重庆中考复习重庆中考几何题分类汇编含答案文档格式.doc
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DE=DN+ME;
(3)如图②,过E作EF⊥AE,交AD的延长线于F,在EC上选取一点H,使得EH=BE,连接FH,在AC上选取一点G,使得AG=AB,连接BG、FG,求证:
FH=FG.
1.如图Z3-7,在▱ABCD中,AE⊥BC于E,AE=AD,EG⊥AB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF.
(1)若BE=2EC,AB=,求AD的长;
EG=BG+FC.
2.如图,在正方形ABCD中,点P为AD延长线上一点,连接AC、CP,过点C作CF⊥CP于点C,交AB于点F,过点B作BM⊥CF于点N,交AC于点M.
(1)若AP=AC,BC=4,求S△ACP;
(2)若CP-BM=2FN,求证:
BC=MC.
3.如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为一边向外作菱形ABDE,连接DC,EB并延长EB交AC于F,且CB⊥AE于G.
(1)若∠EBG=20°
,求∠AFE;
(2)试问线段AE,AF,CF之间的数量关系并证明.
类型3 倍长中线:
三角形中有中线,延长中线等中线
例3如图Z3-10①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,D、E分别为斜边AC上两点,且AD=AB,CE=CB,连接BD、BE.
(1)求∠EBD的度数;
(2)如图Z3-10②,过点D作FD⊥BD于点D,交BE的延长线于点F,在AB上选取一点H,使得BH=BC,连接CH,在AC上选取一点G,使得GD=CD,连接FH、FG,求证:
1.如图,已知在▱ABCD中,G为BC的中点,点E在AD边上,且∠1=∠2.
E是AD中点;
(2)若F为CD延长线上一点,连接BF,且满足∠3=∠2,求证:
CD=BF+DF.
2.如图Z3-12,在菱形ABCD中,点E、F分别是BC、CD上的点,连接AE,AF,DE、EF,∠DAE=∠BAF.
CE=CF;
(2)若∠ABC=120°
,点G是线段AF的中点,连接DG,EG.求证:
DG⊥GE.
3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,点D与点B在AC同侧,∠ADC>∠BAC,且DA=DC,过点B作BE∥DA交DC于点E,M为AB的中点,连接MD,ME.
(1)如图①,当∠ADC=90°
时,线段MD与ME的数量关系是________;
(2)如图②,当∠ADC=60°
时,试探究线段MD与ME的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图③,当∠ADC=α时,求的值.
4.如图①,等边三角形ABC中,CE平分∠ACB,D为BC边上一点,且DE=CD,连接BE.
(1)若CE=4,BC=6,求线段BE的长;
(2)如图②,取BE中点P,连接AP,PD,AD,求证:
AP⊥PD且AP=PD;
(3)如图③,把图Z3-14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度,然后连接BE,点P为BE中点,连接AP,PD,AD,问第
(2)问中的结论还成立吗?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
5.在△ABC中,以AB为斜边,作直角三角形ABD,使点D落在△ABC内,∠ADB=90°
.
(1)如图①,若AB=AC,∠BAD=30°
,AD=6,点P、M分别为BC、AB边的中点,连接PM,求线段PM的长;
(2)如图②,若AB=AC,把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ACE,连接ED并延长交BC于点P,求证:
BP=CP;
(3)如图③,若AD=BD,过点D的直线交AC于点E,交BC于点F,EF⊥AC,且AE=EC,请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系(不需要证明).
类型4 中位线:
三角形中两中点,连接则成中位线
例42017·
河南如图①,在Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想:
图①中,线段PM与PN的数量关系是__________,位置关系是__________;
(2)探究证明:
把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
1.如图①,在任意的三角形ABC中,分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD,AB=AE,AC=AD,且∠BAE+∠CAD=180°
,连接DE,延长CA交DE于F.
∠CAB=∠AED+∠ADE;
(2)若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°
,如图②,求证:
BC=2AF;
(3)若在△ABC中,如图③所示,作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD,AB与DE交于点F,F为DE的中点,请问
(2)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.
2.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°
,△ABC不动,△ADE绕点A旋转,连接BE、CD,F为BE的中点,连接AF.
(1)如图①,当∠BAE=90°
时,求证:
CD=2AF;
(2)当∠BAE≠90°
时,
(1)的结论是否成立?
