为lim因为lim
111x?
1,,故和时为无穷小,x?
0lim?
1x2x?
x2x?
xx2x2
0时2为无穷大。
2x?
2.求下列函数的极限:
1arctanxcosn2
(1)limxsin;
(2)lim;
(3)lim.
xxn
(1)因为?
0?
(0,?
),sin
1,且limx2?
0,故得limx2sin?
(2)因为?
),arctanx?
im,且l
1arctanx
0,故得lim?
1cosn2
(3)因为cosn?
1,且lim?
习题2-4
1.下列运算正确吗?
为什么?
(1)lim?
xcos?
limcos?
limx2
.
(2)lim
xlim1?
(1)不正确,因为limcos不存在,所以此时极限的四则运算法则失效。
0x正确做法是:
因为cos
1,且limx?
0,故得limxcos?
(2)不正确,因为lim?
0,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效。
xx2
正确做法是:
因为lim2?
0,由无穷小与无穷大的关系可知lim?
1xx?
2.求下列极限:
(1)
3x?
lim50x?
7x?
h?
2030
(2)limn;
2(4)lim?
x?
(3)lim
x3
h
arccotx?
x3x2?
(5)lim?
2;
(6)lim3x?
52x?
(8)lim?
(7)lim?
111n?
22?
242?
(9)limln?
.x?
12(x?
320230x?
50;
50x?
71?
7?
(2)limn
32()n?
3;
2n
()?
33n
3x2h?
3xh2
lim(3x2?
3xh)?
3x2;
h?
0h?
0h
篇三:
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要:
设
(i)若A?
0,则有?
0,使得当0?
|x?
x0|?
时,f(x)?
(ii)若有?
0,使得当0?
0,则A?
0。
2.
限是否存在在:
f(x)?
A,
a的(i)数列?
(ii)f(x)x?
(iii)
(iv)单调有界准则
(v(vi)柯西收必要条件是:
1.2.洛必达(L’x趋近告诉f(x)、g(x),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。
另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况:
”“”时候直接用0?
(ii)“0?
”“?
”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通
(i)“
项之后,就能变成(i)中的形式了。
即f(x)g(x)?
f(x)或f(x)g(x)?
g(x);
g(x)f(x)
g(x)?
11g(x)f(x)f(x)g(x)
(iii)“0”“1”“?
”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即这样就能把幂上的函数移下来了,变成“0?
”型未定式。
f(x)g(x)?
g(x)lnf(x)
3.泰勒公式(含有ex的时候,含有正余弦的加减的时候)
x2xne?
1;
2!
n!
(n?
1)!
x3x5x2m?
1cos?
x2m?
3m
1)m?
3!
5!
(2m?
3)!
2mx2x4cos?
2mxcos=1?
1x2!
4!
(2m)!
2)!
x2x3xn?
1xn
4.5.6.1)设a?
c?
0,
(2)求lim?
1)(2n)?
由0?
n111111
,以及22
n(n?
1)(2n)nnn
lim0?
0可知,原式=0n
(3)求lim?
:
由
1n2?
以
及
111111111n?
nnnn?
nn2?
1n
7.数列极限中等比等差数列公式应用(等比数列的公比q绝对值要小于1)。
例如:
1得,原式=1
求
3x
nxn?
1(|x|
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