请结合图②说明理由.
3.如图①,在等腰三角形ABC中,AB=AC,在底边BC上取一点D,在边AC上取一点E,使AE=AD,连接DE,在∠ABD的内部作∠ABF=2∠EDC,交AD于点F.
△ABF是等腰三角形;
(2)如图②,BF的延长交AC于点G.若∠DAC=∠CBG,延长AC至点M,使GM=AB,连接BM,点N是BG的中点,连接AN,试判断线段AN、BM之间的数量关系,并证明你的结论.
类型5 角的和差倍分
图中有角平分线,可向两边作垂线;
也可将图对折看,对称以后关系现.
角平分线平行线,等腰三角形来添.角平分线加垂线,三线合一试试看.
例5.如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=6,∠BAD=60°
,且AB>6.
(1)求∠EPF的大小;
(2)若AP=10,求AE+AF的值.
1.已知:
如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°
,∠B=90°
,易知:
DB=DC.
探究:
如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°
,∠ABD<90°
2.在△ACB中,AB=AC,∠BAC=90°
(2)如图②,点P是AC上一点,连接FP,若AP=CD,求证:
∠ADB=∠CPF.
3.已知,在▱ABCD中,∠BAD=45°
,AB=BD,E为BC上一点,连接AE交BD于F,过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H.
(1)如图①,若点E与点C重合,且AF=,求AD的长;
(2)如图②,连接FH,求证:
∠AFB=∠HFB.
4.如图,将正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.当点M在边AD上移动时,连接BM、BP.
BM是∠AMP的平分线;
(2)△PDM的周长是否发生变化?
证明你的结论.
类型6 旋转型全等问题:
图中若有边相等,可用旋转做实验
例6.△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
如图①,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为:
________.
②BC,CD,CF之间的数量关系为:
___________;
(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考:
如图Z3-25②,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
如图Z3-25③,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长.
1.在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°
,对角线AC平分∠BAD.
(1)如图①,若∠DAB=120°
,且∠B=90°
,试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
(2)如图②,若将
(1)中的条件“∠B=90°
”去掉,
(1)中的结论是否成立?
请说明理由.
(3)如图③,若∠DAB=90°
,探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
2.如图①,在正方形ABCD中,点E为边BC上一点,将△ABE沿AE翻折得△AHE,延长EH交边CD于F,连接AF.
∠EAF=45°
;
(2)延长AB,AD,如图②,射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N,连接MN,若以BM、DN、MN为三边围成三角形,试猜想三角形的形状,并证明你的结论.
3.如图①,在正方形ABCD内有一点P,PA=,PB=,PC=1,求∠BPC的度数.
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点,我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°
,得到了△BP′A(如图Z3-28②),然后连接PP′.
(1)请你通过计算求出图Z3-28②中∠BPC的度数;
(2)如图③,若在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=2,PB=4,PC=2.请求出∠BPC的度数.
重庆中考几何题分类汇编答案
例1.证明:
(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠MBQ+∠ABC=180°
,
∠ACB+∠PCN=180°
,∴∠MBQ=∠PCN.在△QBM和△PCN中,
∴△QBM≌△PCN(SAS).∴MQ=NP.
(2)过M作MG∥AC交BC于G,
∵MG∥AC,∴∠MGB=∠ACB,∠MGC=∠PCN,∵由
(1)知,∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=∠MGB,∴MB=MG,∵MB=CN,
∴MG=CN.在△MGP和△NCP中,
∴△MGP≌△NCP(AAS).
∴PG=CP,∴CG=CP+PG,即CG=2CP.∵CM平分∠ACB,
∴∠BCM=∠MCA,∵MG∥AC,∴∠MCA=∠GMC,∴∠BCM=∠GMC,
∴MG=CG,∵MG=CN,∴CN=CG,∴CN=2CP.
针对训练
1.解:
(1)∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°
,又∵AC=CF,∴∠AFC=45°
,∵∠ABC=35°
,∴∠EAF=10°
(2)证明:
方法1:
取CF的中点M,连接EM、AM,
∵CE⊥EF,∴EM=CM=FM=CF,
又∵AC=AE,∴AM为EC的中垂线,∴∠CAM+∠ACE=90°
又∵∠ECF+∠ACE=90°
,∴∠CAM=∠FCE,
又∵∠CEF=∠ACM=90°
,∴△ACM∽△CEF,∴=,
又∵CF=AC=2CM,∴==,即CE=2EF;
方法2:
延长FE至M,使EF=EM,连接CM,
∵CE⊥EF,∴△CMF为等腰三角形,
又∵AC=AE=CF,且∠ACE=∠CFE(易证),
∴△CMF≌△CEA,∴FM=CE=2EF.
2.解:
(1)如图①,在AB上取一点M,使得BM=ME,连接ME.
在Rt△ABE中,∵OB=OE,∴BE=2OA=2,
∵MB=ME,∴∠MBE=∠MEB=15°
∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°
设AE=x,则ME=BM=2x,AM=x,
∵AB2+AE2=BE2,∴(2x+x)2+x2=22,
∴x=(负根舍弃),
∴AB=AC=(2+)·
∴BC=AB=+1.
如图②,作CP⊥AC,交AD的延长线于P,GM⊥AC于M.
∵BE⊥AP,∴∠AHB=90°
,∴∠ABH+∠BAH=90°
∵∠BAH+∠PAC=90°
,∴∠ABE=∠PAC,
又∵AB=AC,∠BAE=∠ACP=90°
∴△ABE≌△CAP,∴AE=CP=CF,∠AEB=∠P,
在△DCF和△DCP中,
∴△DCF≌△DCP,∴∠DFC=∠P,∴∠GFE=∠GEF,∴GE=GF,
∵GM⊥EF,∴FM=ME,∵AE=CF,∴AF=CE,∴AM=CM,
在△GAH和△GAM中,
∴△AGH≌△AGM,∴AH=AM=CM=AC.
3.解:
(1)∵AB=4,∴AC=AB=4.
∵CD=1,∴AD=AC-CD=3.
∵在Rt△ABD中,∠BAC=90°
∴BD==5,
∵S△ABD=AB·
AD=AE·
BD,∴AE=2.4.
如图,在线段EB上截取EH=AE,并连接AH.
∵AE⊥BD,EH=AE,∴AH=AE.
∵BE=AE+AG,∴BH=BE-HE=AG.
∵∠BAD=∠BEA=90°
∴∠ABE+∠BAE=∠CAG+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAG.
∵BA=AC,∴△ABH≌△CAG,
∴CG=AH=AE.
4.解:
(1)∵∠BAC=90°
,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴∠ADC=90°
,∠ACD=45°
在Rt△ADC中,AC=AD÷
sin45°
=2.
∵E是AC的中点,∴CE=AC=.
∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′,∴CE′=CE=,∠ACE′=90°
由勾股定理,得AE′==.
如图,过B作AE′的垂线交AD于点G,交AC于点H.
∵∠ABH+∠BAF=90°
,∠CAF+∠BAF=90°
,∴∠ABH=∠CAF.
又∵AB=AC,∠BAH=∠ACE′=90°
,∴△ABH≌△CAE′.
∴AH=CE′=CE,∵CE=AC,∴AH=HE=CE.
∵D是BC中点,∴DE∥BH,∴G是AD中点.
在△ABG和△CAF中:
AB=AC,∠BAD=∠ACD=45°
,∠ABH=∠CAF,
∴△ABG≌△CAF.∴AG=CF.∵AG=AD,∴CF=AD=CD.∴DF=CF.
要证线段和与差,截长补短去实验
例2:
解:
(1)3
延长DN到K,使得NK=ME,连接AK,如图①,
因为∠1+∠3=180°
,∠1+∠2=180°
,∴∠2=∠3.
在△AME和△ANK中,
∴△AME≌△ANK(SAS).∴AE=AK,∠4=∠5,
∴∠4+∠EAC=90°
,∴∠5+∠EAC=90°
,即∠EAK=90°
∵∠EAD=45°
,∴∠KAD=∠EAK-∠EAD=90°
-45°
=45°
∴∠EAD=∠KAD.在△EAD和△KAD中,
∴△EAD≌△KAD(SAS),
∴ED=KD.∵DK=DN+KN,∴ED=DN+KN,
又NK=ME,∴ED=DN+ME.
(3)证明:
延长AE到J,使得EJ=AE,连接JH,JF.如图②,
在△ABE和△JHE中,
∴△ABE≌△JHE(SAS),
∴JH=AB,∠1=∠2,∵AB=AG,∴JH=AG,
∵AE=EJ,EF⊥AJ,∴AF=JF,∴∠JAF=∠AJF=45°
即∠2+∠3=45°
,∵∠BAC=90°
,∴∠1+∠EAD+∠4=90°
∴∠1+∠4=90°
-∠EAD,=90°
∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,
在△JHF和△AGF中,
∴△JHF≌△AGF(SAS),∴FH=FG.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.
∵BE=2EC,设CE=x,BE=2x,∴BC=AD=AE=3x.
又∵EG⊥AB,∴∠AEB=90°
,∴AB2=AE2+BE2,
即13=9x2+4x2,∴x=1,∴AD=3x=3.
如图,过C作CH⊥AB于H,则四边形CHGF为矩形.
∴CF=HG,∠CHB=90°
,GF=CH.
∵AE⊥BC,EG⊥AB,∴∠AEB=∠CHB=90°
∠BCH+∠B=90°
,∠BAE+∠B=90°
,∴∠BCH=∠BAE.
又∵AE=BC,∴△AGE≌△CHB,∴GE=BH,AG=GF,
∴GE=BH=BG+GH=BG+CF.
(1)∵四边形ABCD是正方形,BC=4,
∴AB=AD=CD=BC=4,∠ADC=∠ABC=90°
∵在Rt△ABC中,AC==4,
∴AP=AC=,
∴S△ACP=AP·
CD=7.
方法一:
如图①,在NC上截取NK=NF,连接BK.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=DC,∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°
∵∠BCD=90°
,CF⊥CP,∴∠1+∠DCF=∠2+∠DCF=90°
∴∠1=∠2,∵在△FBC和△PDC中,
∴△FBC≌△PDC(ASA),∴CF=CP,
∵CP-2FN=BM,∴CF-FK=BM,即CK=BM,
∵∠FBC=90°
,BM⊥CF,∴∠1+∠NBC=∠4+∠NBC=90°
∴∠1=∠4,∵在△ABM和△BCK中,
∴△ABM≌△BCK(SAS),∴∠7=∠6.
∵BM⊥CF,NK=NF,∴BF=BK,∵BF=BK,BM⊥CF,∴∠4=∠5,
∴∠4+∠7=∠5+∠6,∵∠8=∠4+∠7,∴∠8=∠MBC,∴BC=MC.
方法二:
如图②,延长BM交AD于点G,过A作AE⊥BG于E
先证△AEB≌△BNC(AAS),∴AE=BN,
又证△AEG≌△BNF(AAS),∴EG=NF,
再证四边形BCPG为平行四边形,∴BG=CP,
∵CP-BM=2FN,∴BG-BM=2EG,∴MG=2EG,∴点E为MG中点,
∵AE⊥MG,EM=EG,∴AM=AG,∴∠3=∠4,
∵∠2=∠3,∠1=∠4,∴∠1=∠2,
∴BC=MC.
(1)∵∠EBG=20°
,CB⊥AE,
∴∠BEG=70o,∠CBF=∠EBG=20°
∵四边形ABDE是菱形,∴∠ABE=∠BEG=70°
∴∠ABG=50°
∵AB=BC,∴∠FCB=25°
∴∠AFE=∠CBF+∠FCB=45°
(2)AE,AF,CF之间的数量关系是AF2+CF2=2AE2,
证明如下:
连接DF,
∵四边形ABDE是菱形,∴AB=DB,∠DBE=∠ABE,∴∠DBF=∠ABF,
∵BF=BF,∴△DBF≌△ABF(SAS),
∴DF=AF,∠BDF=∠BAF,∵∠BCF=∠BAF,∴∠BCF=∠BDF,
∵CB⊥AE,AE∥DB,∴DB⊥CB,
∵CB=AB=BD,∴△DBC是等腰直角三角形,
∴DC=BD=AE,
∵∠DPB=∠CPF,∴∠CFP=∠DBP=90°
,∴DF2+CF2=DC2,
即有:
AF2+CF2=2AE2.
例3解:
(1)设∠BEC=α,∠BDA=β,则
∠C=180°
-2α,∠A=180°
-2β.
∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
,即180°
-2α+180°
-2β=90°
∴α+β=135°
,∴∠EBD=45°
(2)
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